最优化问题-概述

冷不防 2023-01-23 13:53 62阅读 0赞

每一天，我们的生活都面临无数的最优化问题： 上班怎么选择乘车路线，才能舒服又快速的到达公司；旅游如何选择航班和宾馆，既省钱又能玩的开心； 跳槽应该选择哪家公司，钱多、事少、离家近，前台妹子颜值高；买房子应该选在哪里，交通发达有学区，生活便利升值快。

可以看出，上面所有的问题都面临无数的选择， 我们会根据自己的偏好对每个选择打一个不同的分数，再从所有的选择中找出最优的一个。这个寻求最优解的过程其实就是最优化问题，我们要打的分数就称为目标函数。

最优化问题往往还要面临一定的约束条件，比如对旅行路线的选择，总花费和出发、到达时间就构成了约束条件，对买房子的选择，离公司的路程、总价也可能构成约束条件。我们选择的最优解也必须满足这些约束条件。

实际上，最优化问题是机器学习、人工智能等问题的基础，也在互联网广告、推荐系统、机器人、无人驾驶等领域有着广泛应用。  
之前的文章里也有提到，目前炙手可热的深度学习的兴起也依赖于最优化方法的改进。最优化方法是机器学习中模型训练的基础，机器学习的很大一部分内容就是通过最优化方法找到最合适的参数，使得模型的目标函数最优。

### 最优化问题-定义 ###

结合上面的例子，最优化问题就可以定义为： 在给定的约束条件下， 选择最优的参数和方案，来使得目标函数最大化/最小化的问题。

最优化问题的主要形式是：

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这里可以引出最优化问题的三个基本要素：

*  目标函数: 用来衡量结果的好坏
 *  参数值：未知的因子，需要通过数据来确定。
 *  约束条件：需要满足的限制条件

### 最优化问题-举例 ###

一个最简单的最优化问题，就是下面这个例子：

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作为一个经典的最优化问题，三个基本要素分别为：

*  目标函数：最大化操场面积S， S = x \* y
 *  参数值： 长x、宽y
 *  约束条件： x + 2y = 60

如果大家高中碰到过类似问题的话，应该记得当初的主要思路是

1.  把 y 表示成 x 的格式：面积 S = x\*(60-x)/2
2.  最大化S，相当于对x求导，求导数等于0的点
3.  得到x= 30 , y = (60-x)/2 = 15， 最大的面积是450

我们为什么能够这样求解？有几点原因：

1.  目标函数连续并且可导
2.  目标函数的一阶导数可以直接求解
3.  问题是个凸优化问题，有且仅有1个全局最优点
4.  只有两个变量

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所以，上面的例子是个比较简单的最优化问题。如果上面的任何一个条件不满足的话，都不能用当前的方法求解，而需要求助于更复杂的方法。

比如， 目标函数不是凸函数时，可能有多个导数为0的点：

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又比如，有可能有超过两个变量，那么优化问题就需要同时考虑多个参数，优化问题需要扩展到多维：

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下面，我们就来介绍一下针对最优化问题的分类，以及对应的不同解法。

### 最优化问题 - 分类 ###

根据约束条件的种类，最优化问题可以分成以下种类：

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而根据目标函数的状态， 最优化问题又可以分成：

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### 最优化问题 - 解法分类和选择 ###

在实际的工作中，我们如何来选择最优化问题的解法呢？

基本的依据有以下几点：

*  目标函数是否连续可导
 *  目标函数的形式，是否为线性函数或者二次函数

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对应上图：

*  离散最优化方法： 主要用于求解目标函数不连续或者不可导的情况，典型的解法有爬山法、模拟退火、遗传算法和蚁群算法等。
 *  线性规划和二次规划：运筹学的重要研究内容，适用于目标函数是线性或二次函数的形式。
 *  连续最优化方法： 适用于逻辑回归、SVM、神经网络等机器学习问题，主要方法包括梯度下降、牛顿法和拟牛顿法。

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