深度学习最优化方法概述

柔光的暖阳◎ 2022-05-29 03:10 279阅读 0赞

## 前言 ##

（标题不能再中二了）本文仅对一些常见的优化方法进行直观介绍和简单的比较，各种优化方法的详细内容及公式只好去认真啃论文了，在此我就不赘述了。

## SGD ##

此处的SGD指mini-batch gradient descent，关于batch gradient descent, stochastic gradient descent, 以及 mini-batch gradient descent的具体区别就不细说了。现在的SGD一般都指mini-batch gradient descent。

SGD就是每一次迭代计算mini-batch的梯度，然后对参数进行更新，是最常见的优化方法了。即：

![g\_t=\\nabla\_\{\\theta\_\{t-1\}\}\{f(\\theta\_\{t-1\})\}][g_t_nabla_theta_t-1_f_theta_t-1]  
  
![\\Delta\{\\theta\_t\}=-\\eta\*g\_t][Delta_theta_t_-_eta_g_t]

其中，![\\eta][eta]是学习率，![g\_t][g_t]是梯度SGD完全依赖于当前batch的梯度，所以![\\eta][eta]可理解为允许当前batch的梯度多大程度影响参数更新

缺点：（正因为有这些缺点才让这么多大神发展出了后续的各种算法）

*  选择合适的learning rate比较困难- 对所有的参数更新使用同样的learning rate。对于稀疏数据或者特征，有时我们可能想更新快一些对于不经常出现的特征，对于常出现的特征更新慢一些，这时候SGD就不太能满足要求了

*  SGD容易收敛到局部最优，并且在某些情况下可能被困在鞍点【原来写的是“容易困于鞍点”，经查阅论文发现，其实在合适的初始化和step size的情况下，鞍点的影响并没这么大。感谢@[冰橙][Link 1]的指正】

## Momentum ##

momentum是模拟物理里动量的概念，积累之前的动量来替代真正的梯度。公式如下：

![m\_t=\\mu\*m\_\{t-1\}+g\_t][m_t_mu_m_t-1_g_t]  
  
![\\Delta\{\\theta\_t\}=-\\eta\*m\_t][Delta_theta_t_-_eta_m_t]

其中，![\\mu][mu]是动量因子

特点：

*  下降初期时，使用上一次参数更新，下降方向一致，乘上较大的![\\mu][mu]能够进行很好的加速
 *  下降中后期时，在局部最小值来回震荡的时候，![gradient\\to0][gradient_to0]，![\\mu][mu]使得更新幅度增大，跳出陷阱
 *  在梯度改变方向的时候，![\\mu][mu]能够减少更新总而言之，momentum项能够在相关方向加速SGD，抑制振荡，从而加快收敛

## Nesterov ##

nesterov项在梯度更新时做一个校正，避免前进太快，同时提高灵敏度。 将上一节中的公式展开可得：

![\\Delta\{\\theta\_t\}=-\\eta\*\\mu\*m\_\{t-1\}-\\eta\*g\_t][Delta_theta_t_-_eta_mu_m_t-1_-_eta_g_t]

可以看出，![m\_\{t-1\}][m_t-1]并没有直接改变当前梯度![g\_t][g_t]，所以Nesterov的改进就是让之前的动量直接影响当前的动量。即：

![g\_t=\\nabla\_\{\\theta\_\{t-1\}\}\{f(\\theta\_\{t-1\}-\\eta\*\\mu\*m\_\{t-1\})\}][g_t_nabla_theta_t-1_f_theta_t-1_-_eta_mu_m_t-1]  
  
![m\_t=\\mu\*m\_\{t-1\}+g\_t][m_t_mu_m_t-1_g_t]  
  
![\\Delta\{\\theta\_t\}=-\\eta\*m\_t][Delta_theta_t_-_eta_m_t]

所以，加上nesterov项后，梯度在大的跳跃后，进行计算对当前梯度进行校正。如下图：

![fecd469405501ad82788f068985b25cb_hd.jpg][]

momentum首先计算一个梯度(短的蓝色向量)，然后在加速更新梯度的方向进行一个大的跳跃(长的蓝色向量)，nesterov项首先在之前加速的梯度方向进行一个大的跳跃(棕色向量)，计算梯度然后进行校正(绿色梯向量)

其实，momentum项和nesterov项都是为了使梯度更新更加灵活，对不同情况有针对性。但是，人工设置一些学习率总还是有些生硬，接下来介绍几种自适应学习率的方法

## Adagrad ##

Adagrad其实是对学习率进行了一个约束。即：

![n\_t=n\_\{t-1\}+g\_t^2][n_t_n_t-1_g_t_2]  
  
![\\Delta\{\\theta\_t\}=-\\frac\{\\eta\}\{\\sqrt\{n\_t+\\epsilon\}\}\*g\_t][Delta_theta_t_-_frac_eta_sqrt_n_t_epsilon_g_t]

此处，对![g\_t][g_t]从1到![t][]进行一个递推形成一个约束项regularizer，![\-\\frac\{1\}\{\\sqrt\{\\sum\_\{r=1\}^t(g\_r)^2+\\epsilon\}\}][-_frac_1_sqrt_sum_r_1_t_g_r_2_epsilon]，![\\epsilon][epsilon]用来保证分母非0

特点：

*  前期![g\_t][g_t]较小的时候， regularizer较大，能够放大梯度
 *  后期![g\_t][g_t]较大的时候，regularizer较小，能够约束梯度
 *  适合处理稀疏梯度

缺点：

*  由公式可以看出，仍依赖于人工设置一个全局学习率
 *  ![\\eta][eta]设置过大的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太大
 *  中后期，分母上梯度平方的累加将会越来越大，使![gradient\\to0][gradient_to0]，使得训练提前结束

## Adadelta ##

Adadelta是对Adagrad的扩展，最初方案依然是对学习率进行自适应约束，但是进行了计算上的简化。Adagrad会累加之前所有的梯度平方，而Adadelta只累加固定大小的项，并且也不直接存储这些项，仅仅是近似计算对应的平均值。即：

![n\_t=\\nu\*n\_\{t-1\}+(1-\\nu)\*g\_t^2][n_t_nu_n_t-1_1-_nu_g_t_2]  
  
![\\Delta\{\\theta\_t\} = -\\frac\{\\eta\}\{\\sqrt\{n\_t+\\epsilon\}\}\*g\_t][Delta_theta_t_ _ -_frac_eta_sqrt_n_t_epsilon_g_t]

在此处Adadelta其实还是依赖于全局学习率的，但是作者做了一定处理，经过近似牛顿迭代法之后：

![E|g^2|\_t=\\rho\*E|g^2|\_\{t-1\}+(1-\\rho)\*g\_t^2][E_g_2_t_rho_E_g_2_t-1_1-_rho_g_t_2]  
  
![\\Delta\{x\_t\}=-\\frac\{\\sqrt\{\\sum\_\{r=1\}^\{t-1\}\\Delta\{x\_r\}\}\}\{\\sqrt\{E|g^2|\_t+\\epsilon\}\}][Delta_x_t_-_frac_sqrt_sum_r_1_t-1_Delta_x_r_sqrt_E_g_2_t_epsilon]

其中，![E][]代表求期望。

此时，可以看出Adadelta已经不用依赖于全局学习率了。

特点：

*  训练初中期，加速效果不错，很快
 *  训练后期，反复在局部最小值附近抖动

## RMSprop ##

RMSprop可以算作Adadelta的一个特例：

当![\\rho=0.5][rho_0.5]时，![E|g^2|\_t=\\rho\*E|g^2|\_\{t-1\}+(1-\\rho)\*g\_t^2][E_g_2_t_rho_E_g_2_t-1_1-_rho_g_t_2]就变为了求梯度平方和的平均数。

如果再求根的话，就变成了RMS(均方根)：

![RMS|g|\_t=\\sqrt\{E|g^2|\_t+\\epsilon\}][RMS_g_t_sqrt_E_g_2_t_epsilon]

此时，这个RMS就可以作为学习率![\\eta][eta]的一个约束：

![\\Delta\{x\_t\}=-\\frac\{\\eta\}\{RMS|g|\_t\}\*g\_t][Delta_x_t_-_frac_eta_RMS_g_t_g_t]

特点：

*  其实RMSprop依然依赖于全局学习率
 *  RMSprop算是Adagrad的一种发展，和Adadelta的变体，效果趋于二者之间
 *  适合处理非平稳目标- 对于RNN效果很好

## Adam ##

Adam(Adaptive Moment Estimation)本质上是带有动量项的RMSprop，它利用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计动态调整每个参数的学习率。Adam的优点主要在于经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有个确定范围，使得参数比较平稳。公式如下：

![m\_t=\\mu\*m\_\{t-1\}+(1-\\mu)\*g\_t][m_t_mu_m_t-1_1-_mu_g_t]  
  
![n\_t=\\nu\*n\_\{t-1\}+(1-\\nu)\*g\_t^2][n_t_nu_n_t-1_1-_nu_g_t_2]  
  
![\\hat\{m\_t\}=\\frac\{m\_t\}\{1-\\mu^t\}][hat_m_t_frac_m_t_1-_mu_t]  
  
![\\hat\{n\_t\}=\\frac\{n\_t\}\{1-\\nu^t\}][hat_n_t_frac_n_t_1-_nu_t]  
  
![\\Delta\{\\theta\_t\}=-\\frac\{\\hat\{m\_t\}\}\{\\sqrt\{\\hat\{n\_t\}\}+\\epsilon\}\*\\eta][Delta_theta_t_-_frac_hat_m_t_sqrt_hat_n_t_epsilon_eta]

其中，![m\_t][m_t]，![n\_t][n_t]分别是对梯度的一阶矩估计和二阶矩估计，可以看作对期望![E|g\_t|][E_g_t]，![E|g\_t^2|][E_g_t_2]的估计；![\\hat\{m\_t\}][hat_m_t]，![\\hat\{n\_t\}][hat_n_t]是对![m\_t][m_t]，![n\_t][n_t]的校正，这样可以近似为对期望的无偏估计。可以看出，直接对梯度的矩估计对内存没有额外的要求，而且可以根据梯度进行动态调整，而![\-\\frac\{\\hat\{m\_t\}\}\{\\sqrt\{\\hat\{n\_t\}\}+\\epsilon\}][-_frac_hat_m_t_sqrt_hat_n_t_epsilon]对学习率形成一个动态约束，而且有明确的范围。

特点：

*  结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点
 *  对内存需求较小
 *  为不同的参数计算不同的自适应学习率
 *  也适用于大多非凸优化- 适用于大数据集和高维空间

## Adamax ##

Adamax是Adam的一种变体，此方法对学习率的上限提供了一个更简单的范围。公式上的变化如下：

![n\_t=max(\\nu\*n\_\{t-1\},|g\_t|)][n_t_max_nu_n_t-1_g_t]  
  
![\\Delta\{x\}=-\\frac\{\\hat\{m\_t\}\}\{n\_t+\\epsilon\}\*\\eta][Delta_x_-_frac_hat_m_t_n_t_epsilon_eta]

可以看出，Adamax学习率的边界范围更简单

## Nadam ##

Nadam类似于带有Nesterov动量项的Adam。公式如下：

![\\hat\{g\_t\}=\\frac\{g\_t\}\{1-\\Pi\_\{i=1\}^t\\mu\_i\}][hat_g_t_frac_g_t_1-_Pi_i_1_t_mu_i]  
  
![m\_t=\\mu\_t\*m\_\{t-1\}+(1-\\mu\_t)\*g\_t][m_t_mu_t_m_t-1_1-_mu_t_g_t]  
  
![\\hat\{m\_t\}=\\frac\{m\_t\}\{1-\\Pi\_\{i=1\}^\{t+1\}\\mu\_i\}][hat_m_t_frac_m_t_1-_Pi_i_1_t_1_mu_i]  
  
![n\_t=\\nu\*n\_\{t-1\}+(1-\\nu)\*g\_t^2][n_t_nu_n_t-1_1-_nu_g_t_2]  
  
![\\hat\{n\_t\}=\\frac\{n\_t\}\{1-\\nu^t\}][hat_n_t_frac_n_t_1-_nu_t] ![\\bar\{m\_t\}=(1-\\mu\_t)\*\\hat\{g\_t\}+\\mu\_\{t+1\}\*\\hat\{m\_t\}][bar_m_t_1-_mu_t_hat_g_t_mu_t_1_hat_m_t]  
  
![\\Delta\{\\theta\_t\}=-\\eta\*\\frac\{\\bar\{m\_t\}\}\{\\sqrt\{\\hat\{n\_t\}\}+\\epsilon\}][Delta_theta_t_-_eta_frac_bar_m_t_sqrt_hat_n_t_epsilon]

可以看出，Nadam对学习率有了更强的约束，同时对梯度的更新也有更直接的影响。一般而言，在想使用带动量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果。

## 经验之谈 ##

*  对于稀疏数据，尽量使用学习率可自适应的优化方法，不用手动调节，而且最好采用默认值
 *  SGD通常训练时间更长，但是在好的初始化和学习率调度方案的情况下，结果更可靠
 *  如果在意更快的收敛，并且需要训练较深较复杂的网络时，推荐使用学习率自适应的优化方法。
 *  Adadelta，RMSprop，Adam是比较相近的算法，在相似的情况下表现差不多。
 *  在想使用带动量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果

最后展示两张可厉害的图，一切尽在图中啊，上面的都没啥用了... ...

![5d5166a3d3712e7c03af74b1ccacbeac_hd.jpg][] 损失平面等高线

![4a3b4a39ab8e5c556359147b882b4788_hd.jpg][] 在鞍点处的比较

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## 引用 ##

\[1\] [Adagrad][]

\[2\][RMSprop\[Lecture 6e\]][RMSprop_Lecture 6e]

\[3\][Adadelta][]

\[4\][Adam][]

\[5\][Nadam][]

\[6\][On the importance of initialization and momentum in deep learning][]

\[7\][Keras][][中文文档][Link 2]

\[8\][Alec Radford][](图)

\[9\][An overview of gradient descent optimization algorithms][]

\[10\][Gradient Descent Only Converges to Minimizers][]

\[11\][Deep Learning:Nature][Deep Learning_Nature]

[g_t_nabla_theta_t-1_f_theta_t-1]: /images/20220529/94c353d98bb4432491cd0260ff8b9e6e.png
[Delta_theta_t_-_eta_g_t]: /images/20220529/a69f893872e844b38b778ff86e028087.png
[eta]: /images/20220529/f1baca75949d4c41817a2153896e3384.png
[g_t]: /images/20220529/b413790a157f4723b835c1705c307cd0.png
[Link 1]: https://www.zhihu.com/people/meliorare
[m_t_mu_m_t-1_g_t]: /images/20220529/94cd163c728b4781ab7cab086ac7ac7e.png
[Delta_theta_t_-_eta_m_t]: /images/20220529/9a2e8959cdb54c6ba9e6baa260e8b8f3.png
[mu]: /images/20220529/5b88aaa6d1034add82397d57811f9393.png
[gradient_to0]: /images/20220529/866d030b871a44e39c4b3de45e160d8e.png
[Delta_theta_t_-_eta_mu_m_t-1_-_eta_g_t]: /images/20220529/1ce4c10b1d8847d48fda3d86b62830d5.png
[m_t-1]: http://www.zhihu.com/equation?tex=m_%7Bt-1%7D%0A
[g_t_nabla_theta_t-1_f_theta_t-1_-_eta_mu_m_t-1]: /images/20220529/b413790a157f4723b835c1705c307cd0.png%3D%5Cnabla_%7B%5Ctheta_%7Bt-1%7D%7D%7Bf%28%5Ctheta_%7Bt-1%7D-%5Ceta%2A%5Cmu%2Am_%7Bt-1%7D%29%7D
[fecd469405501ad82788f068985b25cb_hd.jpg]: /images/20220529/3b0e29665c114ced87b2f0dee82cf8dd.png
[n_t_n_t-1_g_t_2]: /images/20220529/d9859b1d7953416b97a27deae203bda6.png
[Delta_theta_t_-_frac_eta_sqrt_n_t_epsilon_g_t]: /images/20220529/f1ed667edbcb4a498c1b7d57d22e064a.png
[t]: http://www.zhihu.com/equation?tex=t
[-_frac_1_sqrt_sum_r_1_t_g_r_2_epsilon]: http://www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Csum_%7Br%3D1%7D%5Et%28g_r%29%5E2%2B%5Cepsilon%7D%7D
[epsilon]: http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon
[n_t_nu_n_t-1_1-_nu_g_t_2]: /images/20220529/713d8f3158924990a44c237071cb1b31.png
[Delta_theta_t_ _ -_frac_eta_sqrt_n_t_epsilon_g_t]: http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%7B%5Ctheta_t%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Ceta%7D%7B%5Csqrt%7Bn_t%2B%5Cepsilon%7D%7D%2Ag_t
[E_g_2_t_rho_E_g_2_t-1_1-_rho_g_t_2]: /images/20220529/2a5205c0ddb94da9becaa7acf03e7038.png
[Delta_x_t_-_frac_sqrt_sum_r_1_t-1_Delta_x_r_sqrt_E_g_2_t_epsilon]: /images/20220529/bd80f6b399304b40b0d5dfcd6ce5be35.png
[E]: /images/20220529/e229a88ca99d41dea6478c27cfef0cef.png
[rho_0.5]: http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%3D0.5
[RMS_g_t_sqrt_E_g_2_t_epsilon]: /images/20220529/fb5ec67f3297418388f0892bd77b133f.png
[Delta_x_t_-_frac_eta_RMS_g_t_g_t]: /images/20220529/f3020b1c304a482ca84cf905becc42e6.png
[m_t_mu_m_t-1_1-_mu_g_t]: /images/20220529/af1f0e8064cd4567b8278f4dcd646c99.png
[hat_m_t_frac_m_t_1-_mu_t]: /images/20220529/712834a86f5b495b8035d59a2d2ad516.png
[hat_n_t_frac_n_t_1-_nu_t]: /images/20220529/d206e5dae39d4e1f8ea01888380f7fde.png
[Delta_theta_t_-_frac_hat_m_t_sqrt_hat_n_t_epsilon_eta]: /images/20220529/737d047d31f640f4b5a0acc9e80a9e1a.png
[m_t]: http://www.zhihu.com/equation?tex=m_t
[n_t]: http://www.zhihu.com/equation?tex=n_t
[E_g_t]: /images/20220529/e229a88ca99d41dea6478c27cfef0cef.png%7Cg_t%7C
[E_g_t_2]: /images/20220529/e229a88ca99d41dea6478c27cfef0cef.png%7Cg_t%5E2%7C
[hat_m_t]: http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7Bm_t%7D
[hat_n_t]: http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7Bn_t%7D
[-_frac_hat_m_t_sqrt_hat_n_t_epsilon]: /images/20220529/bc24cd85810d492a89da02c3473d7e3c.png
[n_t_max_nu_n_t-1_g_t]: /images/20220529/c28977c9e05542b2b740c0738047f468.png
[Delta_x_-_frac_hat_m_t_n_t_epsilon_eta]: /images/20220529/9c6a088eb1e6491ba5a09db8c2b34ebc.png
[hat_g_t_frac_g_t_1-_Pi_i_1_t_mu_i]: /images/20220529/580e5644bbac48789f196624d37bd979.png
[m_t_mu_t_m_t-1_1-_mu_t_g_t]: /images/20220529/10c619cd835b4b6a8e1024372db5c7e0.png
[hat_m_t_frac_m_t_1-_Pi_i_1_t_1_mu_i]: /images/20220529/d67b0f9fe09a469bb743c5bc10638f99.png
[bar_m_t_1-_mu_t_hat_g_t_mu_t_1_hat_m_t]: /images/20220529/9b5fd6bad6ef47eda033fb466ad40ffb.png
[Delta_theta_t_-_eta_frac_bar_m_t_sqrt_hat_n_t_epsilon]: /images/20220529/7041c8191c634b44b83ec8b9a22c7e1c.png
[5d5166a3d3712e7c03af74b1ccacbeac_hd.jpg]: /images/20220529/f35876b38a7747719cd7ceae705341dd.png
[4a3b4a39ab8e5c556359147b882b4788_hd.jpg]: /images/20220529/fe178d782d044812bd16cccf3d512f7b.png
[Adagrad]: http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.jmlr.org/papers/volume12/duchi11a/duchi11a.pdf
[RMSprop_Lecture 6e]: http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.cs.toronto.edu/~tijmen/csc321/lecture_notes.shtml
[Adadelta]: http://link.zhihu.com/?target=http%3A//arxiv.org/abs/1212.5701
[Adam]: http://link.zhihu.com/?target=http%3A//arxiv.org/abs/1412.6980v8
[Nadam]: http://link.zhihu.com/?target=http%3A//cs229.stanford.edu/proj2015/054_report.pdf
[On the importance of initialization and momentum in deep learning]: http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.cs.toronto.edu/~fritz/absps/momentum.pdf
[Keras]: http://link.zhihu.com/?target=https%3A//keras.io/optimizers/
[Link 2]: http://link.zhihu.com/?target=http%3A//keras-cn.readthedocs.io/en/latest/
[Alec Radford]: http://link.zhihu.com/?target=https%3A//twitter.com/alecrad
[An overview of gradient descent optimization algorithms]: http://link.zhihu.com/?target=http%3A//sebastianruder.com/optimizing-gradient-descent/
[Gradient Descent Only Converges to Minimizers]: http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.jmlr.org/proceedings/papers/v49/lee16.pdf
[Deep Learning_Nature]: http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.nature.com/nature/journal/v521/n7553/abs/nature14539.html