2021-04-14 Matlab实现模糊聚类分析 FCM

痛定思痛。 2023-01-12 14:59 144阅读 0赞

## Matlab实现模糊聚类分析 FCM ##

模糊均值聚类（FCM）是用隶属度确定每个数据点属于某个聚类的程度的一种聚类算法。1973年，Bezdek提出了该算法，作为早期硬均值聚类（HCM）方法的一种改进。FCM把 n 个向量 xi(i=1,2,…,n)分为 c 个模糊组,并求每组的聚类中心，使得非相似性指标的价值函数达到最小。FCM 使得每个给定数据点用值在 0,1 间的隶属度来确定其属于各个组的程度。与引入模糊划分相适应,隶属矩阵 U 允许有取值在 0,1 间的元素。不过,加上归一化规定，一个数据集的隶属度的和总等于 1:  
![图片][db1a7ed7951a1a747a198aaf4ac002ac.png]  
那么，FCM的价值函数（或目标函数）：  
![图片][b09d0c0b0ae4e9f1a63bdaebc349c86d.png]  
这里 uij 介于 0，1 间；ci 为模糊组 i 的聚类中心，dij=||ci-xj||为第 i 个聚类中心与第 j 个数据点间的欧几里德距离；且 m （属于1到无穷） 是一个加权指数。  
构造如下新的目标函数，可求得使下式达到最小值的必要条件:其实就是拉格朗日乘子法：  
![图片][c113a7dc0de708cbd70631fba7603077.png]  
对上式所有输入参量求导，使上式达到最小的必要条件为:  
![图片][017a1f7745850ae550bbb67af4c60242.png]  
和  
![图片][9f78987f2dad17cc2118bf620e6e494e.png]  
由上述两个必要条件，模糊 C 均值聚类算法是一个简单的迭代过程。在批处理方式运行时,  
FCM 用下列步骤确定聚类中心 ci 和隶属矩阵 U\[1\]:  
步骤 1:用值在 0,1 间的随机数初始化隶属矩阵 U  
步骤 2:用式(3)计算 c 个聚类中心 ci,i=1,…,c。  
步骤 3:根据式(1)计算价值函数。如果它小于某个确定的阀值，或它相对上次价  
值函数值的改变量小于某个阀值，则算法停止。  
步骤 4:用(4)计算新的 U 矩阵和。返回步骤 2。  
上述算法也可以先初始化聚类中心，然后再执行迭代过程。由于不能确保 FCM 收敛于一个最优解。算法的性能依赖于初始聚类中心。因此,我们要么用另外的快速算法确定初始聚类中心，要么每次用不同的初始聚类中心启动该算法，多次运行 FCM。

注：上面讨论不难看出二个参数比较重要：1.聚类的数目，2.控制算法的参数m，如果m过大，则聚类的效果很差，如果m过小，则算法接近Kmeans算法。

借用Matlab自带的fcm函数来做个例子

data = rand(100,2); % 数据
    options = [2;100;1e-5;1]; % 控制参数
    [center,U,obj_fcn] = fcm(data,2,options);  % 聚类为2类
    figure; 
    plot(data(:,1), data(:,2),'o'); 
    title('Demo'); 
    grid on; 
    hold on; 
    maxU = max(U); 
    index1 = find(U(1,:) == maxU); 
    index2 = find(U(2,:) == maxU); 
    line(data(index1,1),data(index1,2),'marker','*','color','g'); 
    line(data(index2,1),data(index2,2),'marker','*','color','r'); 
    plot([center([1 2],1)],[center([1 2],2)],'*','color','k') 
    hold off;
    figure
    plot(obj_fcn)
    title('Objective Function Values')   
    xlabel('Iteration Count')

![å¾ç][9ffcfe64fa405f85838f2a1c7d96b455.png]

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