一招搞定线性代数

曾经终败给现在 2023-01-05 16:20 179阅读 0赞

# 线性代数知识点总结 #

**目录**

线性代数知识点总结

1 行列式

（一）行列式概念和性质

（二）重要行列式

（三）按行（列）展开

（四）行列式公式

2 矩阵

（一）矩阵的运算

（二）矩阵的逆

（三）矩阵的初等变换

★（四）矩阵的秩

（五）伴随矩阵

3 向量

（一）向量的概念及运算

（二）线性组合和线性表示

（三）线性相关和线性无关

（四）极大线性无关组与向量组的秩

（五）向量空间

（六） Schmidt正交化

4 线性方程组

（一）方程组的表达形与解向量

（二）解的判定与性质

（三）基础解系

（四）解的结构（通解）

（五）公共解与同解

5 特征值与特征向量

（一）矩阵的特征值与特征向量

（二）相似矩阵

（三）矩阵的相似对角化

（四）实对称矩阵

6 二次型

（一）二次型及其标准形

（二）惯性定理及规范形

（三）合同矩阵

（四）正定二次型与正定矩阵

--------------------

#    1 行列式 #

### （一）行列式概念和性质 ###

1、逆序数： 所有的逆序的总数

2、行列式定义： 不同行不同列元素乘积代数和

3、行列式性质：（用于化简行列式）

（ 1）行列互换（转置） ，行列式的值不变

（ 2）两行（列）互换，行列式变号

（ 3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数 k乘此行列式

（ 4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（ 5）一行（列）乘 k 加到另一行（列），行列式的值不变。

（ 6）两行成比例，行列式的值为0。

### （二）重要行列式 ###

4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

5、副对角线行列式的值 等于副对角线元素的乘积乘![20210113154326838.png][]

6、Laplace展开式：（A 是 m 阶矩阵， B 是 n 阶矩阵），则

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FpcXExMzY_size_16_color_FFFFFF_t_70][]  
7、n 阶（ n≥2）范德蒙德行列式  
![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FpcXExMzY_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

数学归纳法证明

★ 8、对角线的元素为 a，其余元素为 b 的行列式的值：  
![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FpcXExMzY_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

### （三）按行（列）展开 ###

9、按行展开定理：

（ 1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

（ 2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于 0

### （四）行列式公式 ###

10、行列式七大公式：

![20210113192143243.png][]  
（ 6）若 A 的特征值 λ1、 λ2、…… λn ，则![20210113154746217.png][]

（7 ）若 A 与 B 相似，则 |A|=|B|

（五）克莱姆法则

11、克莱姆法则：

（ 1 ）非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯 一解  
![2021011315485468.png][]  
（ 2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0  
（ 3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0 , 则齐次线性方程组只有0 解；如方程组有非零解，那么必有D=0。

#    2 矩阵 #

### （一）矩阵的运算 ###

1、矩阵乘法注意事项：

（ 1）矩阵乘法要求前列后行一致；

（ 2）矩阵乘法不满足交换律；

（ 3） AB=O不能推出 A=O 或 B=O。

2、转置的性质（ 5 条）

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FpcXExMzY_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

### （二）矩阵的逆 ###

3、逆的定义：  
AB=I或 BA=I成立，称 A 可逆， B 是 A 的逆矩阵，记为 B=A^-1

注： A 可逆的充要条件是 |A| ≠ 0

4、逆的性质：（ 5 条）

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FpcXExMzY_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

5、逆的求法：

（ 1） A 为抽象矩阵：由定义或性质求解

定义![AA^-^1=I][AA_-_1_I]或者![A^-^1A=I][A_-_1A_I]  
（ 2） A 为数字矩阵：（A|I）→初等行变换 →（ I|A^-1 ）

### （三）矩阵的初等变换 ###

6、初等行（列）变换定义：

（ 1）两行（列）互换；  
（ 2）一行（列）乘非零常数c  
（ 3）一行（列）乘 k 加到另一行（列）

7、初等矩阵： 单位矩阵 I 经过一次初等变换得到的矩阵。

8、初等变换与初等矩阵的性质：

（ 1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵  
（ 2）初等矩阵均为可逆矩阵

###    ★（四）矩阵的秩 ###

**9、秩的定义： 非零子式的最高阶数**

注：（ 1） r（A）=0 意味着所有元素为 0，即 A=O

（ 2） r（An ×n）=n（满秩） ←→ |A| ≠0 ←→A 可逆；

r（ A）＜ n←→|A|=0 ←→A 不可逆；

（ 3） r（A）=r （r=1、2、…、 n-1） ←→r 阶子式非零且所有 r+1 子式均为 0。

**10、秩的性质：（7 条）**

（ 1） A 为 m × n 阶矩阵，则 r（A）≤ min （m,n）

（ 2） r（A±B）≤ r （ A）±（ B）

（ 3） r（AB）≤ min\{r （ A），r （B）\}

（ 4） r（kA）=r（A）（k≠0）

（ 5） r（A）=r （AC）（C 是一个可逆矩阵）  
![20210113155749244.png][]

（ 7）设 A 是 m×n 阶矩阵， B 是 n×s 矩阵， AB=O，则 r （ A） +r（B）≤ n

**11、秩的求法：**

（ 1） A 为抽象矩阵：由定义或性质求解；  
（ 2） A 为数字矩阵： A→初等行变换 →阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为 0），则 r（A）=非零行的行数

### （五）伴随矩阵 ###

**12、伴随矩阵的性质： （8 条）**  
  
![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FpcXExMzY_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]  
（六）分块矩阵

13、分块矩阵的乘法： 要求前列后行分法相同。

14、分块矩阵求逆：

# 3 向量 #

### （一）向量的概念及运算 ###

1、向量的内积：![20210113160211837.png][]  
2、长度定义：![20210113160230917.png][]  
   
3、正交定义：![2021011316030062.png][]  
4、正交矩阵的定义：![20210113160331909.png][]

###     （二）线性组合和线性表示 ###

**5、线性表示的充要条件：**

非零列向量 β可由 α1，α2，…， αs 线性表示

![20210113160535395.png][]

★(2)←→r （α1 ，α2，…， αs） =r（α 1， α 2，…， αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）

**6、线性表示的充分条件：（了解即可）**

若 α1，α2，…，αs 线性无关， α 1，α 2，…，αs，β线性相关，则 β可由 α1，α 2，…， αs 线性表示

**7、线性表示的求法： （大题第二步）**

设 α1， α2，…， α s 线性无关， β可由其线性表示。  
（ α1， α2，…， α s| β）→初等行变换 →（行最简形 | 系数）  
行最简形：每行第一个非0 的数为 1，其余元素均为 0

### （三）线性相关和线性无关 ###

**8、线性相关注意事项：**  
（ 1） α线性相关 ←→α =0  
（ 2） α1， α2 线性相关 ←→α1，α2 成比例  
**9、线性相关的充要条件：**

向量组 α 1，α 2，…， αs 线性相关  
（ 1） ←→有个向量可由其余向量线性表示；  
（ 2） ←→齐次方程（ α 1，α 2，…， αs）（ x1 ，x2，…， xs）^T =0 有非零解；  
★（ 3） ←→r（ α1， α2，…， α s）＜ s 即秩小于个数

特别地， n 个 n 维列向量 α 1， α2，…， αn 线性相关  
（ 1） ←→ r（α1，α2，…， αn）＜ n  
（ 2） ←→| α 1， α2，…， αn |=0  
（ 3） ←→（α1，α 2，…， αn）不可逆  
**10、线性相关的充分条件：**

（ 1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关

（ 2）部分相关，则整体相关

（ 3）高维相关，则低维相关

（ 4）以少表多，多必相关  
★推论： n+1 个 n 维向量一定线性相关

**11、线性无关的充要条件**

向量组 α 1，α 2，…， αs 线性无关  
（ 1） ←→任意向量均不能由其余向量线性表示；  
（ 2） ←→齐次方程（ α 1，α 2，…， αs）（ x1 ，x2，…， xs）^T=0 只有零解  
（ 3） ←→r（ α1， α2，…， α s）=s

特别地， n 个 n 维向量 α1，α 2，…， αn 线性无关  
←→r （α 1，α 2，…， αn）=n  
←→| α 1，α 2，…， αn | ≠0  
←→矩阵可逆  
**12、线性无关的充分条件：**

（ 1）整体无关，部分无关

（ 2）低维无关，高维无关

（ 3）正交的非零向量组线性无关

（ 4）不同特征值的特征向量无关

**13、线性相关、线性无关判定**

（ 1）定义法  
★（ 2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关

【专业知识补充】  
（ 1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。

（ 2）若 n 维列向量 α 1，α2 ，α3 线性无关， β1，β2，β 3 可以由其线性表示，  
即（ β1，β2，β3）=（α1，α2，α 3）C，则 r （ β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。

←→r （β 1，β 2，β 3） =3 ←→ r （C）=3 ←→ |C| ≠0

### （四）极大线性无关组与向量组的秩 ###

14、极大线性无关组不唯一

15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩

对比：矩阵的秩 :非零子式的最高阶数  
★注 :向量组 α1，α2 ，…， αs 的秩与矩阵 A=（ α1， α2 ，…， α s）的秩相等  
★16、极大线性无关组的求法

（ 1） α1， α2，…， α s 为抽象的：定义法

（ 2） α1， α2，…， α s 为数字的：（ α1， α2，…， α s）→初等行变换 →阶梯型矩阵

则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组

### （五）向量空间 ###

**17、基（就是极大线性无关组）变换公式：**

若 α1， α2，…， α n 与β1，β2，…， βn 是 n 维向量空间 V 的两组基，则基

变换公式为（ β 1，β 2，…， βn）=（α1，α2，…， αn ）Cn ×n

其中， C 是从基 α 1，α 2，…， αn 到 β1， β2，…， β n 的过渡矩阵。

![20210113161425320.png][]  
**18、坐标变换公式：**

向量 γ在基 α1，α2，…，α n 与基 β1，β2，…，β n 的坐标分别为

x=（x1，x2，…，xn）^T ，y=（ y1，y2，…， yn） ^T

![20210113161713884.png][]

![20210113161717878.png][]

### （六） Schmidt正交化 ###

**19、Schmidt 正交化**

设 α1， α2， α3 线性无关

（ 1）正交化

令 β1=α1

![20210113161811257.png][]

![20210113161836845.png][]

（ 2）单位化  
![20210113161905324.png][]

# 4 线性方程组 #

### （一）方程组的表达形与解向量 ###

**1、解的形式：**

(1)一般形式

(2)矩阵形式： Ax=b；

(3)向量形式： A=（α1，α2，…， αn ）

**2、解的定义：**  
若 η=（ c1，c2，…，cn）^T 满足方程组 Ax=b，即 Aη=b，称η是 Ax=b 的一个解 （向量）

### （二）解的判定与性质 ###

**3、齐次方程组：**  
（ 1）只有零解 ←→r （A）=n（ n 为 A 的列数或是未知数 x 的个数）  
（ 2）有非零解 ←→r （A）＜ n  
**4、非齐次方程组：**  
（ 1）无解 ←→r （A）＜ r （A|b ） ←→r（ A）=r（A）-1  
（ 2）唯一解 ←→r（ A） =r（A|b ）=n  
（ 3）无穷多解 ←→r （A）=r（A|b ）＜ n  
**5、解的性质：**

（ 1）若 ξ1，ξ2 是 Ax=0 的解，则 k1ξ1+k2ξ2 是 Ax=0 的解

（ 2）若 ξ是 Ax=0 的解， η是 Ax=b 的解，则 ξ+η是 Ax=b 的解

（ 3）若 η1，η2 是 Ax=b 的解，则 η1-η2 是 Ax=0 的解  
**【推广】**

（ 1）设 η1，η2，…， ηs 是 Ax=b 的解，则 k1η1+k2η2+…+ksη s 为

![20210113163053895.png][]  
  
（ 2）设 η1，η 2，…，ηs是 Ax=b 的 s 个线性无关的解， 则η2-η 1，η3-η 1，…，η s-η 1 为 Ax=0 的 s-1 个线性无关的解。

变式：① η1-η2， η3 -η2，…， ηs-η2      ② η2-η1， η3-η2，…， ηs-ηs-1

### （三）基础解系 ###

**6、基础解系定义：**

（ 1） ξ1， ξ2，…， ξ s 是 Ax=0 的解

（ 2） ξ1， ξ2，…， ξ s 线性无关

（ 3） Ax=0 的所有解均可由其线性表示  
→基础解系即所有解的极大无关组

注：基础解系不唯一。

任意 n-r （A）个线性无关的解均可作为基础解系。  
**★7、重要结论：（证明也很重要）**

设 A 施 m ×n 阶矩阵， B 是 n×s 阶矩阵， AB=O

（ 1） B 的列向量均为方程 Ax=0 的解

（ 2） r（A）+r （B）≤ n（第 2 章，秩）

**8、总结：基础解系的求法**  
  
（ 1） A 为抽象的：由定义或性质凑n-r （ A）个线性无关的解  
（ 2） A 为数字的： A→初等行变换 →阶梯型  
自由未知量分别取 1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系

### （四）解的结构（通解） ###

**9、齐次线性方程组的通解（所有解）**

设 r（ A） =r

ξ 1，ξ 2，…， ξn-r 为 Ax=0 的基础解系

则 Ax=0 的通解为![20210113162805590.png][]（其中 k1，k2，…， kn-r 为任意常数）  
   
**10、非齐次线性方程组的通解**

设 r（ A） =r

ξ 1，ξ 2，…， ξn-r 为 Ax=0 的基础解系， η 为 Ax=b 的特解，

则 Ax=b 的通解为![20210113162742703.png][]（其中 k1，k2，…，kn-r 为任意常数）

### （五）公共解与同解 ###

**11、公共解定义：**

如果 α既是方程组 Ax=0 的解，又是方程组 Bx=0 的解，则称 α 为其公共解

**12、非零公共解的充要条件：**

方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解  
←→![20210113162851608.png][]有非零解 ←→![20210113162905539.png][]  
  
**13、重要结论（需要掌握证明）**

（ 1）设 A 是 m×n 阶矩阵，则齐次方程![A^TAx=0][A_TAx_0]与 ![Ax=0][Ax_0]同解，![r(A^T A) =r(A)][r_A_T A_ _r_A]

证明:  
若AX1=0, 则 A^TAX1 = 0   即 AX=0 的解都是 A^TAX=0 的解  
若 A^TAX2 = 0   则 X2^T A^TAX2 = 0  
所以 (AX2)^T(AX2) = 0     所以 AX2 = 0 -- 这里要求A是实矩阵  
\-- 提示: AX2 是一个列向量  
所以 A^TAX=0 的解也是 AX=0 的解  
所以 齐次线性方程组Ax=0与A^TAx=0同解

实矩阵指的是矩阵中所有的数都是实数的矩阵。如果一个矩阵中含有除实数以外的数，那么这个矩阵就不是实矩阵。

（ 2）设 A 是 m×n 阶矩阵， r（A）=n，B 是 n× s 阶矩阵，则齐次方程 ABx=0与Bx=0同解， r （AB） =r（B）

# 5 特征值与特征向量 #

### （一）矩阵的特征值与特征向量 ###

**1、特征值、特征向量的定义：**

设 A 为 n 阶矩阵，如果存在数 λ 及非零列向量 α，使得 Aα=λα ，称 α是矩阵A 属于特征值 λ的特征向量。

**2、特征多项式、特征方程的定义：**

| λI-A| 称为矩阵 A 的特征多项式（ λ 的 n 次多项式）。

| λI-A |=0 称为矩阵 A 的特征方程（ λ的 n 次方程）。

注 :特征方程可以写为 |A- λ I|=0

**3、重要结论：**

（ 1）若α为齐次方程 Ax=0 的非零解，则 Aα=0·α，即α 为矩阵 A 特征值 λ=0的特征向量  
（ 2） A 的各行元素和为 k，则 (1， 1，…， 1) ^T为特征值为 k 的特征向量。

（ 3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。  
**△4、总结：特征值与特征向量的求法**  
（ 1） A 为抽象的：由定义或性质凑

（ 2） A 为数字的：由特征方程法求解

**5、特征方程法：**

（ 1）解特征方程 | λI-A|=0，得矩阵 A 的 n 个特征值 λ 1，λ 2，…， λn

注： n 次方程必须有 n 个根 (可有多重根，写作 λ1=λ2=… =λ s=实数，不能省略 )

（ 2）解齐次方程（ λ i I-A）=0，得属于特征值 λi 的线性无关的特征向量，即其基础解系（共 n-r （λ iE-A）个解）

**6、性质：**

（ 1）不同特征值的特征向量线性无关

（ 2） k 重特征值最多 k 个线性无关的特征向量       1≤n-r （λi I-A）≤ ki

（ 3）设 A 的特征值为 λ1，λ2，…， λn，则 |A|= Πλi， Σλi =Σ aii

（ 4）当 r （A）=1，即 A=αβ^T，其中 α，β 均为 n 维非零列向量，则 A 的特征值为 λ1=Σ aii =α^T β=β α^T，λ 2=…=λn=0

（ 5）设 α是矩阵 A 属于特征值 λ的特征向量，则  
![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FpcXExMzY_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

###     （二）相似矩阵 ###

**7、相似矩阵的定义：**

设 A、B 均为 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵P 使得 B=(P ^-1)AP，称 A 与 B 相似，记作 A~B

**8、相似矩阵的性质**

（ 1）若 A 与 B 相似，则 f（A）与 f（ B）相似

（ 2）若 A 与 B 相似， B 与 C 相似，则 A 与 C 相似  
  
（ 3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）

**【推广】**  
（ 4）若 A 与 B 相似，则 AB 与 BA 相似， ![20210113164321248.png][]， A\* 与 B\*也相似

### （三）矩阵的相似对角化 ###

**9、相似对角化定义：**  
如果 A 与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵  
   
P，使得 P-1AP=Λ=![20210113164351938.png][]  
   
称 A 可相似对角化。

注： Aαi=λiα i（αi ≠0，由于 P 可逆），故 P 的每一列均为矩阵A 的特征值 λi的特征向量

**10、相似对角化的充要条件**

（ 1） A 有 n 个线性无关的特征向量

（ 2） A 的 k 重特征值有 k 个线性无关的特征向量

**11、相似对角化的充分条件：**

（ 1） A 有 n 个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）

（ 2） A 为实对称矩阵

实[对称矩阵 : ][Link 1]n阶[矩阵][Link 2]A，其矩阵的[元素][Link 3]都为[实数][Link 4]，且矩阵A的[转置][Link 5]等于其本身（aij=aji），(i,j为元素的脚标）

**12、重要结论：**

（ 1）若 A 可相似对角化，则 r （A）为非零特征值的个数， n-r （A）为零特征值的个数

（ 2）若 A 不可相似对角化， r（ A）不一定为非零特征值的个数

### （四）实对称矩阵 ###

**13、性质**

（ 1）特征值全为实数

（ 2）不同特征值的特征向量正交

（ 3） A 可相似对角化，即存在可逆矩阵P 使得 P-1AP=Λ  
（ 4） A 可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得 Q-1AQ=QTAQ=Λ

#     6 二次型 #

### （一）二次型及其标准形 ###

**1、二次型：**

（ 1）一般形式

（ 2）矩阵形式（常用）

**2、标准形：**

如果二次型只含平方项，即  
![2021011316480241.png][]  
这样的二次型称为标准形（对角线）

**3、二次型化为标准形的方法：**

（ 1）配方法：

通过可逆线性变换    x=Cy（C 可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。  
★（ 2）正交变换法：

通过正交变换 x=Qy，将二次型化为标准形![20210113164902835.png][]

其中， λ 1，λ 2，…， λn 是 A 的 n 个特征值， Q 为 A 的正交矩阵

注 :正交矩阵 Q 不唯一， γi 与λi 对应即可。

### （二）惯性定理及规范形 ###

**4、定义：**  
正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；

负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；  
规范形：![2021011316500122.png][]称为二次型的规范形。

**5、惯性定理：**

二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

注：

（ 1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

（ 2） p=正特征值的个数， q=负特征值的个数， p+q=非零特征值的个数 =r （A）

### （三）合同矩阵 ###

**6、定义：**  
A、B 均为 n 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 B=C^T AC，称 A 与 B 合同  
**△7、总结： n 阶实对称矩阵 A、 B 的关系**  
（ 1） A、 B 相似（ B=P-1AP）←→相同的特征值  
（ 2） A、 B 合同（ B=CTAC）←→相同的正负惯性指数 ←→相同的正负特征值的个数  
（ 3） A、 B 等价（ B=PAQ）←→r （ A） =r（B）  
注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价

### （四）正定二次型与正定矩阵 ###

**8、正定的定义**  
二次型 x^T Ax，如果任意 x≠ 0，恒有 x^T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A 是正定矩阵。  
**9、n 元二次型 x^T Ax 正定充要条件：**

（ 1） A 的正惯性指数为 n  
（ 2） A 与 I合同，即存在可逆矩阵C，使得![20210113165245297.png][]  
（ 3） A 的特征值均大于 0

（ 4） A 的顺序主子式均大于 0（ k 阶顺序主子式为前 k 行前 k 列的行列式）  
**10、n 元二次型 x^T Ax 正定必要条件：**

（ 1） aii ＞0

（ 2） |A| ＞0  
**11、总结：二次型 x^T Ax 正定判定（大题）**  
（ 1） A 为数字：顺序主子式均大于0  
![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FpcXExMzY_size_16_color_FFFFFF_t_70 7][]  
（ 2） A 为抽象：①证 A 为实对称矩阵： A^T=A；②再由定义或特征值判定

**12、重要结论：**  
（ 1）若 A 是正定矩阵，则![20210113165522235.png][] 正定

（ 2）若 A、B 均为正定矩阵，则 A+B 正定

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