dft变换的两幅图_MRI原理-k空间和傅里叶变换

拼搏现实的明天。 2023-01-05 05:03 144阅读 0赞

lemon lelieven：MRI原理-信号zhuanlan.zhihu.com

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之前已经得到了MRI的信号公式：

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不过这是一个连续的信号，经过A/D转换、采样之类的操作，变成离散信号，才能使用计算机处理。

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ADC的过程是在频率编码梯度打开时进行采集的，每个采集点的值是：

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变换一下就是：

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可见采样就直接得到了k空间。

每进行一次相位编码，采样一次，得到一行k空间数据，重复这个过程就可以得到足够的数据来重建图像。

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得到K空间之后逆变换就可以得到图像。

二维的DFT变换对是：

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从采样开始，一直到最后的图像重建，基本都是信号处理和数字图像处理的内容，这里不再细说，知乎里有各位大佬的全方位科普。比如，

阿姆斯特朗：形象理解二维傅里叶变换zhuanlan.zhihu.com

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再废话几句。

实际中傅里叶变换的信号有以下几种：

（1） 时域：有限非周期连续信号，频域：连续信号

（2） 时域：周期连续信号，频域：离散、无限信号

（3） 时域：有限、离散信号，频域：连续、周期信号

（4） 时域：周期、离散信号，频域：离散、周期信号

第四种情况下，时域、频域只取其中一个周期处理，就是实际处理中的离散傅里叶变换（DFT）。

实际中，K空间存储的都是复数，二维K空间相当于一个二维复空间，相当于一个4维实空间，实际中是无法画出来的。

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上面的图，大多书告诉你，左边就是K空间。实际左边只是K空间的幅度图，再加上相位图才是完整的K空间。

下面来几张动图直接感受一下二维傅里叶变换的情况。

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K空间只有一个点时，对应的图像就是一个明暗变化的条纹，是一个非常单纯的二维波形。中心代表频率为0，往周边频率增高，右侧条纹周期降低，频率增高。并且条纹的方向与左侧点的方向垂直

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上面三幅说明了K空间变化对图像的影响。当数据从中心往两边增加时，可以发现先出现图像的亮度，随后才会有完整的组织对比度。，说明低频信息影响图像的轮廓，高频信息影响图像的对比度。从傅里叶变换的频率分解角度来看，也是一致的。

最后说一个国内医学影像界对K空间和傅里叶变换流传很广的一个错误。

最早可能来自下面这本书。

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这是书里第47页的内容，这一大段，明显全错，作者明显不明白傅里叶变换到底时怎么一回事。二维傅里叶变换是两个频率，相位编码只是相当于其中的一个频率。相位编码的次数和频率编码的次数时相互独立的，没有关系。如果继续看这本书后面对K空间的描述，会发现作者把傅里叶变换的相位、成像过程中的相位编码明显当作相位来看，把频率编码当作频率来看。如果有人看过这本书的配套视频，作者似乎也确实时这么认为的，可惜时错的啊。

本书2008年发行，又是一众国内大佬联合编写，发行量巨大，错误流传也很广。时不时看到有人问为什么傅里叶变换只能区分180°的相位差？当然时作者错了啊，还能为什么。

最后个人经验来看，不经过手算傅里叶积分，没有亲自算过图像的傅里叶变换，很难说真正懂了K空间和傅里叶变换。

[Image 1]: 
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