线性代数1：向量、线性组合、张成的空间和基

àì夳堔傛蜴生んèń 2022-12-31 10:23 197阅读 0赞

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**目录**

一、什么是向量

1. 向量的表达方式

2. 向量的加法

3. 向量的数乘

二、线性组合、张成的空间和基

1. 坐标系的基

2. 线性组合

3. 向量张成的空间（线性相关与线性无关）

（1）两个二维向量张成的空间

（2）两个三维向量张成的空间

（3）三个三维向量张成的空间

4. 向量和点的关系

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# 一、什么是向量 #

## 1. 向量的表达方式 ##

给定两个矩阵，我们很容易就能算出它的结果，但是他的几何意义是什么呢？

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对于向量的认识，我们其实在高中阶段就已经接触过，在不同学科有不同的表达方式：

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物理学：向量有大小和方向。处于平面中的向量是二维的，我们所生活的空间中的向量是三维的。

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计算机：向量是数字列表，比如对房价进行建模，共有面积和价格两个特征，他们就可以组成二维向量。

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数学：向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。

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在物理学中，向量可以在任何位置（向量是空间中的箭头）；但是在线性代数中，向量经常以原点作为起点。

向量是有序的数字列表：我们可以利用坐标系来理解这个概念。

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三维空间中的向量有三个数来表达，2：代表这个数沿着平行x轴走多远，1：代表这个数沿着平行y轴走的距离； 3：代表这个数沿着z轴走的距离。每一个向量恰好对应唯一的一个三元数组。

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## 2. 向量的加法 ##

向量的加法符合三角形法则。

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为什么向量的加法要这样定义呢？其实二维平面向量的加法运算可以看为在数轴上运算的拓展。

如下图所示，先向右移动2步，再向右移动5步的总体效果与向右移动7步一样。

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类比到二维空间。第一个向量的坐标是（1,2），第二个向量的坐标是（3，-1），当你用向量首尾连接的方法计算向量之和时，向量之和可以把它看做一个从原点出发，到第二个向量终点的四步运动。可以看做先沿着x轴走了4步，然后沿着y轴走了1步。

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所以向量之和相加的结果就是对应的x向量相加，以及对应的y向量相加。

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## 3. 向量的数乘 ##

比如一个向量前面乘以1/3，相当于这个向量的长度缩短为原来的1/3。如果是与-1.8相乘，相乘后的结果是这个向量首先反向，然后伸长为原来的1.8倍。

这种拉伸或者压缩，有时又使向量反向的过程称为“缩放”。几何角度看是缩放，实际上就是数乘。这个数字就叫标量。

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数字与向量相乘，相当于将其每个分量都分别与数字相乘。

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线性代数围绕两种基本运算：向量的加法与向量的数乘。

# 二、线性组合、张成的空间和基 #

## 1. 坐标系的基 ##

i和j向量长度都为1.

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如果我们任意选择两个向量为基向量，我们可以根据这两个向量得到空间中任何向量。

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当我们使用数字描述向量时，他是依赖于我们正在使用的基。不同的基向量的表达数字也不一样。

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## 2. 线性组合 ##

线性组合：两个数乘向量的组合被称为这两个向量的线性组合。

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如果固定一个标量，让另一个标量自由变化，所产生的向量的重点会描出一条直线。下图是分别固定w和v向量的标量后的变化情况。

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## 3. 向量张成的空间（线性相关与线性无关） ##

### （1）两个二维向量张成的空间 ###

向量张成的空间通俗的解释：仅通过向量的加法与向量的数乘这两种基础运算，你能获得的所有可能的向量集合是什么？

比如如果v和w向量不共线，他们向量张成的空间就是一个二维平面。通过加法和数乘运算后的向量的终点可能在二维平面的任意位置。

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如果v和w向量共线，那他们向量张成的空间就是一条直线。终点始终落在一条直线上。

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对大部分二维向量对来说，他们张成的空间是整个无限大的二维平面。但是如果贡献，他们张成的空间就是一条直线。

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### （2）两个三维向量张成的空间 ###

两个三维向量张成的空间是什么样的呢？

（这两个向量张成的空间就是它们所有可能的线性组合，也就是缩放再相加之后的所有可能得到的向量）

最终得到的向量的终点会画出三维空间中某个**过原点的平面**。这个平面就是这两个三维向量张成的空间。换句话说，所有终点落在这个平面上的向量的几何是这两个向量张成的空间。

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### （3）三个三维向量张成的空间 ###

那么三个三维向量张成的空间是什么样的呢？（选择三个标量，对三个向量分别进行缩放，然后再相加）

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一共有两种情况：

\[1\] 如果第三个向量恰好落在前面两个向量所张成的平面上，或者其中有两个向量刚好共线。即一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献。你有多个向量，并且可以移除其中一个而不减小张成的空间，这种情况下，我们称他们为线性相关的。这个向量可以表示为其他向量的线性组合，因为这个向量已经落在其他向量张成的空间之中。

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\[2\] 如果向量都给张成的空间增添了新的维度，它们就被称之为“线性无关”的

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## 4. 向量和点的关系 ##

当我们在二维平面用向量的方式表达时，当所有的二维向量铺满平面时，你会觉得非常拥挤。为了应付这种情况，**通常我们就用向量的终点代表该向量**（起点仍然位于原点）。

实际上，你就不必考虑所有的箭头了，只需要考虑无限大的二维平面本身即可。

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当你只用考虑一个向量时，可以把它看做一个箭头；当考虑多个向量时，可以把它看做点。

> 向量中一组基的严格定义：张成该空间的一个**线性无关**向量集。

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