线性代数笔记【矩阵与向量】

矫情吗；* 2023-01-13 04:21 413阅读 0赞

# 向量的矩阵形式 #

n个有次序的数所组成的数组称为**n元向量**，这n个数称为该向量的n个**分量**

分量全是实数的向量称为实向量；分量为复数的向量是复向量；分量全为零的向量称为零向量，记作**0**，需要指明分量个数时记作**0n**

n元向量可以写成行向量或列向量的形式，二者相差一次转置运算，记为 a T ≠ a a^T \\neq a aT=a

**所有n元实向量的集合记作 R n R^n Rn**

一般地，**对所有没有指明的向量，都当作列向量**，使用 e i ∈ R n e\_i \\in R^n ei∈Rn表示第i个分量是1，其余分量都为0的n元列向量。若干个同元数的列向量的集合叫做列向量组，若干个同元的行向量的集合叫做行向量组

向量是特殊的矩阵，一个向量组可组成一个矩阵；反之，一个矩阵又可以看作是由它的行向量组或列向量组构成的

## 分块矩阵 ##

若干个同元数的列向量的集合叫做列向量组，若干个同元数的行向量的集合叫做行向量组，对矩阵也可以进行类似的操作：用若干条纵贯整个矩阵的横线和竖线把矩阵**A**分成许多小块，每个小块都称为子矩阵，以这些子矩阵为元素的“形式上”的矩阵称为A的**分块矩阵**

A = \[ λ 0 1 0 0 α 0 1 3 1 5 ψ 8 1 4 0 \] A=\\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} \\lambda & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & \\alpha & 0 & 1 \\\\ \\hline 3 & 1 & 5 & \\psi \\\\ 8 & 1 & 4 & 0 \\\\ \\end\{array\} \\right\] A=⎣⎢⎢⎡λ0380α11105401ψ0⎦⎥⎥⎤  
上面的A可以看作  
 A = \[ T B C D \] A=\\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} T & B\\\\ C & D\\\\ \\end\{array\} \\right\] A=\[TCBD\]  
其中  
 T = \[ λ 0 0 α \] B = \[ 1 0 0 1 \] C = \[ 3 1 8 1 \] D = \[ 5 ψ 4 0 \] T=\\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} \\lambda & 0\\\\ 0 & \\alpha \\\\ \\end\{array\} \\right\]B=\\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} 1 & 0\\\\ 0 & 1\\\\ \\end\{array\} \\right\] C=\\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} 3 & 1\\\\ 8 & 1\\\\ \\end\{array\} \\right\]D=\\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} 5 & \\psi \\\\ 4 & 0\\\\ \\end\{array\} \\right\] T=\[λ00α\]B=\[1001\]C=\[3811\]D=\[54ψ0\]  
常见的分块方式如下：

*  矩阵自己分成一块，即m\*n的矩阵变成1\*1的分块矩阵
 *  按列分块： A = \[ a 1 , a 2 , ⋯   , a n \] A=\[a\_1,a\_2,\\cdots,a\_n\] A=\[a1,a2,⋯,an\]，其中an都是列向量
 *  按行分块：和上面类似，每个子矩阵都是行向量
 *  分成2\*2的分块矩阵，其中左上角的子矩阵应该是一个方阵
 *  分块对角矩阵、分块上三角矩阵、分块下三角矩阵等：看情况来，一般化为三角分块矩阵可以简化一些运算

## 分块矩阵运算 ##

### 加减法 ###

分块矩阵相加减，每个子矩阵都加减对应的子矩阵，如下所示  
 A + B = \[ A 11 + B 11 ⋯ A 1 r + B 1 r ⋮ ⋮ A s 1 + B s 1 ⋯ A s r + B s r \] A+B=\\left\[ \\begin\{array\}\{cc\} A\_\{11\} +B\_\{11\} & \\cdots & A\_\{1r\}+B\_\{1r\} \\\\ \\vdots & &\\vdots\\\\ A\_\{s1\}+B\_\{s1\} & \\cdots & A\_\{sr\}+B\_\{sr\}\\\\ \\end\{array\} \\right\] A\+B=⎣⎢⎡A11\+B11⋮As1\+Bs1⋯⋯A1r\+B1r⋮Asr\+Bsr⎦⎥⎤

### 数乘 ###

分块矩阵数乘k，每个子矩阵都数乘k，如下所示

k A = \[ k A 11 ⋯ k A 1 r ⋮ ⋮ k A s 1 ⋯ k A s r \] kA=\\left\[ \\begin\{array\}\{cc\} kA\_\{11\} & \\cdots & kA\_\{1r\} \\\\ \\vdots & &\\vdots\\\\ kA\_\{s1\} & \\cdots & kA\_\{sr\}\\\\ \\end\{array\} \\right\] kA=⎣⎢⎡kA11⋮kAs1⋯⋯kA1r⋮kAsr⎦⎥⎤

### 矩阵乘法 ###

当A为m\*l矩阵，b为l\*n矩阵时，对A的列和B的行采用相同的分块方法时，有以下矩阵乘法法则：  
 A B = \[ C i j \] s × r AB=\[C\_\{ij\}\]\_\{s \\times r\} AB=\[Cij\]s×r  
其中， C i j = ∑ k = 1 t A i k B k j C\_\{ij\}=\\sum\_\{k=1\}^t A\_\{ik\}B\_\{kj\} Cij=∑k=1tAikBkj

要求：**子矩阵Ai的列数必须等于子矩阵Bj的行数，Aik必须在Bkj的左侧，不能随意交换位置**

### 转置 ###

分块矩阵转置时，子矩阵的行位置变成列位置（子矩阵关于主对角线进行对称），且**每个子矩阵都要进行转置**

### 特殊规律 ###

A = A E n = A \[ e 1 , e 2 , ⋯   , e n \] = \[ A e 1 , A e 2 , ⋯   , A e n \] A=AE\_n=A\[e\_1,e\_2,\\cdots,e\_n\]=\[Ae\_1,Ae\_2,\\cdots,Ae\_n\] A=AEn=A\[e1,e2,⋯,en\]=\[Ae1,Ae2,⋯,Aen\]

**可以用 e i T A e\_i^TA eiTA表示A的第i行，用 A e j Ae\_j Aej表示A的第j列，进一步可以用 e i T A e j e\_i^TAe\_j eiTAej表示A的(i,j)元aij**

一个矩阵乘En就可以得到该矩阵的第n列

# 可逆矩阵 #

对于非0数a，存在其倒数，记作 a − 1 = 1 a a^\{-1\}=\\frac\{1\}\{a\} a−1=a1且 a a − 1 = a − 1 a = 1 aa^\{-1\}=a^\{-1\}a=1 aa−1=a−1a=1，又称为逆数

对于矩阵也可以推广出类似的逆矩阵

## 可逆矩阵定义与性质 ##

对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则A叫做**可逆矩阵**，B叫做A的**逆矩阵**

若不存在这样的B，则A**不可逆**

**可逆矩阵及其逆矩阵都是方阵**

若A可逆，则A的逆矩阵唯一，记作 A − 1 A^\{-1\} A−1

一般的矩阵乘法不满足消去律，但若**某矩阵A可逆**，则有 A X = A Y = > A − 1 A X = A − 1 A Y = > X Y AX=AY => A^\{-1\}AX=A^\{-1\}AY => XY AX=AY=>A−1AX=A−1AY=>XY，**可以消去**

### 推论 ###

若方阵A和B满足AB=E，则AB都可逆，且 A − 1 = B , B − 1 = A A^\{-1\}=B,B^\{-1\}=A A−1=B,B−1=A

## 计算逆矩阵 ##

### 伴随矩阵 ###

矩阵A是n阶方阵，把由A的各个代数余子式组成的矩阵  
 A ∗ = \[ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n \] A^\*= \\left\[\\begin\{matrix\} A\_\{11\} &A\_\{21\}&\\cdots&A\_\{n1\}\\\\ A\_\{12\} &A\_\{22\}&\\cdots&A\_\{n2\}\\\\ \\vdots &\\vdots&&\\vdots\\\\ A\_\{1n\} &A\_\{2n\}&\\cdots&A\_\{nn\}\\\\ \\end\{matrix\}\\right\] A∗=⎣⎢⎢⎢⎡A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann⎦⎥⎥⎥⎤  
称为A的**伴随矩阵**

A\*的第i**列**元素就是A中第i**行**相应元素的代数余子式，注意这里有一个转置的过程！

A\*也是n阶方阵

### 矩阵可逆的充要条件 ###

方阵A可逆的充要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\\neq0 ∣A∣=0，

且当A可逆时， ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ , A − 1 = A ∗ ∣ A ∣ |A^\{-1\}|=\\frac\{1\}\{|A|\},A^\{-1\}=\\frac\{A^\*\}\{|A|\} ∣A−1∣=∣A∣1,A−1=∣A∣A∗

对于n阶方阵A，n>1，恒有 A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^\*=A^\*A=|A|E AA∗=A∗A=∣A∣E

|A|=0的矩阵是奇异矩阵；|A|不为0的矩阵是非奇异矩阵；非奇异矩阵和可逆矩阵是同一种矩阵

### 判断矩阵可逆并求解逆矩阵的步骤 ###

1.  算|A|
2.  算A\*
3.  算|A\-1|和A\-1
4.  结束

### 证明矩阵可逆的步骤 ###

1.  题中没有给多余条件：判断矩阵对应的行列式 ≠ 0 \\neq0 =0
2.  题中给了某些条件：用已知条件构造矩阵X另一矩阵=E

结论：若A为n阶方阵，则|A\*|=|A|n-1

### 可逆矩阵的性质 ###

若A为可逆矩阵，则：

*   A − 1 A^\{-1\} A−1也可逆，且 ( A − 1 ) − 1 = A (A^\{-1\})^\{-1\}=A (A−1)−1=A
 *   A T A^T AT也可逆，且 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^\{-1\}=(A^\{-1\})^T (AT)−1=(A−1)T
 *  若数 k ≠ 0 k\\neq0 k=0，则kA也可逆，且 ( k A ) − 1 = k − 1 A − 1 (kA)^\{-1\}=k^\{-1\}A^\{-1\} (kA)−1=k−1A−1
 *  若A和B是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^\{-1\}=B^\{-1\}A^\{-1\} (AB)−1=B−1A−1
 *  若A1,A2,…,Ak为同阶可逆矩阵，则A1A2…Ak也可逆，且 ( A 1 A 2 . . . A k ) − 1 = A 1 − 1 A 2 − 1 ⋯ A k − 1 (A\_1A\_2...A\_k)^\{-1\}=A^\{-1\}\_1A^\{-1\}\_2\\cdots A\_k^\{-1\} (A1A2...Ak)−1=A1−1A2−1⋯Ak−1
 *  若A可逆，Ak也可逆，且 ( A k ) − 1 = ( A − 1 ) k (A^k)^\{-1\}=(A^\{-1\})^k (Ak)−1=(A−1)k
 *   ( A + B ) − 1 = A − 1 + B − 1 (A+B)^\{-1\}=A^\{-1\}+B^\{-1\} (A\+B)−1=A−1\+B−1

### 初等行变换法求逆矩阵 ###

#### 前提定理 ####

三种初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵还是同类型的初等矩阵

**方阵A可逆的充要条件是A能表示成有限个初等矩阵的乘积**

可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵

**方阵A可逆的充要条件是A与E等价**——在矩阵A的左/右端乘可逆矩阵等价于对A进行有限次初等行/列变换

mxn矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B

#### 初等行变换法 ####

根据上述定理，**只要能用初等行变换把\[A,E\]化为\[E,B\]的形式，B一定是A的逆**

一般来说初等行变换求逆矩阵比用伴随矩阵求逆矩阵更方便

#### 推论 ####

\[ A C O B \] − 1 = \[ A − 1 − A − 1 C B − 1 O B − 1 \] \\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} A & C\\\\ O & B\\\\ \\end\{array\} \\right\]^\{-1\}= \\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} A^\{-1\} & -A^\{-1\}CB^\{-1\}\\\\ O & B^\{-1\}\\\\ \\end\{array\} \\right\] \[AOCB\]−1=\[A−1O−A−1CB−1B−1\]

\[ A O O B \] − 1 = \[ A − 1 O O B − 1 \] \\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} A & O\\\\ O & B\\\\ \\end\{array\} \\right\]^\{-1\}=\\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} A^\{-1\} & O\\\\ O & B^\{-1\}\\\\ \\end\{array\} \\right\] \[AOOB\]−1=\[A−1OOB−1\]

\[ A O C B \] − 1 = \[ A − 1 O − B − 1 C A − 1 B − 1 \] \\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} A & O\\\\ C & B\\\\ \\end\{array\} \\right\]^\{-1\}=\\left\[ \\begin\{array\}\{cc|cc\} A^\{-1\} & O\\\\ -B^\{-1\}CA^\{-1\} & B^\{-1\}\\\\ \\end\{array\} \\right\] \[ACOB\]−1=\[A−1−B−1CA−1OB−1\]

## 矩阵方程 ##

矩阵方程的一般形式为AX=C，YB=C和AZB=C，其中A和B可逆，可以求出他们的解为X=A\-1C、Y=CB\-1、Z=A\-1CB\-1，也就是求出A\-1和B\-1就能求出方程的解。若方程不能整理成这三种形式之一，或A、B不可逆，那么需要转化为方程组的形式进行求解。对于这三种形式的方程，可以使用初等行变换求解，步骤如下：

1.  检查 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\\neq 0 ∣A∣=0和 ∣ B ∣ ≠ 0 |B|\\neq0 ∣B∣=0
2.  将方程转换成标准的三种形式之一
3.  将方程联立得

$$  
\[A,C\]对应AX=C\\

\\left\[\\begin\{matrix\}  
B\\  
C  
\\end\{matrix\}\\right\]对应YB=C  
$$

将整体矩阵的左边/上边变换为单位矩阵，右边/下边就是待求矩阵

1.  仅**使用初等行变换**将原矩阵变换为以下形式：  
     \[ E , X \] \[ E Y \] \[E,X\]\\\\ \\left\[\\begin\{matrix\} E\\\\ Y \\end\{matrix\}\\right\] \[E,X\]\[EY\]