离散傅里叶变换的核心公式

太过爱你忘了你带给我的痛 2022-12-05 13:58 334阅读 0赞

## 连续傅里叶变换 ##

X ( f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j 2 π f t   d t X(f) = \\int\_\{-\\infty\}^\\infty x(t)e^\{-j2 \\pi ft\}\\,dt X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πftdt

## 离散傅里叶变换 ##

指数形式：  
 X ( m ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π n m / N X(m)=\\sum\_\{n=0\}^\{N-1\}\{x(n)e^\{-j2 \\pi nm / N\}\} X(m)=n=0∑N−1x(n)e−j2πnm/N

直角坐标形式：  
 X ( m ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) \[ c o s ( 2 π n m / N ) − j s i n ( 2 π n m / N ) \] X(m)=\\sum\_\{n=0\}^\{N-1\}\{x(n)\[cos(2 \\pi nm /N) - jsin(2 \\pi nm /N)\]\} X(m)=n=0∑N−1x(n)\[cos(2πnm/N)−jsin(2πnm/N)\]

X ( m ) = X r e a l ( m ) + j X i m a g ( m ) X(m) = X\_\{real\}(m) + jX\_\{imag\}(m) X(m)=Xreal(m)\+jXimag(m)

X(m)的分析频率：  
 f a n a l y s i s ( m ) = m f s N f\_\{analysis\}(m) = \\frac \{mf\_s\}\{N\} fanalysis(m)=Nmfs

X(m)的幅度：  
 X m a g ( m ) = ∣ X ( m ) ∣ = X r e a l ( m ) 2 + X i m a g ( m ) 2 X\_\{mag\}(m)=|X(m)|= \\sqrt \{X\_\{real\}(m)^2 + X\_\{imag\}(m)^2\} Xmag(m)=∣X(m)∣=Xreal(m)2\+Ximag(m)2

X(m)的相位角：  
 X ϕ ( m ) = t a n − 1 ( X i m a g ( m ) X r e a l ( m ) ) X\_\{\\phi\}(m) = tan^\{-1\}(\\frac\{X\_\{imag\}(m)\}\{X\_\{real\}(m)\}) Xϕ(m)=tan−1(Xreal(m)Ximag(m))

X(m)实部虚部三角关系：  
![在这里插入图片描述][20200912134858563.PNG]

## 欧拉公式 ##

指数形式变换为直角坐标形式，借助于欧拉公式：

e − j ϕ = c o s ( ϕ ) − j s i n ( ϕ ) e^\{-j \\phi \} = cos( \\phi ) - jsin( \\phi ) e−jϕ=cos(ϕ)−jsin(ϕ)

欧拉公式：  
 e j ϕ = c o s ( ϕ ) + j s i n ( ϕ ) e^\{j \\phi \} = cos( \\phi ) + jsin( \\phi ) ejϕ=cos(ϕ)\+jsin(ϕ)

欧拉公式：  
 e π j + 1 = 0 e^\{ \\pi j\} + 1 = 0 eπj\+1=0

## 自然常数 ##

e = lim ⁡ x − > ∞ ( 1 + 1 x ) x ≈ 2.71828 e = \\lim\_\{x-> \\infty \}(\{1 + \\frac\{1\}\{x\}\})^x ≈ 2.71828 e=x−>∞lim(1\+x1)x≈2.71828

## 圆周率 ##

π ≈ 3.14159 \\pi ≈ 3.14159 π≈3.14159

## 三角函数 ##

![在这里插入图片描述][20200912133157736.jpg]

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th align="left">函数</th> 
   <th align="left">英文名</th> 
   <th align="left">缩写</th> 
   <th align="left">定义</th> 
   <th align="left">语言描述</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td align="left">正弦函数</td> 
   <td align="left">sine</td> 
   <td align="left">sin</td> 
   <td align="left">a/c</td> 
   <td align="left">∠A的对边比斜边</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="left">余弦函数</td> 
   <td align="left">cosine</td> 
   <td align="left">cos</td> 
   <td align="left">b/c</td> 
   <td align="left">∠A的邻边比斜边</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="left">正切函数</td> 
   <td align="left">tangent</td> 
   <td align="left">tan</td> 
   <td align="left">a/b</td> 
   <td align="left">∠A的对边比邻边</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="left">反正切函数</td> 
   <td align="left">arc tangent</td> 
   <td align="left">atan、tan⁻¹</td> 
   <td align="left"></td> 
   <td align="left">正切函数y=tan(x)在开区间（x∈(-π/2,π/2)）的反函数</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 参考文献 ##

![在这里插入图片描述][20200902102123579.PNG]

[20200912134858563.PNG]: /images/20221123/1f1db0e8fa7f46819a0a17a7cf0290a3.png
[20200912133157736.jpg]: /images/20221123/fd125805a1a7434b9a74758232ff261c.png
[20200902102123579.PNG]: /images/20221123/cb864ea0aaeb4658aa5f8b8159aacc64.png