MATLAB08:符号运算

清疚 2022-12-04 08:35 317阅读 0赞

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**目录**

创建符号变量

创建符号数字

创建符号变量

符号运算

符号表达式的化简与代入

符号表达式的化简

符号表达式的代入

求方程的解析解

解单变量方程

解多变量方程

解方程组

符号微积分运算

求极限

微分

积分

级数求和

泰勒展开

绘制图像

--------------------

MATLAB强大的符号运算基于符号运算工具箱,具体请见其[官方文档][Link 1].

# 创建符号变量 #

## 创建符号数字 ##

使用`sym`函数可以创建符号数字.使用符号数字可以精确地保存无理数,不会产生误差.

sym(1/3)	% 得到 1/3
    1/3			% 得到 0.3333

将无理数保存为符号数字可以避免将其转换为浮点数的误差:

1.  使用符号数字计算![sin(\\pi)][sin_pi]
    
        sin(sym(pi))	% 得到 0
        sin(pi)			% 得到 1.2246e-16
2.  使用符号数字计算![\\phi = \\frac\{1+\\sqrt\{5\}\}\{2\}][phi _ _frac_1_sqrt_5_2]
    
        symphi = (1 + sqrt(sym(5)))/2;	% 得到 5^(1/2)/2 + 1/2
        symf = symphi^2 - symphi - 1;	% 得到 (5^(1/2)/2 + 1/2)^2 - 5^(1/2)/2 - 3/2
        
        numphi = (1 + sqrt(5))/2;		% 得到 1.6180
        numf = numphi^2 - numphi - 1;	% 得到 0

## 创建符号变量 ##

使用`sym`和`syms`可以创建符号变量,区别在于:

1.  `sym`每次只能创建一个符号变量,而`syms`一次可以创建多个符号变量.
    
        syms a		% sym命令只能创建一个符号变量
        syms b c d	% syms命令可以创建多个符号变量
2.  若所指定的符号变量已存在,`sym`不会保留其原有的值,而`syms`会清空其值.
    
        syms x y
        f = x+y;	% 隐式创建符号变量f
        sym f		% 不清空变量f原有的值,即f = x + y
    
        syms x y
        f = x+y;	% 隐式创建符号变量f
        syms f		% 清空变量f原有的值,即f = f
3.  使用`sym`可以创建符号变量矩阵.
    
        A = sym('a', [2 5])	% 创建一个2*5的符号变量矩阵
        whos
    
    得到的输出如下:
    
        A =
        [ a1_1, a1_2, a1_3, a1_4, a1_5]
        [ a2_1, a2_2, a2_3, a2_4, a2_5]
         
         
          Name      Size            Bytes  Class    Attributes
          A         2x5               112  sym
    
    联合使用`sym`和`syms`可以快速创建一系列带下标的变量
    
        clear all
        syms(sym('a', [1 5]))
        whos
    
    得到输出如下:
    
        Name      Size            Bytes  Class    Attributes
          a1        1x1                 8  sym                
          a2        1x1                 8  sym                
          a3        1x1                 8  sym                
          a4        1x1                 8  sym                
          a5        1x1                 8  sym

# 符号运算 #

## 符号表达式的化简与代入 ##

### 符号表达式的化简 ###

使用`simplify()`函数可以化简符号表达式.

syms x a b c
    
    simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2);		% 得到 1
    simplify(exp(c*log(sqrt(a+b))));	% 得到 (a + b)^(c/2)

表达式化简的标准是不确定的,下面三个函数分别按照不同标准化简表达式:

*  `expand()`函数可以展开表达式
    
        syms x
        
        f = (x ^2- 1)*(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)*(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1);
        expand(f);		% 得到 x^10 - 1
 *  `factor()`函数可以分解因式
    
        syms x
        
        g = x^3 + 6*x^2 + 11*x + 6;
        factor(g);		% 得到 (x + 3)*(x + 2)*(x + 1)
 *  `horner()`函数可以将多项式变为嵌套形式
    
        syms x
        
        h = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x;
        horner(h);		% 得到 x*(x*(x*(x*(x + 1) + 1) + 1) + 1)

### 符号表达式的代入 ###

使用`sub(expr, old, new)`函数可以将符号表达式`expr`中的`old`替换为`new`.

syms x
    
    f = 2*x^2 - 3*x + 1;
    subs(f, 1/3)	% 得到 2/9

syms x y
    
    f = x^2*y + 5*x*sqrt(y);
    subs(f, x, 3);	% 得到 9*y + 15*y^(1/2)

## 求方程的解析解 ##

使用`solve(eqn,var)`和`solve(eqns,vars)`可以求取方程式的解析解.

### 解单变量方程 ###

使用`==`定义一个方程,并对其调用`solve`函数求解.

syms x
    
    eqn = x^3 - 6*x^2 == 6 - 11*x;
    solve(eqn);		% 得到 [1 2 3]

若不指定`==`符号右边的值,则默认等式右边为0.

syms x
    
    eqn = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6;
    solve(eqn);		% 得到 [1 2 3]

### 解多变量方程 ###

对于多变量方程,我们需要指定针对哪个变量进行求解.

syms x y
    
    eqn = [6*x^2 - 6*x^2*y + x*y^2 - x*y + y^3 - y^2 == 0];
    solve(eqn, y);	% 得到 [1, 2*x, -3*x]

### 解方程组 ###

向`solve()`函数传入方程组可以解方程.

syms u v
    
    eqns = [2*u + v == 0, u - v == 1];
    S = solve(eqns,[u v]);

可以通过变量名索引方程的解,并可以将该解代入其他表达式中.

S.u;				% 得到 1/3
    S.v;				% 得到 -2/3
    subs(3*v + u, S);	% 得到 -3/5

## 符号微积分运算 ##

### 求极限 ###

使用`limit(expr, var, a)`函数可以求取符号表达式`expr`在变量`var`趋近于`a`时的极限,添加参数`'left'`或`'right'`可以指定左极限或右极限.

syms x;
    expr = 1/x;
    
    limit(expr,x,0);			% 得到NaN
    limit(expr,x,0,'left');		% 得到-Inf
    limit(expr,x,0,'right');	% 得到Inf

### 微分 ###

使用`diff(expr, var, n)`函数可以求取符号表达式`expr`对变量`var`的`n`阶微分.

syms a b c x;
    expr = a*x^2 + b*x + c;
    
    diff(expr, a);		% 得到 x^2
    diff(expr, b);		% 得到 x
    diff(expr, x);		% 得到 b + 2*a*x
    diff(expr, x, 2);	% 得到 2*a

### 积分 ###

使用`int(expr, var)`函数可以求取符号表达式`expr`对变量`var`的不定积分.使用`int(expr, var, [a, b])`函数可以指定上下限求定积分,`a`和`b`可以是符号表达式.

syms x a b
    expr = -2*x/(1+x^2)^2;
    
    int(expr, x);			% 得到 1/(x^2 + 1)
    int(expr, x, [1, 2]);	% 得到 -0.3
    int(expr, x, [1, Inf]);	% 得到 -0.5
    int(expr, x, [a, b]);	% 得到 1/(b^2 + 1) - 1/(a^2 + 1)

对于一些函数,MATLAB不能求出其积分,这时MATLAB会返回一个未解析(unsolved)的积分形式.

syms x
    int(sin(sinh(x)));	% 一个无解的积分,MATLAB返回 int(sin(sinh(x)), x)

### 级数求和 ###

使用`symsum(expr, k, [a b])`计算级数`expr`的索引`k`从`a`到`b`的加和.

syms k x
    
    symsum(k^2, k)			% 得到 k^3/3 - k^2/2 + k/6
    symsum(k^2, k, [0 10])	% 得到 385
    symsum(x^k/factorial(k),k,1,Inf)	% 得到 exp(x) - 1

### 泰勒展开 ###

使用`taylor(expr,var,a)`计算表达式`expr`在`var=a`处的泰勒级数.

syms x
    
    taylor(exp(x))	% 得到 x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1
    taylor(sin(x))	% 得到 x^5/120 - x^3/6 + x
    taylor(cos(x))	% 得到 x^4/24 - x^2/2 + 1

# 绘制图像 #

可以对符号表达式绘制图像,常用的绘图函数如下:

<table style="width:419px;"> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th style="width:135px;">函数</th> 
   <th style="width:281px;">作用</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td style="width:135px;"><span style="color:#f33b45;"><code>fplot()</code></span></td> 
   <td style="width:281px;">绘制符号表达式的二维线图像</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:135px;"><span style="color:#f33b45;"><code>fplot3()</code></span></td> 
   <td style="width:281px;">绘制符号表达式的三维线图像</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:135px;"><span style="color:#f33b45;"><code>ezpolar()</code></span></td> 
   <td style="width:281px;">绘制符号表达式的极坐标线图像</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:135px;"><span style="color:#f33b45;"><code>fmesh()</code></span></td> 
   <td style="width:281px;">绘制网状面图像</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:135px;"><span style="color:#f33b45;"><code>fsurf()</code></span></td> 
   <td style="width:281px;">绘制带颜色的面图像</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:135px;"><span style="color:#f33b45;"><code>fcontour()</code></span></td> 
   <td style="width:281px;">绘制轮廓图像</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:135px;"><span style="color:#f33b45;"><code>fimplicit()</code></span></td> 
   <td style="width:281px;">绘制隐含函数关系的图像</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

1.  下面例子展示二维和三维线图像的绘制
    
        subplot(1, 2, 1)
        syms x
        f = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6;
        fplot(f, x)
        
        subplot(1, 2, 2)
        syms t
        fplot3(t^2*sin(10*t), t^2*cos(10*t), t)
    
                                 ![在这里插入图片描述][20191123174049841.png]
2.  下面例子演示三维面的绘制
    
        syms x y
        fsurf(x^2 + y^2)
    
                                 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L25jZXB1X0NoZW4_size_16_color_FFFFFF_t_70]
3.  下面例子演示隐含函数关系图像的绘制
    
        syms x y
        eqn = (x^2 + y^2)^4 == (x^2 - y^2)^2;
        fimplicit(eqn, [-1 1])
    
                                   ![在这里插入图片描述][20191123174144464.png]

[https_blog.csdn.net_ncepu_Chen_article_details_103213154]: https://blog.csdn.net/ncepu_Chen/article/details/103213154
[Link 1]: https://ww2.mathworks.cn/help/symbolic/index.html
[sin_pi]: https://private.codecogs.com/gif.latex?sin%28%5Cpi%29
[phi _ _frac_1_sqrt_5_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi%20%3D%20%5Cfrac%7B1&plus;%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D
[20191123174049841.png]: /images/20221123/2883fc31f0e4491bb6295bb7c98cbef8.png
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[20191123174144464.png]: /images/20221123/46d863d18b26400f9efeb77bdda5aee6.png