【随机过程】第一章随机过程概念与基本类型课后习题及答案

灰太狼 2022-11-15 12:58 476阅读 0赞

**1. 设随机过程X(t)=Vt+b,t ∈ \\in ∈ (0, ∞ \\infty ∞),b为常数，V为服从正太分布N(0,1)的随机变量，求X(t)的一维概率密度、均值和相关函数**  
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**2. 设随机变量Y具有概率密度f(y),令 X ( t ) = e − Y t , t > 0 , y > 0 X(t)= e^\{-Yt\},t>0,y>0 X(t)=e−Yt,t>0,y>0,求随机过程X(t)的一维概率密度及 E X ( t ) , R x ( t 1 , t 2 ) EX(t),R\_x(t\_1,t\_2) EX(t),Rx(t1,t2)**  
解：  
（1）由随机变量函数的概率密度公式知，X(t)的概率密度  
 f t ( x ) = f ( y ) ∣ y ′ ( x ) ∣ f\_t(x) = f(y)|y^\{'\} (x)| ft(x)=f(y)∣y′(x)∣  
其中 x = e − y t 即 y = − l n x t , y ’ ( x ) = − 1 t x x = e^\{-yt\}即y = -\\frac\{lnx\}\{t\},y^\{’\}(x)= -\\frac\{1\}\{tx\} x=e−yt即y=−tlnx,y’(x)=−tx1带入以上公式，得到X(t)的概率密度函数为 f t ( x ) = f ( − l n x t ) ∣ − 1 t x ∣ f\_t(x) = f(-\\frac\{lnx\}\{t\})|-\\frac\{1\}\{tx\}| ft(x)=f(−tlnx)∣−tx1∣  
（2）X(t)数学期望 E X ( t ) = E ( e − Y t ) = ∫ 0 ∞ f ( y ) e − y t d y EX(t)=E(e^\{-Yt\}) = \\int\_0^\{\\infty\}f(y)e^\{-yt\}dy EX(t)=E(e−Yt)=∫0∞f(y)e−ytdy  
（3）相关函数 R X ( t 1 , t 2 ) = E ( X ( t 1 ) X ( t 2 ) ) = ∫ 0 ∞ f ( y ) e − y ( t 1 + t 2 ) d y R\_X(t\_1,t\_2) = E(X(t\_1)X(t\_2)) =\\int\_0^\{\\infty\}f(y)e^\{-y(t\_1+t\_2)\}dy RX(t1,t2)=E(X(t1)X(t2))=∫0∞f(y)e−y(t1\+t2)dy  
3. 若从t=0开始每隔1/2秒抛zheng

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