0.1+0.2=0.3？为什么浮点数运算不精确？

绝地灬酷狼 2022-11-11 05:22 200阅读 0赞

### 为什么浮点数运算不精确？ ###

*  前言
 *  1. 相关概念
 *  2. 计算机中数据的表示方法
 *   *  2.1 n 位二进制可以表示的信息量
     *  2.2 定点数表示
     *  2.3 浮点数表示
     *  2.4 定点数 和 浮点数 的区别
     *  2.5 计算机表示实数的步骤
     *   *  2.5.1 转换为二进制数格式
         *  2.5.2 转换为二进制科学计数法表示
         *  2.5.3 转换为IEEE 754 标准格式
 *  3. IEEE 754 标准的浮点数
 *   *  3.1 一般格式
     *  3.2 两种常用格式
     *  3.3 特殊值
 *  4. 总结

# 前言 #

10道Java测试题，其中有几道题是关于浮点数的。

(1)
    float a = 0.125f; 
    double b = 0.125d;
    System.out.println((a - b) == 0.0); 
    代码的输出结果是什么？
    
    A. true
    B. false
    
    (2)
    double c = 0.8;
    double d = 0.7;
    double e = 0.6;
    
    那么 c-d 与 d-e 是否相等？
    
    A. true
    B. false
    
    (3)
    System.out.println(1.0 / 0); 的结果是什么？
    
    A. 抛出异常
    B. Infinity
    C. NaN
    
    (4)
    System.out.println(0.0 / 0.0); 的结果是什么？
    
    A. 抛出异常
    B. Infinity
    C. NaN
    D. 1.0
    
    
    (5) 引用自《技术之瞳》
    以下数字在表示为double(8字节的双精度浮点数)时存在舍入误差的有：
    
    A 100 
    B 根号2 
    C 10^30
    D 0.1 
    E 0.5
    
    (6) 
    写出float x 与“零值”比较的if语句

# 1. 相关概念 #

关于浮点数的相关概念如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMyNzI3MDk1_size_16_color_FFFFFF_t_70]

# 2. 计算机中数据的表示方法 #

*  在你的Chrome浏览器上按F12，然后找到console，输入表达式0.1 + 0.2，回车
 *  在你的电子计算器上按0.1 + 0.2 =

你会发现前者的结果是0.30000000000000004，而后者的结果是0.3（当然了！）。那么，为什么计算机的准确度，连普通的电子计算器的都比不上？关键在于计算机与计算器使用了不同的数据表示方法。

## 2.1 n 位二进制可以表示的信息量 ##

对于整数来说，8位有符号整数可以表示`[-128,127]`，8位无符号整数可以表示`[0,255]`，不管怎么样，8位二进制无论如何也只能表示`256个`整数。当需要表示`257`这个数，有且只有两个办法：

*  1、增加位数，例如9位二进制可表示的数值范围就可以容纳257这个数
 *  2、改变编码规则，例如规定真值是在机器数的基础上加一，这样的话，`0000,0000`就表示数`1`，`1111,1111`就表示数`257`。（事实上，这就是移码干的事情，3.1节会再提到）

这就是计算机的自有属性，数字计算机只能处理离散数据，二进制的位数直接决定了它能表示的离散数据个数，也决定了它所能表示的信息个数，对于n位二进制数，它可以表示的信息量为 2 N 2^N 2N。

同理，我们把问题域扩展到全体实数，8位二进制同样也只能表示`256`个实数。假如约定这样一种8位编码：最低两位为小数区域，其余是整数区域，这样就有：

000000.00 // 表示 0.0
    000000.01 // 表示 0.25
    000000.10 // 表示 0.5
    000000.11 // 表示 0.75
    000001.00 // 表示 1.0
    000001.01 // 表示 1.25
    ... 此处省略250个数

我们发现，介于0.0到0.25的数字被跳过了，而即使把小数区域的位长扩大到8位、16位、甚至一个极大的位数，也无法充分表示介于0.0到0.25所有的数。

这是因为，在0.0到0.25之间的数是连续的，有无限多个数，但是有限的N位长二进制最多只能表示 2 N 2^N 2N个信息量，有限的信息量无法表示无限的数据量，这就是现实世界与计算机世界的矛盾。

## 2.2 定点数表示 ##

实数有两种表示格式，分别是`定点数`和`浮点数`。像上面说的这种约定整数部分和小数部分为固定位置的格式，就是定点数表示。

定义：

*  定点数（fixed point numbers） 约定机器数中的小数点总是固定在某个特定的位置。

格式：

*  分为符号位、整数部分、隐含的小数点、小数部分。

特点：

*  整数部分和小数部分位长固定，当需要表示绝对值特大或者特小的数需要很大的空间。

## 2.3 浮点数表示 ##

我们已经知道32位二进制可以表示的信息量有 2 32 ≈ 4 ∗ 1 0 9 2 2^\{32\}\\approx 4\*10^92 232≈4∗1092，但是很多语言都会宣称它们的32位单精度浮点数的数值范围约为  − 3.4 ∗ 1 0 38 ～ 3.4 ∗ 1 0 38 -3.4\*10^\{38\}～ 3.4\*10^\{38\} −3.4∗1038～3.4∗1038（左右边界），这是因为采用了浮点数格式。

定义：

*  浮点数（floating point numbers） 使用科学计数法存储数字，小数点的位置根据指数的大小而浮动。

格式：

*  分为符号位、指数、尾数 ： N = 2 E ∗ M N=2^E\*M N=2E∗M

特点：

*  一部分位作为指数，可以扩大所表示的数值范围

意义：

*  是数字计算机表示实数的格式，并以`IEEE 754 (IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic)`为标准。

## 2.4 定点数 和 浮点数 的区别 ##

表示范围：浮点数一部分位为指数，相同位长，浮点数格式所能表示的数值范围远远大于定点数格式；

精度大小：浮点数格式只有一部分位是有效数值位，相同位长，浮点格式的精度比定点格式低；

运算复杂度：浮点数主要包括指数和尾数两部分，运算时需要对阶、尾数计算、规格化等步骤，浮点运算比定点运算复杂；

溢出：定点运算在数超过可表示数值范围即发生溢出；在浮点运算中，只有规格化后数值超过指数所能表示的范围才溢出。

## 2.5 计算机表示实数的步骤 ##

一个虚数上相当于两个实数，所以我们只需要关心实数在计算机中的表示即可，将一个实数装载入计算机需要分为三个步骤：

### 2.5.1 转换为二进制数格式 ###

这个步骤可能损失精度，换句话说，有些数会损失精度，而有些数不会，这取决于表示这个数需要的信息量和浮点数的存储格式

无理数（无限不循环小数） ：包含的信息量是无限的，例如圆周率 π π π，没有任何一本书能够写到圆周率最后一位，`java.lang.Math.PI`也只是 π π π的近似值，类似的，使用有限的二进制位自然无法精确表示；

有限循环小数 ：包含的信息量是有限的，它的信息量分为 `整数部分+小数不循环部分+小数循环部分`，例如 1.8333333... = 1.8 3 ‾ 1.8333333... = 1.8\\overline\{3\} 1.8333333...=1.83。但是浮点数的表示方法分为`符号位、指数区域和尾数区域`，并不会单独用一块区域来存储循环的部分，因此有限循环小数也无法精确表示；

整数和有限小数，它们包含的信息量也是有限的，关键看是否有因子5。举两个例子：0.1和1万亿，请问哪个数能用二进制数精确表示？

从十进制看，0.1拥有2个信息量（个位数为0，第一位小数为1），1万亿拥有一万亿个信息量，二选一的话，肯定是选择信息量更低的0.1。

但是，从二进制看，我们会发现0.1转换为二进制居然是一个无限循环小数 0.0 0011 ‾ 0.0\\overline\{0011\} 0.00011（将整数部分除2取余、小数部分乘2取整来完成转换），所以答案是：1万亿可以精确表示，而0.1无法精确表示！

事实上，在0.1 到 0.9 的 9 个小数中，只有 0.5 可以用二进制精确的表示。怎么理解呢？

我们把1想象成一个圆，在十进制里，它可以划分为10等分；但在二进制里，它只能划分为2等分。

也就是说二进制里一位，要么表示0，要么表示一半，它没有办法像十进制那样表示3/10、4/10、6/10… 1的一半在十进制里是什么？0.5，所以二进制可以精确表示0.5，任何包含因子5的数都可以用二进制精确表示。无法精确表示的数字，存储值只能是真实值的近似表示。

提示： 类似地，思考下十进制数格式可以精确表示1/3吗？

### 2.5.2 转换为二进制科学计数法表示 ###

这个步骤将二进制小数转换为规范化的科学计数法表示： N = a ∗ B E N = a \* B^E N=a∗BE，因为只是写法的转换，所以这一步没有精度损失。

### 2.5.3 转换为IEEE 754 标准格式 ###

IEEE 754严格规定了尾数域和指数域可表示的大小，位数有限，意味着信息量是有限的。有些数需要的二进制数据量巨大，在这个步骤自然会损失精度，具体如下：

*  大于浮点数可以表示的最大绝对值：上溢（溢出到 ± ∞ ±∞ ±∞）
 *  小于浮点数可以表示的最小绝对值：下溢（溢出到 ± 0 ±0 ±0）
 *  尾数有效位数超过尾数域位数（另外还有隐含的整数位1）：舍入误差

# 3. IEEE 754 标准的浮点数 #

IEEE 二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是广泛使用的浮点数运算标准，是大多数高级语言的现行浮点运算标准，例如C/C++、Java、JavaScript等。

## 3.1 一般格式 ##

浮点数格式的关键是科学计数法格式： N = a ∗ B E N = a \* B^E N=a∗BE，其中：

*  a称为尾数(mantissa)，或称有效数字(significand)
 *  B称为基数(base)，在二进制数中，基数是2
 *  E称为指数(exponent)

一个数的科学计数法表示是不唯一的，举个例子，对于二进制数 1111.000 0 ( 2 ) 1111.0000\_\{(2)\} 1111.0000(2)来说，以下都是合法的科学计数法表示： 111.1 ∗ 2 、 11.11 ∗ 2 2 11.11 ∗ 22 、 11110 ∗ 2 − 1 111.1∗2、11.11\*2^211.11∗22、11110\*2^\{-1\} 111.1∗2、11.11∗2211.11∗22、11110∗2−1，但这些都不是规格化的表示，唯一规格化的表示为：1.111∗231.111\*2^31.111∗23。

对于一个科学计数法表示，当尾数a的整数部分有且仅有一位有效数字时，我们称它是规格化的。由于0在数字的最左边是无效的，而在二进制的世界里只有0和1，因此，二进制数使用规格化的科学计数法时，整数部分固定为1。

既然整数部分1是固定的，那么就没有必要存储整数部分的信息了。正因如此，IEEE 754 标准的浮点数采用隐藏位的策略，整数部分的1是隐含的，不需要占用一位比特，这样是使得尾数可以多一位有效数。

综上，IEEE 754 浮点数的一般格式如下： N = ( − 1 ) s ∗ 1. f ∗ 2 E N = (-1)^s\*1.f\*2^E N=(−1)s∗1.f∗2E  
![在这里插入图片描述][20210319160327479.png]  
现在，我们已经知道浮点数划分的三个区域，现在我们来看这三个区域是如何求值的：

符号位：0表示正，1表示负

指数区域：移码

*  指数区域采用移码表示： E = 机 器 数 − b i a s E = 机器数 - bias E=机器数−bias，偏移值 b i a s = 2 位 长 − 1 − 1 bias=2^\{位长-1\}-1 bias=2位长−1−1 例如位长为8时， b i a s = 127 bias=127 bias=127，位长为11时， b i a s = 1023 bias=1023 bias=1023。注意：指数域全0和全1为特殊值

尾数区域：隐藏整数位的原码

*  尾数区域采用原码表示： 1. f = 1 + 机 器 数 1.f = 1 + 机器数 1.f=1\+机器数  
    举个例子，十进制数 10 0 ( 10 ) ) 100\_\{(10)\}) 100(10))转换为二进制为 1.100100 ∗ 2 ( 2 ) 6 1.100100\*2^6\_\{(2)\} 1.100100∗2(2)6。  
    这里推荐一个站点：[浮点数转换器][Link 1]，它可以很方便地对比实数的真值与机器数表示，如下图所示：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMyNzI3MDk1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

## 3.2 两种常用格式 ##

前面讲的是IEEE 754 浮点数的一般格式，其中最常用的是`32位单精度浮点数`和`64位双精度浮点数`，在高级语言中通常代表`float`和`double`两种数据类型（例如C/C++、Java）,在有些语言中只有一种数字格式`number`（例如JavaScript/TypeScript）。

单精度

*  单精度浮点数有8位指数，23位尾数，再加上隐藏的整数1，总共有24位二进制精度

双精度

*  双精度浮点数有11位指数，52位尾数，再加上隐藏的整数1，总共有53位二进制精度，具体如下：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMyNzI3MDk1_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

## 3.3 特殊值 ##

在 IEEE 754 标准规定指数区域全0 或 全1为特殊值，具体如下：

非规范化数（Denormalized Number）

*  定义：指数域全0，尾数域不为0（去掉隐含整数域为1的约定）
 *  意义：可以保存绝对值更小的数，所有可表示的浮点数的差值都可以表示

\+0/-0

*  定义：指数域全0，尾数域全0（去掉隐含整数域为1的约定）。IEEE 754 未要求具体的尾数域，意味着NaN不是一个而是一族。
 *  意义：符号位为0是+0，符号位为1是-0，在涉及无穷的运算中避免丢失符号信息，例如 x 1 1 / x = x x\\frac\{1\}\{1/x\} = x x1/x1=x，如果0不区分正负，在 x = ± ∞ x=±∞ x=±∞时不成立

正负无穷（Infinity）

*  定义：指数域全1，尾数全0
 *  意义：用于表达计算中产生的上溢（overflow），使得计算中出现上溢不至于终止计算
 *  产生：除了NaN外的非零值除以0，其结果为正负无穷

NaN（Not a Number）

*  定义：指数域全1，尾数域不为0
 *  意义：表示计算中的错误情况，例如 0.0 0.0 、 2 2 2 \\frac\{0.0\}\{0.0\}、2\\sqrt22 0.00.0、222，使得计算中出现错误不至于终止计算
 *  特点：`NaN`是无序的，比较操作符在任一操作数为`NaN`是为`false`，`!=`在任一操作数为`NaN`时为true，这意味着`NaN != NaN`。

# 4. 总结 #

为什么 0.1 + 0.2 != 0.3 呢？

首先，0.1 和 0.2 这两个实数无法用二进制精确表示。在二进制的世界里，只有包含因子 5 的十进制数才有可能精确表示，而 0.1 和 0.2 转换为二进制后是无限循环小数，在计算机中存储的值只能是真实值的近似表示，这里是第一次精度丢失；

其次，计算机浮点数采用了 IEEE 754 标准格式，IEEE 754 严格规定了尾数域和指数域可表示的大小，位数有限，意味着可表示的信息量是有限的，换句话说就会存在三种误差：上溢、下溢和舍入误差。而 0.1 + 0.2 的结果的尾数域部分刚好超过了尾数域位数，超过位数的部分舍去，存在舍入误差，这里是第二次精度丢失。

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[Link 1]: https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html
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