浮点数运算

短命女 2023-10-07 12:22 17阅读 0赞

今天学习了浮点数运算（加减乘除）。浮点数运算主要包括两部分：指数运算和尾数运算。在IEEE754标准下，指数运算就是阶码的运算，类似于无符号数运算。尾数运算是原码运算。之前一直很疑惑为什么前面的教材在介绍原码运算（加减乘除）所举的例子都是小数运算。现在猜想那部分内容可能只是为了浮点数运算做铺垫，这里才是主要的内容。（当然知识是不分重点的，但考试分）。下面就来详细介绍下浮点数运算的过程吧！另外本文使用的浮点数标准均为IEEE754结构，即单精度数由1位符号位，8位指数位，23位尾数位共计32位组成。

#### 一、浮点数的加减运算： ####

浮点数的加减运算分为5个步骤：对阶、尾数相加、尾数规格化、尾数舍入处理、溢出判断处理。下面详细介绍：

###### 1. 对阶： ######

所谓对阶，就是让两个操作数阶数相同，以便进行加减。实现的方式是对较小数的尾数进行右移操作。对阶的原则是向高阶看齐。计算公式为：  
![在这里插入图片描述][2020040900353897.png]  
当结果大于0说明被加数（被减数）阶数高，则对加数（减数）进行移位对阶。小于0则反之改变被加数（被减数）。

###### 2. 尾数加减： ######

将两个操作数的尾数相加减。值得注意的是：在IEEE754标准中，对于规格化数来说在小数点前有一位隐藏位1，在加减过程中需要把它还原到尾数中。尾数加减的实质是原码的加减，对于原码加减的规则如下图所示：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dsc19udWFh_size_16_color_FFFFFF_t_70]

###### 3. 尾数规格化： ######

加减完成的尾数形式未必满足IEEE754对于尾数的要求，即保留23位，小数点在第一个1之后。需要对尾数进行左规和右规，下面介绍一下左规和右规。

左规：将尾数向左移，用于清除第一个1前面出现的0。左规伴随着阶码减少，在左规过程中要检测阶码是否发生下溢，即阶码达到最小值（0000 0000）。

右规：将尾数向右移，用于两数相加后出现向高位进位的情况。因为两数相加最多进一位，所以右规最多一位。右规伴随着阶码的增加，在右规过程中要检测阶码是否发生上溢，即阶码达到最大值（1111 1111）。

###### 4. 尾数的舍入处理： ######

在对阶和右规的时候，最右边的数字会被移出。为了保证最后计算的精度，把这些数字在过程中保存，等到最后进行舍入。也就是我上文提到的附加位。有两个问题值得注意：

1） 保留多少附加位合适？

2）最终对附加位怎么进行舍入？

在IEEE754中保留了保护位，舍入位，粘位三位作为附加位。同时对于IEEE754来说最后附加位的舍入，有如下规则：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dsc19udWFh_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

###### 5. 溢出判断： ######

在浮点数中是以阶码的溢出与否来作为评判标准的。单精度溢出分为上溢（指数大于等于127）和下溢（指数小于等于-126）。

*插一句：“之前一直以为下溢的指数是-149，这个数字来源于-126再把所有的尾数向右移，当到达-149时刚刚好所有尾数全部为零，即表示零。这个误区在于没有正确的区分规格化数和非规格化数。对于规格化数而言，下溢就是-126，所以规格化数表示的最小值为1.00…乘2的-126次方，而0~0.111…乘2的-126次方就是非规格化数表示的范围。-149正是非规格化数表示的最小范围。这里贴一张图，更加便于理解。*

![在这里插入图片描述][20200409004203290.png]  
下面直接粘贴一个书上的实例，对以上过程进一步加深了解：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dsc19udWFh_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

#### 二、浮点数乘除运算： ####

浮点数乘除和定点数乘除相同，在正式运算前会对操作数进行预处理。对于乘法如果有一个操作数为0则结果为0。对于浮点数除法，若被除数为0，则结果为0。除数为0分两种情况，第一种是被除数非零，第二种是被除数为0。下面着重介绍一下两种除数为0：  
除数为0，被除数不为0：  
结果为无穷大。在IEEE 754标准下就是阶码全为1，尾数全为0。C语言输出如下图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dsc19udWFh_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
除数为0，被除数为0：  
结果是NAN（not a number)。在IEEE 754标准下就是阶码全为1，尾数非0。在C语言中输出如下图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dsc19udWFh_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
注：在Windows系统下，-1.\#IND00即代表nan，Linux系统下会输出nan。

下面详细介绍无特殊情况浮点数的乘除运算：

浮点数乘除运算公式如下图：  
![在这里插入图片描述][20200409004503466.png]

#####  1.浮点数的乘法： #####

点数的乘法运算主要分为四步：尾数相乘指数相加、尾数规格化、尾数舍入处理、溢出处理判断。

######  1）尾数相乘，指数相加： ######

尾数相乘即为原码相乘，*这个具体的过程请参考另一篇文章：定点数运算（于文末给出网址）*。**值得注意的是，对于规格化浮点数要记得恢复隐藏位**。指数相加可以直接运用移码的计算方法：

######  2）尾数规格化： ######

对于两个操作数的尾数一定都是大于1的（隐藏位导致），所以最终得到的结果，小数点前会有两位共三种情况（01，11，10）。若为01则不需规格化，11和10则需右规一位。注意对于IEEE754标准浮点数乘法不需要左规。

######  3）尾数舍入处理： ######

两个小数相乘，尾数自然更多，但位置是有限的，需要对尾数进行舍入，具体的舍入规则参照浮点数加减的舍入规则即可。

######  4）溢出处理判断： ######

乘法的溢出有两种可能：阶码相加减时，以及尾数右规时。右规与上文相同，下面介绍一下阶码溢出的判断标准：  
![在这里插入图片描述][20200409004832906.png]  
*注：Eb是最终的结果，EX和EY是操作数的指数值。*

#####  2.浮点数除法： #####

浮点数除法大致分为4步：尾数相除阶相减、尾数规格化、尾数舍入、溢出判断处理。由于除法大部分与乘法相似，所以此处只列出不同部分。

在尾数相除阶相减过程中，尾数除法也在上文引用那篇文章中有具体介绍。阶码相减的运算公式如下：  
![在这里插入图片描述][20200409005028101.png]  
在尾数规格化步骤中：当除法运算完成后，若小数点前为0，则需进行左规以保证小数点前具有隐藏位1。

对于除法阶码溢出判断的规则如下：  
![在这里插入图片描述][20200409005052886.png]  
*注：Eb为最终结果指数，EXEY为操作数指数。*

补充：在《程序是怎样跑起来的？》书中，对于阶码为什么使用0-127做了一个原因的解释：在计算机中，使用EXCESS系统的方法来同时存储正数和负数。这里面的0-127就是增加幻数之后的数字。幻数选择了127，可记为Excess\_127。

##### 本篇文章对于浮点数运算进行了介绍，因为作者水平有限，可能某些地方理解错误，请高手不吝赐教，批评指正，谢谢！ #####

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