【通信原理入坑之路】—— 理解 4G，5G中的天王山：OFDM【学习笔记2】

╰+攻爆jí腚メ 2022-10-27 06:15 104阅读 0赞

在上一篇博文中，我们学习了OFDM的基本概念，了解了OFDM中的正交，以及频分复用的方法、子载波频率的选取，最后我们还引出了OFDM实现的初步框图，如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

那么今天，我们将会根据这个框图，结合Matlab仿真深入认识一下OFDM的频谱。我们假设 MQAM中的 M = 4，那么就退化为 QPSK。

从上图我们看出，基带OFDM信号可以写成： s ( t ) = ∑ k = 1 N \[ I k c o s ( k ω 0 t ) − Q k s i n ( k ω 0 t ) \] s(t) = \\sum\_\{k=1\}^N\[I\_kcos(k\\omega\_0t)-Q\_ksin(k\\omega\_0t)\] s(t)=k=1∑N\[Ikcos(kω0t)−Qksin(kω0t)\]  
值得注意的是，这里我们假设基波频率是： f = ω 0 2 π f = \\frac\{\\omega\_0\}\{2\\pi\} f=2πω0

为了简化分析而不失一般性，我们假设采用 QPSK调制，同时假设码元周期为 T = 1，OFDM系统采用4个子载波（频率分别为：1Hz，2Hz, 3Hz, 4Hz），因此OFDM基带信号就可以写成：

s ( t ) = I 1 c o s ( 2 π t ) − Q 1 s i n ( 2 π t ) + I 2 c o s ( 4 π t ) − Q 2 s i n ( 4 π t ) + I 3 c o s ( 6 π t ) − Q 3 s i n ( 6 π t ) + I 4 c o s ( 8 π t ) − Q 4 s i n ( 8 π t ) s(t) = I\_1cos(2\\pi t)-Q\_1sin(2\\pi t)+ I\_2cos(4\\pi t)-Q\_2sin(4\\pi t)+ I\_3cos(6\\pi t)-Q\_3sin(6\\pi t)+ I\_4cos(8\\pi t)-Q\_4sin(8\\pi t) s(t)=I1cos(2πt)−Q1sin(2πt)\+I2cos(4πt)−Q2sin(4πt)\+I3cos(6πt)−Q3sin(6πt)\+I4cos(8πt)−Q4sin(8πt)  
那么，我们首先来看看  I 1 c o s ( 2 π t ) + I 2 c o s ( 4 π t ) + I 3 c o s ( 6 π t ) + I 4 c o s ( 8 π t ) I\_1cos(2\\pi t)+I\_2cos(4\\pi t)+I\_3cos(6\\pi t)+I\_4cos(8\\pi t) I1cos(2πt)\+I2cos(4πt)\+I3cos(6πt)\+I4cos(8πt)部分的频谱：

%-----------------------------相关参数约定--------------------------------%
    %1. 码元周期 1s
    %2. 不同的子载波频率:  f=1, 2,  3, 4 ...
    %3. 调制方式 统一使用QPSK调制
    %   QPSK调制映射表 -------------------------------------------
    %                 data     |          I         |          Q
    %                 -------------------------------------------
    %                  00      |        1/√2       |        1/√2
    %                  01      |       -1/√2       |        1/√2
    %                  11      |       -1/√2       |       -1/√2
    %                  10      |        1/√2       |       -1/√2
    %                 -------------------------------------------
    clc
    clear
    close all
    Ts = 1;   %码元周期为1s
    data = [0 0 0 1 1 1 1 0];
    I1 = 1/sqrt(2);
    Q1 = 1/sqrt(2);
    I2 = -1/sqrt(2);
    Q2 = 1/sqrt(2);
    I3 = -1/sqrt(2);
    Q3 = -1/sqrt(2);
    I4 = 1/sqrt(2);
    Q4 = -1/sqrt(2);
    f = -10:0.001:10;
    X1 = I1.*sinc(f-1);
    X2 = I2.*sinc(f-2);
    X3 = I3.*sinc(f-3);
    X4 = I4.*sinc(f-4);
    X1_ = I1.*sinc(f+1);
    X2_ = I2.*sinc(f+2);
    X3_ = I3.*sinc(f+3);
    X4_ = I4.*sinc(f+4);
    figure;
    plot(f, abs(X1),'k');
    hold on;
    plot(f, abs(X2),'k');
    hold on;
    plot(f, abs(X3),'k');
    hold on;
    plot(f, abs(X4),'k');
    hold on;
    plot(f, abs(X1_),'k');
    hold on;
    plot(f, abs(X2_),'k');
    hold on;
    plot(f, abs(X3_),'k');
    hold on;
    plot(f, abs(X4_),'k');
    grid on;
    title('OFDM频谱绝对值');
    xlabel('频率f/Hz');

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

我们可以发现：在 1Hz, 2Hz, 3Hz, 4Hz这四个频点处，其他频率成分的值均为0，采用OFDM这种并行传输方式，相邻的信道之间不仅没有隔离带，反而有 50% 的重叠，极大地提高了频谱利用率。

下面我们看看时域上这个OFDM符号的面貌：

%------------------------------下面在时域上看看---------------------------%
    t = 0:0.001:1;
    s1 = I1.*cos(2*pi*1*t)-Q1.*sin(2*pi*1*t);
    s2 = I2.*cos(2*pi*2*t)-Q2.*sin(2*pi*2*t);
    s3 = I3.*cos(2*pi*3*t)-Q3.*sin(2*pi*3*t);
    s4 = I1.*cos(2*pi*4*t)-Q1.*sin(2*pi*4*t);
    s_baseband = s1+s2+s3+s4;
    figure;
    plot(t, s_baseband);
    grid on;
    title('一个OFDM符号');

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

这个OFDM符号就是以码元周期为周期的，即 T = 1s.

下面我们从立体的角度看看 I 1 c o s ( 2 π t ) + I 2 c o s ( 4 π t ) + I 3 c o s ( 6 π t ) + I 4 c o s ( 8 π t ) I\_1cos(2\\pi t)+I\_2cos(4\\pi t)+I\_3cos(6\\pi t)+I\_4cos(8\\pi t) I1cos(2πt)\+I2cos(4πt)\+I3cos(6πt)\+I4cos(8πt)部分的频谱以及  − Q 1 s i n ( 2 π t ) − Q 2 s i n ( 4 π t ) − Q 3 s i n ( 6 π t ) − Q 4 s i n ( 8 π t ) -Q\_1sin(2\\pi t)-Q\_2sin(4\\pi t)-Q\_3sin(6\\pi t)-Q\_4sin(8\\pi t) −Q1sin(2πt)−Q2sin(4πt)−Q3sin(6πt)−Q4sin(8πt)的频谱：

> 如果大家不记得 cos 和 sin的频谱可以回顾一下信号与系统的相关知识。

%-----------------------三维频域----------------------------------%
    %下面是正脉冲的情况%
    f1 = -9:0.001:0;
    x = I1*sinc(f1+1);
    fill3(x,f1,0*f1,'r');
    hold on;
    f2 = 0:0.001:9;
    x = I1*sinc(f2-1);
    xlabel('x'); ylabel('f'); zlabel('y')
    grid on;
    fill3(x,f2,0*f2,'r');
    
    x2 = I2*sinc(f1+2);
    fill3(x2,f1,0*f1,'g');
    x3 = I2*sinc(f2-2);
    fill3(x3,f2,0*f2,'g');
    
    x4 = I3*sinc(f1+3);
    fill3(x4,f1,0*f1,'b');
    x5 = I3*sinc(f2-3);
    fill3(x5,f2,0*f2,'b');
    
    x6 = I4*sinc(f1+4);
    fill3(abs(x6),f1,0*f1,'y');
    x7 = I4*sinc(f2-4);
    fill3(x7,f2,0*f2,'y');
    set(gca, 'YDir', 'reverse');
    
    %----------------------------sin部分--------------------------------%
    %下面是正脉冲的情况%
    figure;
    f1 = -9:0.001:0;
    st1 = -Q1*sinc(f1+1);
    fill3(0*f1,f1,st1, 'm');
    grid on;
    hold on;
    f2 = 0:0.001:9;
    st2 = -Q1*sinc(f2-1);
    fill3(0*f2,f2,st2,'m');
    grid on;
    
    st3 = -Q2*sinc(f1+2);
    fill3(0*f1,f1,st3, 'g');
    st4 = -Q2*sinc(f2-2);
    fill3(0*f2,f2,st4,'g');
    
    st5 = -Q3*sinc(f1+3);
    fill3(0*f1,f1,st5, 'r');
    st6 = -Q3*sinc(f2-3);
    fill3(0*f2,f2,st6,'r');
    
    st7 = -Q4*sinc(f1+4);
    fill3(0*f1,f1,st7, 'c');
    st8 = -Q4*sinc(f2-4);
    fill3(0*f2,f2,st8,'c');
    
    set(gca,'YDir','reverse');

首先是 I 1 c o s ( 2 π t ) + I 2 c o s ( 4 π t ) + I 3 c o s ( 6 π t ) + I 4 c o s ( 8 π t ) I\_1cos(2\\pi t)+I\_2cos(4\\pi t)+I\_3cos(6\\pi t)+I\_4cos(8\\pi t) I1cos(2πt)\+I2cos(4πt)\+I3cos(6πt)\+I4cos(8πt)部分的频谱  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

接下来是  − Q 1 s i n ( 2 π t ) − Q 2 s i n ( 4 π t ) − Q 3 s i n ( 6 π t ) − Q 4 s i n ( 8 π t ) -Q\_1sin(2\\pi t)-Q\_2sin(4\\pi t)-Q\_3sin(6\\pi t)-Q\_4sin(8\\pi t) −Q1sin(2πt)−Q2sin(4πt)−Q3sin(6πt)−Q4sin(8πt)的频谱：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

可以观察：即使它们叠加在一起也不妨碍正交性。因为 sin 函数和 cos 函数本身就是正交的。

在本次博文中，我们从多个角度直观地分析了 OFDM信号的频谱，那么在下一篇博文中，我们将深入探讨OFDM的系统框图以及OFDM的优势和所遇到的问题。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221024/f7e467b9909e419d93b3cb91d8863a8e.png
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