【通信原理入坑之路】—— 理解 4G，5G中的天王山：OFDM【学习笔记1】

川长思鸟来 2022-10-27 02:36 146阅读 0赞

> 从今天开始，博主将和大家一起开始正式学习 4G，5G技术中的其中一座天王山：OFDM。博主也将尽可能用易于理解的语言将本人所掌握的知识表述出来，如有不当，欢迎大家在评论区斧正！

# OFDM（正交 Orthogonal、频分复用 FDM） #

OFDM顾名思义就是 两个关键点：什么是“正交”，什么是频分复用？我们这篇博客主要是搞清楚这两点，从而理解OFDM的特点。

在数学上，我们对于正交的感觉就是 “垂直”，而在通信人眼中，正交的含义就是 “**混合的信号可以完全分离**”，这就叫正交。举个例子：如果我们将油和水混合在一起，我们知道是可以通过静置或者加热等方法把水和油完全分离出来，因此我们说水和油是正交的。而如果将酱油和水混合，我们是无法再将它们分开了，因此这就不是正交的。

好的，了解了正交，下面我们来看看什么是频分复用 FDM：FDM就是将用于传输信道的总带宽划分成若干个子频带（或称子信道），每一个子信道传输1路信号 \[1\]。**换句话说，就是对于一个信道，在同一时刻会有多种频率的信号同时工作。**

回顾一下我们在《通信原理》中所学习到的一些调制方式：ASM, PSK, FSM, QAM等，**它们都属于单载波工作**。（*尽管FSM会使用多种不同频率的高频载波，但是在某一个时刻，还是只能存在某一种载波，因此不属于多载波范畴*）。

下面我们来看看 FDM 的发射框图（以三载波为例）：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
当然，FDM技术也会遇到这样的困扰：即如何避免多个高频载波之间的干扰？因为即使我们为三个高频载波设置了不同的频点，但是在经过数据调制之后，不同的载波还是会占据一定宽度的频谱，如果载波之间的间隔比较小，那么就有可能落入其他载波频谱的范围内，对接收造成影响。

**缓解这个问题的方法是：可以在调制之后加上一个带通滤波器，将载波的频谱限制在一定的范围之内，只保留主频带上的能量。** 但是，即使是使用了带通滤波器，在高频信号经过带通滤波之后，主频带之外还是会有一些能量的，这称为**带外杂散**。因此，我们还需要设置一个**防护频带**（guard band)，作为减少相邻频带之间干扰的缓冲区。

下图展示了 FDM 的频谱示意图：

【1】在下图这种情况下，虽然我们设置了三个不同的频点，但是载波之间的距离过小，导致接收时无法对这三个频率成分的频谱完全分离。  
![在这里插入图片描述][20210203134519740.png_pic_center]

【2】下图这种情况，为三个频带设置了一定宽度的防护频带，因此在接受时可以使用滤波器将三个成分完全分离。  
![在这里插入图片描述][20210203134737285.png_pic_center]

【3】三个频带挨得最近的极限情况，此时理论上可以完全分离，但是实际工程中难以实现。  
![在这里插入图片描述][20210203134817386.png_pic_center]  
那么，从上面对 FDM 的分析中，我们可以得到下面两个重要的结论：

1.  **FDM 也是一种正交技术！** 因为当设置了合适的保护频带之后，我们在接收端是可以使用滤波器将它们完全分离的，那么既然是有办法完全分离，那么就属于正交的定义。（即：**FDM信号在时域上是混合的，但是在频域上确实分离的**）
2.  **FDM 技术的频谱利用率是比较低的，因为这样的频率保护带占用了更多的频谱资源，当载波数量继续增加时，保护带对频谱资源的浪费就更加严重。**

--------------------

好的，回过头来我们看：我们刚刚说 FDM 是频分复用，且 FDM 技术也是正交的，那么不就是正交频分复用吗？？？那为什么还整出来一个 OFDM呢？**其实玄机在于 OFDM的正交和 FDM的正交 是不一样的正交！** 下面我们来看看 OFDM 的正交是什么样的：

首先我们回顾一下高数中的积分公式： ∫ 0 2 π c o s ( n x ) s i n ( m x ) d x = 0 ∫ 0 2 π c o s ( n x ) c o s ( m x ) d x = 0 ∫ 0 2 π c o s ( n x ) c o s ( n x ) d x = π ∫ 0 2 π s i n ( m x ) s i n ( m x ) d x = π \\int\_0^\{2\\pi\} cos(nx)sin(mx)dx =0\\\\ \\int\_0^\{2\\pi\} cos(nx)cos(mx)dx =0\\\\ \\int\_0^\{2\\pi\} cos(nx)cos(nx)dx =\\pi\\\\ \\int\_0^\{2\\pi\} sin(mx)sin(mx)dx =\\pi ∫02πcos(nx)sin(mx)dx=0∫02πcos(nx)cos(mx)dx=0∫02πcos(nx)cos(nx)dx=π∫02πsin(mx)sin(mx)dx=π

当时我们的高数课本中得出了这样的结论：  
1，  c o s x , s i n x , c o s ( 2 x ) , s i n ( 2 x ) , ⋯   , c o s ( n x ) , s i n ( n x ) cosx, sinx, cos(2x), sin(2x), \\cdots, cos(nx), sin(nx) cosx,sinx,cos(2x),sin(2x),⋯,cos(nx),sin(nx) 其中任意两个不同的函数的乘积在  \[ 0 , 2 π \] \[0, 2\\pi\] \[0,2π\]区间上的积分均为0，即正交。它们组成了三角级数的函数系。 而在这个函数系里面相同的两个函数的乘积在 \[ 0 , 2 π \] \[0, 2\\pi\] \[0,2π\]区间上的积分不为0.

**那么换句话说，如果我们使用了  c o s ( n x ) cos(nx) cos(nx) 和  c o s ( m x ) cos(mx) cos(mx) 作为了多载波系统的两个载波，把它们在时域上混合，那么在接收的时候，我们如果要分理出  c o s ( n x ) cos(nx) cos(nx) 和  c o s ( m x ) cos(mx) cos(mx) ，只需要用  c o s ( n x ) cos(nx) cos(nx) 或者  c o s ( m x ) cos(mx) cos(mx) 和 c o s ( n x ) ， c o s ( m x ) cos(nx)，cos(mx) cos(nx)，cos(mx)的混合信号相乘再积分，就可以分理出两种信号了。**

不过这还不是最终OFDM的正交，我们的积分区间有时并不一定是  \[ 0 , 2 π \] \[0, 2\\pi\] \[0,2π\]，**准确来讲应该是在一个码元周期 T 内积分，要保证所选取的载波正交！** 那么下面我们来看看载波频率应该如何选择，才能保证在一个码元周期内积分等于0：

> 我们假设所任意两个载波角频率分别是： ω 1 \\omega\_1 ω1和  ω 2 \\omega\_2 ω2，相应的载波就是： c o s ( ω 1 t ) cos(\\omega\_1t) cos(ω1t) 和  c o s ( ω 2 t ) cos(\\omega\_2t) cos(ω2t)，设码元周期是 T 。不过考虑到实际工程中，各载波的初始相位可能不同，因此，我们给第一个载波加上一个初始相位  Φ Φ Φ，那么有： 0 = ∫ 0 T c o s ( ω 1 t + Φ ) c o s ( ω 2 t ) d t = ∫ 0 T ( c o s ( ω 1 t ) c o s Φ − s i n ( ω 1 t ) s i n Φ ) c o s ( ω 2 t ) d t = c o s Φ ∫ 0 T c o s ( ω 1 t ) c o s ( ω 2 t ) d t − s i n Φ ∫ 0 T s i n ( ω 1 t ) c o s ( ω 2 t ) d t = c o s Φ 2 ∫ 0 T \[ c o s ( ω 1 t + ω 2 t ) + c o s ( ω 1 t − ω 2 t ) \] d t − s i n Φ 2 ∫ 0 T \[ s i n ( ω 1 t + ω 2 t ) + s i n ( ω 1 t − ω 2 t ) \] d t = c o s Φ 2 ∫ 0 T c o s ( ω 1 + ω 2 ) t d t + c o s Φ 2 ∫ 0 T c o s ( ω 1 − ω 2 ) t d t − s i n Φ 2 ∫ 0 T s i n ( ω 1 + ω 2 ) t d t − s i n Φ 2 ∫ 0 T s i n ( ω 1 − ω 2 ) t d t = c o s Φ 2 \[ s i n ( ω 1 + ω 2 ) T ω 1 + ω 2 + s i n ( ω 1 − ω 2 ) T ω 1 − ω 2 \] + s i n Φ 2 \[ c o s ( ω 1 + ω 2 ) T − 1 ω 1 + ω 2 + c o s ( ω 1 − ω 2 ) T − 1 ω 1 − ω 2 \] = 0 \\begin\{aligned\} 0&=\\int\_\{0\}^Tcos(\\omega\_1t+Φ)cos(\\omega\_2t)dt\\\\ &=\\int\_0^T(cos(\\omega\_1t)cosΦ-sin(\\omega\_1t)sinΦ)cos(\\omega\_2t)dt\\\\ &=cosΦ\\int\_0^Tcos(\\omega\_1t)cos(\\omega\_2t)dt - sinΦ\\int\_0^Tsin(\\omega\_1t)cos(\\omega\_2t)dt\\\\\\\\ &=\\frac\{cosΦ\}\{2\}\\int\_0^T\[cos(\\omega\_1t+\\omega\_2t)+cos(\\omega\_1t-\\omega\_2t)\]dt - \\frac\{sinΦ\}\{2\}\\int\_0^T\[sin(\\omega\_1t+\\omega\_2t)+sin(\\omega\_1t-\\omega\_2t)\]dt\\\\ &=\\frac\{cosΦ\}\{2\}\\int\_0^Tcos(\\omega\_1+\\omega\_2)t dt+\\frac\{cosΦ\}\{2\}\\int\_0^Tcos(\\omega\_1-\\omega\_2)t dt- \\frac\{sinΦ\}\{2\}\\int\_0^Tsin(\\omega\_1+\\omega\_2)t dt-\\frac\{sinΦ\}\{2\}\\int\_0^Tsin(\\omega\_1-\\omega\_2)t dt\\\\ &=\\frac\{cosΦ\}\{2\}\[\\frac\{sin(\\omega\_1+\\omega\_2)T\}\{\\omega\_1+\\omega\_2\}+\\frac\{sin(\\omega\_1-\\omega\_2)T\}\{\\omega\_1-\\omega\_2\}\]+\\frac\{sinΦ\}\{2\}\[\\frac\{cos(\\omega\_1+\\omega\_2)T-1\}\{\\omega\_1+\\omega\_2\}+\\frac\{cos(\\omega\_1-\\omega\_2)T-1\}\{\\omega\_1-\\omega\_2\}\]=0 \\end\{aligned\} 0=∫0Tcos(ω1t\+Φ)cos(ω2t)dt=∫0T(cos(ω1t)cosΦ−sin(ω1t)sinΦ)cos(ω2t)dt=cosΦ∫0Tcos(ω1t)cos(ω2t)dt−sinΦ∫0Tsin(ω1t)cos(ω2t)dt=2cosΦ∫0T\[cos(ω1t\+ω2t)\+cos(ω1t−ω2t)\]dt−2sinΦ∫0T\[sin(ω1t\+ω2t)\+sin(ω1t−ω2t)\]dt=2cosΦ∫0Tcos(ω1\+ω2)tdt\+2cosΦ∫0Tcos(ω1−ω2)tdt−2sinΦ∫0Tsin(ω1\+ω2)tdt−2sinΦ∫0Tsin(ω1−ω2)tdt=2cosΦ\[ω1\+ω2sin(ω1\+ω2)T\+ω1−ω2sin(ω1−ω2)T\]\+2sinΦ\[ω1\+ω2cos(ω1\+ω2)T−1\+ω1−ω2cos(ω1−ω2)T−1\]=0  
> 而实际情况中， ω 1 + ω 2 > > 1 \\omega\_1+\\omega\_2>>1 ω1\+ω2>>1，因此上式中  s i n ( ω 1 + ω 2 ) T ω 1 + ω 2 → 0 、 c o s ( ω 1 + ω 2 ) T − 1 ω 1 + ω 2 → 0 \\frac\{sin(\\omega\_1+\\omega\_2)T\}\{\\omega\_1+\\omega\_2\} \\to 0、\\frac\{cos(\\omega\_1+\\omega\_2)T-1\}\{\\omega\_1+\\omega\_2\} \\to 0 ω1\+ω2sin(ω1\+ω2)T→0、ω1\+ω2cos(ω1\+ω2)T−1→0  
> 这两项我们就可以不用考虑，因此最终要使得整个式子为0，我们就要求： s i n ( ω 1 − ω 2 ) T ω 1 − ω 2 = 0 c o s ( ω 1 − ω 2 ) T − 1 ω 1 − ω 2 = 0 \\frac\{sin(\\omega\_1-\\omega\_2)T\}\{\\omega\_1-\\omega\_2\} = 0\\\\ \\space\\\\ \\frac\{cos(\\omega\_1-\\omega\_2)T-1\}\{\\omega\_1-\\omega\_2\} = 0 ω1−ω2sin(ω1−ω2)T=0ω1−ω2cos(ω1−ω2)T−1=0  
> 因此，我们可以得到两组方程：  
>  \{ ( ω 1 − ω 2 ) T = k π ( ω 1 − ω 2 ) T = 2 k π \\begin\{cases\} (\\omega\_1-\\omega\_2)T = k\\pi\\\\ (\\omega\_1-\\omega\_2)T = 2k\\pi \\end\{cases\} \{ (ω1−ω2)T=kπ(ω1−ω2)T=2kπ  
> 其中，k为整数。我们可以发现方程1 是属于方程2的，因此我们可以得到结论：欲使两个任意初相位的载波在一个码元周期内的乘积的积分等于0，最小的频率间隔应该是： m i n △ ω = m i n ∣ ω 1 − ω 2 ∣ = 2 k π T , k 为 正 整 数 min△\\omega = min|\\omega\_1-\\omega\_2| = \\frac\{2k\\pi\}\{T\}, k为正整数 min△ω=min∣ω1−ω2∣=T2kπ,k为正整数  
> **特别的，如果载波的初相位均为0，那么最小的频率间隔就变为： k π T \\frac\{k\\pi\}\{T\} Tkπ。**  
> 而在OFDM系统中，由于QAM，PSK等调制方式的使用，使得每一个子载波的相位不可能一致，因此在OFDM系统中，对于子载波频率间隔的要求是： m i n △ ω = m i n ∣ ω 1 − ω 2 ∣ = 2 k π T , k 为 正 整 数 min△\\omega = min|\\omega\_1-\\omega\_2| = \\frac\{2k\\pi\}\{T\}, k为正整数 min△ω=min∣ω1−ω2∣=T2kπ,k为正整数

--------------------

综上所述，要想使得载波之间正交，我们必须要满足下面的所有条件：  
**1. 载波是正弦波或余弦波  
2. 积分区间必须是基波的完整周期  
3. 子载波的频率是基波频率的整数倍  
4. 在基波的完整周期内，子载波的振幅要保持不变**

下面我们来详细分析一这四种条件：  
【条件一】：大家都比较熟悉了，就不再展开  
【条件二】：条件里面的“积分区间”，就是我们上面所提到的码元周期 T。那么 “**积分区间必须是基波的完整周期**” 这句话也告诉我们一件事情：**当码元周期确定时，基波的最小频率也就随之确定**，即为： f m i n = 1 / T f\_\{min\} = 1/T fmin=1/T。  
【条件三】：那么根据我们上面数学推导得到的结论：OFDM系统载波间最小频率间隔为： m i n △ f = k / T min△f=k/T min△f=k/T，其中 k 为正整数。  
【条件四】：条件四说明的一件事情是：**无论子载波的频率是多大，每一个子载波在基波的完整周期内只能传送一个调制符号，即其符号速率等于基波的频率，并不取决于子载波频率。**

我们举一个例子：如果已知码元周期是 T = 1s，那么就可以知道基波频率最小可以取到： f 0 = 1 H z f\_0=1Hz f0=1Hz，因此子载波可以选取的频率就是  f = 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯   , k H z f = 1,2,3,4,\\cdots,kHz f=1,2,3,4,⋯,kHz

--------------------

既然我们现在已经知道 OFDM 是多载波工作的，那么在OFDM系统中，**我们就可以对每一个载波分别独立地进行调制（例如 QAM，PSK等）** 而我们在《通信原理》中也知道，无论是 PSK调制还是 QAM调制，本质上我们获得的调制信号都可以看作是分别调制  c o s ( ω c t ) cos(\\omega\_ct) cos(ωct)和  s i n ( ω c t ) sin(\\omega\_ct) sin(ωct)。因此，**OFDM的子载波其实包含正弦和余弦两个载波**。例如：子载波1应该是  \{ c o s ( π t ) , s i n ( π t ) \} \\\{cos(\\pi t), sin(\\pi t)\\\} \{ cos(πt),sin(πt)\}；子载波2是： \{ c o s ( 2 π t ) , s i n ( 2 π t ) \} \\\{cos(2\\pi t), sin(2\\pi t)\\\} \{ cos(2πt),sin(2πt)\}，诸如此类。那么，如果对子载波1进行 QAM 调制，也就等价于分别调制 c o s ( π t ) , s i n ( π t ) cos(\\pi t), sin(\\pi t) cos(πt),sin(πt)。 如下图所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
其中，上图对于第一路数据的QAM调制，那就是和之前一样，把第一路数据进行串并变换、星座图映射，得到 I, Q两路数据分别调制 cos 和 sin。

--------------------

目前我们只是从数学的角度证明了子载波之间的正交性，那么OFDM信号在频域上是怎么样的呢？在下一篇博文中我们将会继续延续今天的话题探讨OFDM的频谱特性，那时我们将会对 “正交” 有更加清晰的理解！

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221024/f15518bbd4ec401b822f3780f8f4f2bf.png
[20210203134519740.png_pic_center]: /images/20221024/ae9211c3082242fc8663c502bc7c9eee.png
[20210203134737285.png_pic_center]: /images/20221024/1d2aef3754a54a4e9dc38eeb0d690eca.png
[20210203134817386.png_pic_center]: /images/20221024/e40b5f2931a94505a10f361e3ee20bfd.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221024/817685308cc84d1284a5be8b70906283.png