深度优先搜索与广度优先搜索

╰半橙微兮° 2022-10-19 08:08 288阅读 0赞

算法是作用于具体数据结构之上的，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。这是因为，图这种数据结构的表达能力很强，大部分涉及搜索的场景都可以抽象成“图”。

图上的搜索算法，最直接的理解就是，在图中找出从一个顶点出发，到另一个顶点的路径。为了搞清楚图的搜索算法，必须先把图的存储方式理解透彻。

## 图的存储 ##

图有多种存储方法，最常用的两种分别是：邻接矩阵和出边数组。

邻接矩阵的存储方式如下图所示，底层依赖一个二维数组。

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对于无向图来说，如果顶点i与顶点j之间有边，我们就将A\[i\]\[j\]和 A\[j\]\[i\]标记1；对于有向图来说，如果顶点i到顶点j之间，有一条箭头从顶点i指向顶点j的边，那我们就将A\[i\]\[j\]标记为1。同理，如果有一条箭头从顶点j指向顶点i的边，我们就将A\[j\]\[i\]标记为1。对于带权图，数组中就存储相应的权重。

用邻接矩阵来表示一个图，虽然简单、直观，但是比较浪费存储空间。对于无向图来说，如果A\[i\]\[j\]等于1，那A\[j\]\[i\]也肯定等于1。实际上，我们只需要存储一个就可以了。也就是说，无向图的二维数组中，如果我们将其用对角线划分为上下两部分，那我们只需要利用上面或者下面这样一半的空间就足够了，另外一半白白浪费掉了。

针对上面邻接矩阵比较浪费内存空间的问题，出边数组可以避免空间浪费。如下图所示，每个顶点对应一条链表，链表中存储的是与这个顶点相连接的其他顶点。  
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例如上图中，我们要确定，是否存在一条从顶点2到顶点4的边，那我们就要遍历顶点2的所有出边，看出边是否能到达顶点4。所以，比起邻接矩阵的存储方式，在出边数组中查询两个顶点之间的关系就没那么高效了。

//无向图
    public class UndirectedGraph {  
    	/** * 顶点的个数 */
    	private int v;
    	/** * 邻接表(出边数组） */
    	private ArrayList<Integer>[] edges;
    
    	public UndirectedGraph(int v) { 
    	  this.v = v;
    	  edges = new ArrayList[v];
    	  for (int i = 0; i < v; ++i) { 
    	    edges[i] = new ArrayList<>();
    	  }
    	}
    	
    	/** * 对于无向图，其实就是点s到点t的两条边 * 用两条有向边代表无向图中的一条边 */
    	public void addEdge(int s, int t) { 
    	  edges[s].add(t);
    	  edges[t].add(s);
    	}
    }

## 深度优先搜索（DFS） ##

深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想，回溯思想。这种思想解决问题的过程，非常适合用递归来实现。例如下图中演示了用深度优先搜索的思想寻找一条从点s到点c的路径的方法。从图中我们可以看出，深度优先搜索找出来的路径，并不是点s到点c的最短路径。

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我把上面的过程用递归的形式写下来如下。深度优先搜索代码里，有个比较特殊的全局变量found，它的作用是，当我们已经找到终止点之后，我们就不再递归地继续查找了。

//全局变量或者类成员变量
    boolean found = false;
    private int  v;
    private ArrayList<Integer>[] edges;
    
    public void existPath(int start, int t) { 
        boolean[] visited = new boolean[v];
        recurDfs(start, t, visited);
    }
    
    private void recurDfs(int current, int t, boolean[] visited) { 
        if (found == true) { 
            return;
        }
        visited[current] = true;
        if (current == t) { 
            found = true;
            return;
        }
        for (int i = 0; i < edges[current].size(); ++i) { 
            int q = edges[current].get(i);
            if (!visited[q]) { 
                recurDfs(q, t, visited);
            }
        }
    }

理解了深度优先搜索算法之后，深度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢？从示意图可以看出，每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是O(E)，E表示边数。深度优先搜索算法的消耗内存主要是visited、数组和递归调用栈。visited数组的大小跟顶点的个数V成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是O(V)。

## 广度优先搜索（BFS） ##

广度优先搜索直观地讲，就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。理解起来并不难，示意图如下。  
![20210710125744447.png][]

尽管广度优先搜索的原理挺简单，但代码实现还是稍微有点复杂度。实际上，这样得到的一条路径就是从起始点到指定点的最短路径。

private boolean existPathBfs(int current, int t) { 
        if (current == t) { 
            return true;
        }
        visited[current] = true;
        Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.add(current);
        while (!queue.isEmpty()) { 
            int point = queue.poll();
            for (int i = 0; i < edges[point].size(); ++i) { 
                int q = edges[point].get(i);
                if (!visited[q]) { 
                    if (q == t) { 
                        return true;
                    }
                    queue.add(q);
                    visited[q] = true;
                }
            }
        }
        return false;
    }

BFS代码中的queue是一个队列，用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的，也就是说，我们只有把第k层的顶点都访问完成之后，才能访问第k+1层的顶点。当我们访问到第k层的顶点的时候，我们需要把第k层的顶点记录下来，稍后才能通过第k层的顶点来找第k+1层的顶点。所以，我们用这个队列来实现记录的功能。

广度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢？最坏情况下，终止顶点t离起始顶点s很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E)，其中，V表示顶点的个数，E表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，E肯定要大于等于V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为O(E)。空间消耗主要在几个辅助变量visited数组、queue队列上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是O(V)。

## DFS与BFS的实际应用 ##

样题一：[岛屿的数量][Link 1]

给你一个由’1’(陆地)和 ‘0’(水)组成的的二维网格，请你计算网格中岛屿的数量。岛屿总是被水包围，并且每座岛屿只能由水平方向和/或竖直方向上相邻的陆地连接形成。此外，你可以假设该网格的四条边均被水包围。  
![20210710142420104.png][]  
DFS的思路：将二维网格看成一个无向图，竖直或水平相邻的点’1’之间有边相连。为了求出岛屿的数量，我们可以扫描整个二维网格。如果一个位置为’1’，则以其为起始节点开始进行深度优先搜索。在深度优先搜索的过程中，每个搜索到的’1’都会被重新标记。

最终岛屿的数量就是我们进行深度优先搜索的次数。

class Solution { 
        
        //垂直水平四个方向组成的方向数组
        private int[] dx = { -1,0,1,0};
        private int[] dy = { 0,1,0,-1};
        private boolean[][] visited;
    
        public int numIslands(char[][] grid) { 
            visited = new boolean[grid.length][grid[0].length];
            int ans = 0;
            for (int i = 0; i < grid.length; i++) { 
                for (int j = 0; j < grid[0].length; j++) { 
                    if (grid[i][j] == '1' && !visited[i][j]) { 
                        //以grid[i][j]这个点为起点，作深度优先遍历
                        dfs(grid, i, j);
                        //递归的次数就是图中陆地独立成片的块数
                        ans++;
                    }
                }
            }
            return ans;
        }
    
        //从点(x,y)出发，深度优先遍历
        private void dfs(char[][] grid, int x, int y) { 
            //标记当前点grid[x][y]已经访问过了
            visited[x][y] = true;
            //然后遍历grid[x][y]点的所有出边，这里就是上下左右4个
            for (int i = 0; i < 4; i++) { 
                int nx = x + dx[i];
                int ny = y + dy[i];
                //判断坐标合法时，才继续遍历
                if(nx < 0 || nx >= grid.length || ny < 0 || ny >= grid[0].length) { 
                    continue;
                }
                //只遍历没访问过且为陆地的点
                if (grid[nx][ny] == '1' && !visited[nx][ny]) { 
                    dfs(grid, nx, ny);
                }
            }
        }
    }

同样地，我们也可以使用广度优先搜索代替深度优先搜索。

BFS的思路：为了求出岛屿的数量，我们可以扫描整个二维网格。如果一个位置为‘1’，则将其加入队列，开始进行广度优先搜索。在广度优先搜索的过程中，从原点出发能到达的每个点‘1’都会被重新标记。直到队列为空，搜索结束。

最终岛屿的数量就是我们进行广度优先搜索的次数。

class Solution { 
    
        //垂直水平四个方向组成的方向数组
        private int[] dx = { -1,0,1,0};
        private int[] dy = { 0,1,0,-1};
        private boolean[][] visited;
    
        public int numIslands(char[][] grid) { 
            visited = new boolean[grid.length][grid[0].length];
            int ans = 0;
            for (int i = 0; i < grid.length; i++) { 
                for (int j = 0; j < grid[0].length; j++) { 
                    if (grid[i][j] == '1' && !visited[i][j]) { 
                        //以grid[i][j]这个点为起点，作广度优先遍历
                        bfs(grid, i, j);
                        ans++;
                    }
                }
            }
            return ans;
        }
    
        //从点(x,y)出发，广度优先遍历
        private void bfs(char[][] grid, int x, int y) { 
            //标记点(x,y)为已经访问过了
            visited[x][y] = true;
            Queue<Pair> queue = new ArrayDeque<>();
            queue.add(new Pair(x, y));
            while (!queue.isEmpty()) { 
                Pair pair = queue.poll();
                //然后遍历grid[x][y]点的所有出边，这里就是上下左右4个
                for (int i = 0; i < 4; i++) { 
                    int nx = pair.row + dx[i];
                    int ny = pair.column + dy[i];
                    //判断坐标合法时，才继续遍历
                    if(nx < 0 || nx >= grid.length || ny < 0 || ny >= grid[0].length) { 
                        continue;
                    }
                    //只遍历没访问过且为陆地的点
                    if (grid[nx][ny] == '1' && !visited[nx][ny]) { 
                        queue.add(new Pair(nx, ny));
                        //入队时标记visited数组
                        visited[nx][ny] = true;
                    }
                }
            }
        }
    
        class Pair { 
            int row;
            int column;
            public Pair(int row, int column) { 
                this.row = row;
                this.column = column;
            }
        }
    }

样题二：[被包围的区域][Link 2]

![20210710140111601.png][]

注意关键解释：被围绕的区域不会存在于边界上，换句话说，任何边界上的 ‘O’ 都不会被填充为 ‘X’。 任何不在边界上，或不与边界上的 ‘O’ 相连的 ‘O’ 最终都会被填充为 ‘X’。如果两个元素在水平或垂直方向相邻，则称它们是“相连”的。

问题可以转化为：从边界上的‘O’出发所有能被访问到的‘O’都不能被填充为’X’，剩下的‘O’可以被填充为’X’，这是一个搜索问题。

思路：将所有存在于边界上的点’O’都打上标记，例如标记为’\#’，然后从这些点出发作搜索，所有能到达的点’O’也打上标记’\#’，最后将矩阵中所有标记为’\#‘的点都填充为’O’，所有为’O’的点都填充为’X’。

DFS思路下的代码。

class Solution { 
    
        private int[] dx = { -1,0,1,0};
        private int[] dy = { 0,1,0,-1};
        private boolean[][] visited;
    
        //寻找和边界连通的O，如果这个O与边界连通，那么不能替换，否则要替换
        public void solve(char[][] board) { 
            visited = new boolean[board.length][board[0].length];
            for (int i = 0; i < board.length; i++) { 
                for (int j = 0; j < board[0].length; j++) { 
                    if (board[i][j] == 'X') { 
                        continue;
                    }
                    //判断点是否在边界上,如果在边界上并且是O，并且没访问过，就访问一次
                    boolean isEdge = (i == 0 || j == 0 || i == board.length - 1 || j == board[0].length - 1);
                    if (isEdge && board[i][j] == 'O') { 
                        dfs(board, i, j);
                    }
                }
            }
            for (int i = 0; i < board.length; i++) { 
                for (int j = 0; j < board[0].length; j++) { 
                    if (board[i][j] == 'O') { 
                        board[i][j] = 'X';
                    } else if (board[i][j] == '#') { 
                        board[i][j] = 'O';
                        continue;
                    }
                }
            }
        }
    
        //从点(x,y)出发作深度优先遍历，访问从点(x,y)所能到达的所有点
        private void dfs(char[][] board, int x, int y) { 
            if (board[x][y] == '#') { 
                return;
            }
            visited[x][y] = true;
            board[x][y] = '#';
            //然后遍历board[x][y]的所有点，这里就是上下左右4个
            for (int i = 0; i < 4; i++) { 
                int nx = x + dx[i];
                int ny = y + dy[i];
                //判断坐标合法时，才继续遍历
                if(nx < 0 || nx >= board.length || ny < 0 || ny >= board[0].length) { 
                    continue;
                }
                //只遍历没访问过且为'O'的点
                if (board[nx][ny] == 'O' && !visited[nx][ny]) { 
                    dfs(board, nx, ny);
                }
            }
        }
    }

BFS思路下的代码。

class Solution { 
    
        private int[] dx = { -1,0,1,0};
        private int[] dy = { 0,1,0,-1};
        private boolean[][] visited;
    
        //寻找和边界连通的O，如果这个O与边界连通，那么不能替换，否则要替换
        public void solve(char[][] board) { 
            visited = new boolean[board.length][board[0].length];
            for (int i = 0; i < board.length; i++) { 
                for (int j = 0; j < board[0].length; j++) { 
                    if (board[i][j] == 'X') { 
                        continue;
                    }
                    //判断点是否在边界上,如果在边界上并且是'O'，并且没访问过，就访问一次
                    boolean isEdge = (i == 0 || j == 0 || i == board.length - 1 || j == board[0].length - 1);
                    if (isEdge && board[i][j] == 'O') { 
                        bfs(board, i, j);
                    }
                }
            }
            for (int i = 0; i < board.length; i++) { 
                for (int j = 0; j < board[0].length; j++) { 
                    if (board[i][j] == 'O') { 
                        board[i][j] = 'X';
                    } else if (board[i][j] == '#') { 
                        board[i][j] = 'O';
                        continue;
                    }
                }
            }
        }
    
        //从点(x,y)出发作深度优先遍历，访问从点(x,y)所能到达的所有点
        private void bfs(char[][] board, int x, int y) { 
            visited[x][y] = true;
            board[x][y] = '#';
            Queue<Pair> queue = new ArrayDeque<>();
            queue.add(new Pair(x, y));
            while (!queue.isEmpty()) { 
                Pair pair = queue.poll();
                //然后遍历board[x][y]的所有点，这里就是上下左右4个
                for (int i = 0; i < 4; i++) { 
                    int nx = pair.row + dx[i];
                    int ny = pair.column + dy[i];
                    //判断坐标合法时，才继续遍历
                    if(nx < 0 || nx >= board.length || ny < 0 || ny >= board[0].length) { 
                        continue;
                    }
                    //只遍历没访问过且为'O'的点
                    if (board[nx][ny] == 'O' && !visited[nx][ny]) { 
                        queue.add(new Pair(nx, ny));
                        visited[nx][ny] = true;
                        board[nx][ny] = '#';
                    }
                }
            }
        }
    
        class Pair { 
            int row;
            int column;
            public Pair(int row, int column) { 
                this.row = row;
                this.column = column;
            }
        }
    }

样题三：[省份数量][Link 3]

![d838cca637de47e581e6c423b2e14cee.png][]

思路：给出的矩阵isConnected其实就是典型的邻接矩阵，这种图的存储方式很简洁。对于无向图，矩阵按对角线对称。问题可以转化成求无向图中连通块的个数，顶点数量为n，顶点的编号为0到n-1，矩阵isConnected描述了各个顶点的连接情况（矩阵中有一半信息是冗余的）。只需要从一个顶点出发遍历其能到达的其他所有顶点，当前顶点与其能到达的其他顶点构成连通块，统计这样的连通块的个数。

DFS与BFS的思路都能解决此问题，代码如下：

class Solution { 
        //在无向图中，若从顶点a到顶点b有路径,则称a和b是连通的。
        //若无向图中，任意两个不同的顶点都连通，则称无向图为连通图
        //求无向图中连通块数量
        public int findCircleNum(int[][] isConnected) { 
            int ans = 0;
            //初始化
            int v = isConnected.length;
            boolean[] visited = new boolean[v];
    
            //无向图中共有v个顶点，顶点编号为0到v-1，找图中连通块的数量
            for (int i = 0; i < v; i++) { 
                //已经访问过的不再访问
                if (!visited[i]) { 
                	//连通块的数量就是dfs或bfs搜索的次数
                    // dfs(isConnected, i, visited);
                    bfs(isConnected, i, visited);
                    ans++;
                }
            }
    
            return ans;
        }
    
        //深度优先搜索
        private void dfs(int[][] isConnected, int cur, boolean[] visited) { 
            //已经访问过了，不再访问
            if (visited[cur]) { 
                return;
            }
            visited[cur] = true;
            //从点cur出发，遍历其能到达的所有其他点，cur自己除外
            for (int i = 0; i < isConnected[0].length; i++) { 
                if (i != cur && isConnected[cur][i] == 1) { 
                    dfs(isConnected, i, visited);
                }
            }
        }
    
        //广度优先搜索
        private void bfs(int[][] isConnected, int cur, boolean[] visited) { 
            //已经访问过了，不再访问
            if (visited[cur]) { 
                return;
            }
            Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
            visited[cur] = true;
            queue.add(cur);
            //从顶点cur出发，遍历其能到达的其他点
            while (!queue.isEmpty()) { 
                Integer vertex = queue.poll();
                 //从顶点cur出发，遍历其能到达的并且没有访问过的其他点
                 for (int i = 0; i < isConnected[0].length; i++) { 
                     if (i != vertex && isConnected[vertex][i] == 1 && visited[i] == false) { 
                         queue.add(i);
                         visited[i] = true;
                     }
                 }
            }
        }
    }

## 小结 ##

广度优先搜索，通俗的理解就是，地毯式层层推进，从起始顶点开始，依次往外遍历，遍历得到的路径就是，起始顶点到终止顶点的最短路径。广度优先搜索需要借助队列来实现。深度优先搜索用的是回溯思想，非常适合用递归实现。二者是图上的两种最常用、最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算法，比如A\*、IDA\*等，要简单粗暴，没有什么优化，所以，也被叫作暴力搜索算法。所以，这两种搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是说图不大的搜索。

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[20210710125744447.png]: /images/20221005/278eeadb8c1e47a48641f540d05000a3.png
[Link 1]: https://leetcode-cn.com/problems/number-of-islands/
[20210710142420104.png]: /images/20221005/b7589308563a42a480a9a0a36493fa03.png
[Link 2]: https://leetcode-cn.com/problems/surrounded-regions/
[20210710140111601.png]: /images/20221005/8beff16d1ef34ea99dc95f9022204401.png
[Link 3]: https://leetcode-cn.com/problems/number-of-provinces/
[d838cca637de47e581e6c423b2e14cee.png]: /images/20221005/8db6b27e9e7e41ad8bb5d1628e9d1389.png