c语言最长公共子序列,算法设计与分析/动态规划——最长公共子序列LCS及模板...

阳光穿透心脏的1/2处 2022-10-14 10:50 75阅读 0赞

这位大佬写的对理解DP也很有帮助，我就直接摘抄过来了，代码部分来自我做过的题

一，问题描述

给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列(Longest Common Sequence)。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB

则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA

二，算法求解

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题

①最优子结构

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y=\{y1,y2,.....ym\} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

1)如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)

LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。(小一个元素也是小嘛....)

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。(这里的最优就是最长的意思)

2)如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)

因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。(都不相等了，怎么公共嘛)。

LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS(X,Y)。用数学表示就是：

LCS=max\{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)\}

由于条件 1)  和  2)  考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。

②重叠子问题

重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后，  子问题中有相同的问题。咦？我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊？？？？

OK，来看看，原问题是：LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1)    ❷LCS(Xn-1，Ym)    ❸LCS(Xn，Ym-1)

初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：

第二个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：问题❶LCS(Xn-1，Ym-1)，为什么？

因为，当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1，Ym)进行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)

也就是说：在子问题的继续分解中，有些问题是重叠的。

由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了。因为采用递归，它重复地求解了子问题啊。而且注意哦，所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。

这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。

那么问题来了，你说用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？？

呵呵哒。。。。

关键是采用动态规划时，并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。废话少说：举个例子吧！比如求Fib数列。关于Fib数列，可参考：

![4a9e4534b9d1829e8db8399b1b560f57.png][]

求fib(5)，分解成了两个子问题：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)时，又分解了一系列的小问题....

从图中可以看出：根的左右子树：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重叠的！！！比如，对于 fib(2)，它就一共出现了三次。如果用递归来求解，fib(2)就会被计算三次，而用DP(Dynamic Programming)动态规划，则fib(2)只会计算一次，其他两次则是通过”查表“直接求得。而且，更关键的是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归，是不断地将问题分解，直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))

说了这么多，还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧：)

![3b2c47c9dc6d8412823c7198e0bd114e.png][]

c\[i,j\]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。(是长度哦，就是一个整数嘛)。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节

这张DP表很是重要，从中我们可以窥见最长公共子序列的来源，同时可以根据这张表打印出最长公共子序列的构成路径

![211759f8735865438f74d863a232de1a.png][]

三，最长公共子序列模板

\#include\#include\#include

using namespacestd;const int N = 1000;chara\[N\],b\[N\];intdp\[N\]\[N\];intmain()

\{intlena,lenb,i,j;while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF)

memset(dp,0,sizeof(dp));

lena=strlen(a);

lenb=strlen(b);for(i=1;i<=lena;i++)

\{for(j=1;j<=lenb;j++)

\{if(a\[i-1\]==b\[j-1\])

dp\[i\]\[j\]=dp\[i-1\]\[j-1\]+1;

\}else\{

dp\[i\]\[j\]=max(dp\[i-1\]\[j\],dp\[i\]\[j-1\]);

printf("%d\\n",dp\[lena\]\[lenb\]);

\}return 0;

最长公共子序列打印路径的模板

递归法：

\#include\#include\#include

using namespacestd;const int N = 1010;charx\[N\],y\[N\];intdp\[N\]\[N\];intb\[N\]\[N\];void Print(int i,intj)

\{if(i==0||j==0)///递归终止条件

\{return;

\}if(b\[i\]\[j\]==1)

Print(i-1,j-1);

printf("%c",x\[i-1\]);

\}else if(b\[i\]\[j\]==2)

Print(i-1,j);

\}else if(b\[i\]\[j\]==3)

Print(i,j-1);

\}intmain()

\{intlena,lenb,i,j;while(scanf("%s%s",x,y)!=EOF)

memset(dp,0,sizeof(dp));

memset(b,0,sizeof(b));

lena=strlen(x);

lenb=strlen(y);for(i=1;i<=lena;i++)

\{for(j=1;j<=lenb;j++)

\{if(x\[i-1\]==y\[j-1\])

dp\[i\]\[j\]=dp\[i-1\]\[j-1\]+1;

b\[i\]\[j\]=1;///来自于左上方

\}else\{if(dp\[i-1\]\[j\]>dp\[i\]\[j-1\])

dp\[i\]\[j\]=dp\[i-1\]\[j\];

b\[i\]\[j\]=2;///来自于左方

\}else\{

dp\[i\]\[j\]=dp\[i\]\[j-1\];

b\[i\]\[j\]=3;///来自于上方

Print(lena,lenb);

\}return 0;

![aa742063cf4971fb906e3cb738dc8b72.png][]

非递归，在这里因为是逆序的回溯，所以我使用了栈来存储路径

1 \#include

2 \#include

3 \#include

4 \#include

5 using namespacestd;6 \#define N 1010

7 intdp\[N\]\[N\];8 charc;9 intmain()10 \{11 chara\[N\];12 charb\[N\];13 scanf("%s%s",a,b);14 int la=strlen(a);15 int lb=strlen(b);16 memset(dp,0,sizeof(dp));17 for(int i=1; i<=la; i++)18 \{19 for(int j=1; j<=lb; j++)20 \{21 if(a\[i-1\]==b\[j-1\])22 dp\[i\]\[j\]=dp\[i-1\]\[j-1\]+1;23 else

24 dp\[i\]\[j\]=max(dp\[i-1\]\[j\],dp\[i\]\[j-1\]);25 \}26 \}27 int i=la,j=lb;28 stacks;29 while(dp\[i\]\[j\])30 \{31 if(dp\[i\]\[j\]==dp\[i-1\]\[j\])///来自于左方向

32 \{33 i--;34 \}35 else if(dp\[i\]\[j\]==dp\[i\]\[j-1\])///来自于上方向

36 \{37 j--;38 \}39 else if(dp\[i\]\[j\]>dp\[i-1\]\[j-1\])///来自于左上方向

40 \{41 i--;42 j--;43 s.push(a\[i\]);44 \}45 \}46 while(!s.empty())47 \{48 c=s.top();49 printf("%c",c);50 s.pop();51 \}52 return 0;53 \}

[4a9e4534b9d1829e8db8399b1b560f57.png]: /images/20221014/0f731e4dddcd4faebe8bf05e180d987a.png
[3b2c47c9dc6d8412823c7198e0bd114e.png]: /images/20221014/66008d1ef4444d3cad80fca91218020d.png
[211759f8735865438f74d863a232de1a.png]: /images/20221014/fe1e9dc259d84d73a3cfe89d6fb74536.png
[aa742063cf4971fb906e3cb738dc8b72.png]: /images/20221014/6c5056434b804b5490bb70880bb50b54.png