相机变换AND正交投影AND透视投影

柔光的暖阳◎ 2022-10-10 04:48 202阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  摘要
     *  相机变换
     *  正交投影变换
     *  透视投影
     *   *  目标要求
         *  变换矩阵推导
     *  附录
     *   *  齐次坐标
         *  验证透视投影的相对深度信息是否保留
         *  参考

## 摘要 ##

介绍了相机变换、正交投影和透视投影。

## 相机变换 ##

背景要求：我们需要明白坐标是是如何转换的，可以参考：[坐标变换][Link 1]

我们希望能够改变三维视角，朝任何方向看。所谓的**相机变换**，就是以相机作为坐标原点的一个参考系。所以，从世界空间变换到相机空间，就是**把物体从世界坐标系，变换到相机为原点的相机坐标系**。如下图所示（[via][]）：左半部分是小人在世界空间中的位置，右半部分是小人变换到相机空间后的位置。。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzM4ODE2OTI0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_left]

有许多约定用于指定相机的位置和方向。我们将使用下面的表示：

*  相机的位置e（the eye position e）。
 *  相机看向的方向g（the gaze direction g）。
 *  相机的向上方向t（the view-up vector t）。

![在这里插入图片描述][20210626133040604.png_pic_left]

因为向量t和向量g不一定垂直。我们使用e、g、t，构建一个以e为原点的右手坐标系uvw，即相机的坐标系。

其中， w = − g ∥ g ∥ w = -\\dfrac\{g\}\{\\Vert g \\Vert\} w=−∥g∥g， u = t × w ∥ t × w ∥ u=\\dfrac\{t \\times w\}\{\\Vert t \\times w \\Vert\} u=∥t×w∥t×w， v = w × u v = w \\times u v=w×u 。

根据[坐标变换][Link 1]，易得到，**世界坐标系xyz中任意一点P，在相机坐标系uvw中坐标表示**。

![在这里插入图片描述][20210626133128887.png_pic_left]

## 正交投影变换 ##

**正交投影**：**把一个长方体盒子，投影到以原点为中心，边长为2的正方体( \[ − 1 , 1 \] 3 \[-1,1\]^3 \[−1,1\]3)中**。

盒子的位置和体积信息如下：

![在这里插入图片描述][20210626133217258.png_pic_left]

x = l ≡ l e f t   p l a n e x=l\\equiv left \\ plane x=l≡left plane

x = r ≡ r i g h t   p l a n e x=r\\equiv right \\ plane x=r≡right plane

y = b ≡ b o t t o m   p l a n e y=b\\equiv bottom \\ plane y=b≡bottom plane

y = t ≡ t o p   p l a n e y=t\\equiv top \\ plane y=t≡top plane

z = n ≡ n e a r   p l a n e z=n\\equiv near \\ plane z=n≡near plane

z = f ≡ f a r   p l a n e z=f\\equiv far \\ plane z=f≡far plane

其中需要注意的是，由于规定是视线沿着 − z -z −z轴，所以 0 > n > f 0>n>f 0>n>f 。

**正交投影**的操作也很简单，**先平移到原点，再缩放**。如有不明白可参考：[计算机图形学中的矩阵转换][Link 2]

![在这里插入图片描述][20210626133425877.png_pic_left]

## 透视投影 ##

### 目标要求 ###

**透视投影：将一个台形投影到以原点为中心，边长为2的正方体( \[ − 1 , 1 \] 3 \[-1,1\]^3 \[−1,1\]3)中**。

**这个操作分为两步**：第一步将台形投影到长方体中；第二步将长方体使用上面的正交投影，投影到 \[ − 1 , 1 \] 3 \[-1,1\]^3 \[−1,1\]3中。

这个长方体有下面的要求：

1.  近平面上的点，投影前后位置不变。
2.  远平面上的点，投影前后，z轴位置不变。
3.  投影前后，台形中的点的(z)前后相对位置，在长方体中保持不变。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzM4ODE2OTI0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_left 1]

这里，我解释下为什么这个长方体有这些要求。

第一点解释：投影前后，宽(l,r)和高(d,t)的位置不变。即，透视投影第一步的变换矩阵，和，第二步正交投影的变换矩阵，操作的是相机坐标系下相同的值。只有这样，两个矩阵才能左乘叠加运算。**因为，透视投影第一步和正交投影均是在相机坐标系下的矩阵变换操作**。而**要想将这两步联合起来，必须要求这两个变换矩阵中的参数，在透视投影第一步之后，仍然不变，即要求宽和高的位置不变**。

第二点解释：理由同上，要求长(n,f)不变。

第三点解释：投影之后，仍然保留物体的相对深度信息。

### 变换矩阵推导 ###

这个推导过程来自：[perspective projection-53:28-GAMES101][perspective projection-53_28-GAMES101]

[透视投影的标准模型][Link 3]：设视点E位于原点，视平面P垂直于Z轴，且四边分别平行于x轴和y轴。如下图所示，我们将该模型称为透视投影的标准模型，其中视椎体的近截面离视点的距离为n，远截面离视点的距离为f，且一般取近截面为视平面。下面推导透视投影标准模型的变换方程。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzM4ODE2OTI0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_left 2]

设位于视椎体内的任意一点 X ( x , y , z ) X (x, y, z) X(x,y,z) 在视平面的透视投影为 X p ( x p , y p , z p ) Xp (x\_p, y\_p, z\_p) Xp(xp,yp,zp)，从点 X X X和 X p X\_p Xp做 Z Z Z轴的垂线，并分别在 X − Z X-Z X−Z平面和 Y − Z Y-Z Y−Z平面投影，下图是在 X − Z X-Z X−Z平面上的投影结果。

![在这里插入图片描述][2021062613362021.png_pic_left]

根据三角形相似原理 ， 可得 ： x p = n x z x\_p=\\dfrac\{nx\}\{z\} xp=znx

同理，在 Y − Z Y-Z Y−Z平面投影，可得： y p = n y z y\_p=\\dfrac\{ny\}\{z\} yp=zny

因为**投影之后，变成长方体。宽和高相等，但z轴方向上暂时不知道**。所以， \[ x y z 1 \] \\begin\{bmatrix\}x\\\\y\\\\z\\\\1\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡xyz1⎦⎥⎥⎤ 投影之后的的点为 \[ x p y p ? 1 \] \\begin\{bmatrix\}x\_p\\\\y\_p\\\\?\\\\1\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡xpyp?1⎦⎥⎥⎤ =  \[ n x z n y z ？ 1 \] \\begin\{bmatrix\}\\dfrac\{nx\}\{z\}\\\\\\dfrac\{ny\}\{z\}\\\\？\\\\1\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎢⎢⎡znxzny？1⎦⎥⎥⎥⎥⎤

分母上出现z，无法使用线性变换。我们使用齐次坐标的性质，所有元素乘以z，仍然是相同的点。

所以， \[ x y z 1 \] \\begin\{bmatrix\}x\\\\y\\\\z\\\\1\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡xyz1⎦⎥⎥⎤ **投影之后的的点**为 \[ x p y p ? 1 \] \\begin\{bmatrix\}x\_p\\\\y\_p\\\\?\\\\1\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡xpyp?1⎦⎥⎥⎤ =  \[ n x z n y z ？ 1 \] \\begin\{bmatrix\}\\dfrac\{nx\}\{z\}\\\\\\dfrac\{ny\}\{z\}\\\\？\\\\1\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎢⎢⎡znxzny？1⎦⎥⎥⎥⎥⎤ =  \[ n x n y ? z \] \\begin\{bmatrix\}nx\\\\ny\\\\?\\\\z\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡nxny?z⎦⎥⎥⎤

目前，我们可以根据上面变换，得到部分变换矩阵，即  \[ n 0 0 0 0 n 0 0 A B C D 0 0 1 0 \] \\begin\{bmatrix\} n&0&0&0\\\\0&n&0&0\\\\A&B&C&D\\\\0&0&1&0 \\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡n0A00nB000C100D0⎦⎥⎥⎤ 。其中A、B、C、D是四个未知的值。

根据上一节中的要求可知：近平面上任意一点 \[ x y n 1 \] \\begin\{bmatrix\}x\\\\y\\\\n\\\\1\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡xyn1⎦⎥⎥⎤ 和远平面上一点 \[ 0 0 f 1 \] \\begin\{bmatrix\}0\\\\0\\\\f\\\\1\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡00f1⎦⎥⎥⎤ ，经过上面的变换矩阵，仍然是原来的点不变。

所以：  
![在这里插入图片描述][20210626133655111.png]

计算下得到：  
 \{ A x + B y + C n + D = n 2 C f + D = f 2 \\left\\\{ \\begin\{array\}\{lr\} Ax+By+Cn+D=n^2 \\\\ Cf+D=f^2 \\end\{array\} \\right. \{ Ax\+By\+Cn\+D=n2Cf\+D=f2  
**得**： A = 0 , B = 0 , C = n + f , D = − f n A=0,B=0,C=n+f,D=-fn A=0,B=0,C=n\+f,D=−fn

此时，我们得到透视投影第一步，将台形投影到要求长方形中的，变换矩阵： \[ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 \] \\begin\{bmatrix\} n&0&0&0\\\\0&n&0&0\\\\0&0&n+f&-nf\\\\0&0&1&0 \\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡n0000n0000n\+f100−nf0⎦⎥⎥⎤

再左乘第二步的正交投影矩阵，得到**完整的透视投影矩阵如下**：

![在这里插入图片描述][20210626133744764.png]

## 附录 ##

### 齐次坐标 ###

齐次坐标在透视投影的含义是什么？上面，我仅仅使用了齐次坐标进行推导，但是我并不能够明白齐次坐标的含义。

可以参考：[齐次坐标 – wiki][_ wiki] | [什么是齐次坐标?][Link 4]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzM4ODE2OTI0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_left 3]

### 验证透视投影的相对深度信息是否保留 ###

上面将透视投影分为两步进行操作：投影到指定要求的长方体中；再进行正交投影；

第二步是不会影响物体的相对深度信息的。我们看下，第一步如何影响物体的深度信息。

第一步的变换矩阵为： \[ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 \] \\begin\{bmatrix\} n&0&0&0\\\\0&n&0&0\\\\0&0&n+f&-nf\\\\0&0&1&0 \\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡n0000n0000n\+f100−nf0⎦⎥⎥⎤ 。则台形内的点 \[ x y z 1 \] \\begin\{bmatrix\}x\\\\y\\\\z\\\\1\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡xyz1⎦⎥⎥⎤，进过变化矩阵为 \[ n x n y ( n + f ) z − n f z \] \\begin\{bmatrix\}nx\\\\ny\\\\(n+f)z-nf\\\\z\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡nxny(n\+f)z−nfz⎦⎥⎥⎤ =  \[ n x z n y z ( n + f ) − n f z 1 \] \\begin\{bmatrix\}\\dfrac\{nx\}\{z\}\\\\\\dfrac\{ny\}\{z\}\\\\(n+f)-\\dfrac\{nf\}\{z\}\\\\1\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡znxzny(n\+f)−znf1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

所以，深度为 z z z的点，第一步变换投影之后深度为 ( n + f ) − n f z (n+f)-\\dfrac\{nf\}\{z\} (n\+f)−znf，其中 0 > n > f 0>n>f 0>n>f。这是一个z的增函数，所以第一步保留了相对深度信息。

可得，上面的透视投影变换矩阵，保留了相对深度信息。

### 参考 ###

[perspective projection-53:28-GAMES101][perspective projection-53_28-GAMES101]

[3D数学-透视投影][3D_-]

《Fundamentals of Computer Graphics》Chapter 7: Viewing

[Link 1]: https://blog.csdn.net/sinat_38816924/article/details/118229002#t6
[via]: https://blog.csdn.net/popy007/article/details/5120158
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzM4ODE2OTI0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_left]: /images/20221005/ef337253efd0478bac2d165ef5971d3c.png
[20210626133040604.png_pic_left]: /images/20221005/34d6f4bace7f44eab6b717228ece8e45.png
[20210626133128887.png_pic_left]: /images/20221005/761586579d5545309b2ac116c17eaeed.png
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[Link 2]: https://blog.csdn.net/sinat_38816924/article/details/118229002
[20210626133425877.png_pic_left]: /images/20221005/ad008fc1340f4166ae00aa7f4ce8da8e.png
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[perspective projection-53_28-GAMES101]: https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=4
[Link 3]: https://blog.csdn.net/Goncely/article/details/5397729
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzM4ODE2OTI0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_left 2]: /images/20221005/cd5929e46d884bb88b749336c5c5f33a.png
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[_ wiki]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BD%90%E6%AC%A1%E5%9D%90%E6%A0%87
[Link 4]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/258437902
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[3D_-]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/181696883