线性代数笔记【二次型】

妖狐艹你老母 2022-10-09 03:17 122阅读 0赞

# 二次型 #

n元**二次型**：关于n个变量 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x\_1,x\_2,\\cdots,x\_n x1,x2,⋯,xn的二次齐次函数  
KaTeX parse error: No such environment: align\* at position 8: \\begin\{̲a̲l̲i̲g̲n̲\*̲\}̲ f(x\_1,x\_2,\\cdo…  
系数全为实数的二次型叫做**实二次型**，除此之外还有复二次型和复二次型矩阵，但在这里不讨论

**标准二次型**：只含平方项的二次型，形如 g ( y 1 , y 2 , ⋯   , y n ) = d 1 y 1 2 + d 2 y 2 2 + ⋯ + d n y n 2 g(y\_1,y\_2,\\cdots,y\_n)=d\_1y\_1^2+d\_2y\_2^2+\\cdots+d\_ny\_n^2 g(y1,y2,⋯,yn)=d1y12\+d2y22\+⋯\+dnyn2

**规范二次型**：形如 h ( z 1 , z 2 , ⋯   , z n ) = z 1 2 + z 2 2 + ⋯ + z p 2 − z p + 1 2 − ⋯ − z p + q 2 h(z\_1,z\_2,\\cdots,z\_n)=z\_1^2+z\_2^2+\\cdots+z\_p^2-z\_\{p+1\}^2-\\cdots-z\_\{p+q\}^2 h(z1,z2,⋯,zn)=z12\+z22\+⋯\+zp2−zp\+12−⋯−zp\+q2的二次型

规 范 二 次 型 ⊂ 标 准 二 次 型 ⊂ 二 次 型 规范二次型\\subset 标准二次型 \\subset 二次型 规范二次型⊂标准二次型⊂二次型

## 二次型矩阵 ##

将二次型改写成矩阵形式：  
$$  
\\left\[  
\\begin\{array\}\{cccc\}  
x\_1,x\_2,\\cdots,x\_n  
\\end\{array\}  
\\right\]

\\left\[  
\\begin\{array\}\{cccc\}  
a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\cdots & a\_\{1n\} \\  
a\_\{21\} & a\_\{22\} & \\cdots & a\_\{2n\} \\  
\\vdots & \\vdots & & \\vdots \\  
a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{nn\} \\  
\\end\{array\}  
\\right\]

\\left\[  
\\begin\{array\}\{c\}  
x\_1 \\  
x\_2 \\  
\\vdots \\  
x\_n  
\\end\{array\}  
\\right\]  
$$  
记 A = \[ a i j \] n × n , x = \[ x 1 , x 2 , ⋯   , x n \] T A=\[a\_\{ij\}\]\_\{n \\times n\},x=\[x\_1,x\_2,\\cdots,x\_n\]^T A=\[aij\]n×n,x=\[x1,x2,⋯,xn\]T，则有 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx

其中A为对称矩阵，称为**二次型f(x)的矩阵**

因为二次型的表达方式不唯一，所以需要使用一个统一形式的矩阵来描述二次型，这就导致必须让二次型矩阵为对称矩阵

可以将A看成是系数矩阵，将x看成是变量矩阵，A的非对角元是 x m n x\_\{mn\} xmn对应的系数，对角元则是平方项 x m n 2 x\_\{mn\}^2 xmn2的系数，特别地，**A的非对角元是 x i x j x\_ix\_j xixj系数的 1 2 \\frac\{1\}\{2\} 21**

**二次型和对称矩阵之间一一对应**，对称矩阵A的秩叫做二次型f(x)=xTAx的**秩**

## 线性变换 ##

设A和x分别是m x n矩阵和n元列向量，把y=Ax叫做从n元向量x到m元向量y的**线性变换**

线性变换在转换的角度可以被看作是映射

当A为可逆矩阵时，y=Ax叫做**可逆变换**

当A为正交矩阵时，y=Ax叫做**正交变换**

正交变换是一种特殊的可逆变换，具有以下性质：

**正交变换保持向量的内积、长度和夹角不变，在几何空间中能够保持几何图形不变**

数学描述：设Q为n阶正交矩阵， x 1 ∈ R n , x 2 ∈ R n , y 1 = Q x 1 , y 2 = Q x 2 x\_1 \\in R^n,x\_2 \\in R^n,y\_1=Qx\_1,y\_2=Qx\_2 x1∈Rn,x2∈Rn,y1=Qx1,y2=Qx2， x 1 x\_1 x1与 x 2 x\_2 x2夹角为 θ \\theta θ， y 1 y\_1 y1与 y 2 y\_2 y2夹角为 ϕ \\phi ϕ，则 ( y 1 , y 2 ) = ( x 1 , x 2 ) , ∣ ∣ y 1 ∣ ∣ = ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ , ϕ = θ (y\_1,y\_2)=(x\_1,x\_2),||y\_1||=||x\_1||,\\phi=\\theta (y1,y2)=(x1,x2),∣∣y1∣∣=∣∣x1∣∣,ϕ=θ

在二次型这一背景下，二次型矩阵A表征了二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx的形态，线性变换y=Px可以将某一二次型在参照系x中的“形态A”，变换成另一个参照系y下的“形态B”，由此引出了合同变换

### 合同变换 ###

对于n阶方阵A和B，若存在可逆矩阵P，使 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B，则称A与B**合同**（也称A与B相合）

变换 P T A P P^TAP PTAP叫做对A进行**合同变换**（也叫相合变换）

当A为对称矩阵时，可知B也是对称矩阵——**合同变换不改变矩阵的对称性**

二次型中两个合同矩阵就代表了同一个二次型在可逆线性变换下的**两个不同状态的联系**

合同具有三个基本性质：

*  *反身性*：矩阵A的一个合同矩阵是他本身
 *  *对称性*：A与B合同，则B与A合同
 *  *传递性*：A与B合同，B与C合同，则A与C合同

对二次型进行可逆变换的实质是对其矩阵进行合同变换

变换形式整理如下：

*  等价： P A Q = B PAQ=B PAQ=B，其中P、Q都是初等矩阵（单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵）
 *  相似： P − 1 A P = B P^\{-1\}AP=B P−1AP=B
 *  合同： P A P T = B PAP^T=B PAPT=B

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNTAwMDA1_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

有以下结论：

*  **合同一定等价**
 *  **相似一定等价**
 *  **相似不一定合同，合同也不一定相似**
 *  **若P为正交矩阵，则相似一定合同**

### 用正交变换将二次型化为标准型 ###

对于任给的n元二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx，总有正交变换 x = Q y x=Qy x=Qy能把f(x)化为标准型 g ( y ) = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 g(y)=\\lambda\_1y\_1^2+\\lambda\_2y\_2^2+\\cdots+\\lambda\_ny\_n^2 g(y)=λ1y12\+λ2y22\+⋯\+λnyn2，其中 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \\lambda\_1,\\lambda\_2,\\cdots,\\lambda\_n λ1,λ2,⋯,λn是A的特征值，它们在标准型中的排列次序与它们对应的特征向量（Q的列向量）在正交矩阵Q中的排列次序一一对应

注意：正交变换只能化二次型为标准型，不能化为规范型（除非特征值是1、-1、0三者之一）

除了正交变换也能有其他变换将f(x)化为标准型，表达方式不唯一，系数可能会发生变化

### 用配方法把二次型化为标准型 ###

配方法即拉格朗日配方法

如果二次型不含平方项，可先用一个可逆变换将其化为含有平方项的二次型，对于含有 x i 2 x\_i^2 xi2的二次型，可先将含有 x i x\_i xi的项集中起来进行配方，对于剩下的部分按照上述方法处理；如此迭代就可以得到标准型了

核心思想：先凑出平方项再进行配方

基本原则：若有平方项，要将平方项及与其相关的混合项一次配完成完全平方；如果没有平方项时，作可逆线性变换  
 \{ x 1 = y 1 + y 2 x 2 = y 1 − y 2 x 3 = y 3 \\left\\\{ \\begin\{aligned\} x\_1=y\_1+y\_2\\\\ x\_2=y\_1-y\_2\\\\ x\_3=y\_3 \\end\{aligned\} \\right. ⎩⎪⎨⎪⎧x1=y1\+y2x2=y1−y2x3=y3  
使其出现平方项，再配完全平方

### 惯性定理 ###

根据上面的两种变换方法，可以看出标准型不是唯一的，实际上标准型背后有一个“不变”的东西

用不同方法将二次型化成的标准型一般不同，但标准型所含的平方项的相输相同，其正、负平方项的项数对应相等，这个性质可以如下总结：

**惯性定理**：用任何可逆变换将n元二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx所化为的标准型的正负平方项的项数都对应相等

惯性定理反映了二次型在可逆变换下的一个不变的性质——正、负平方项的项数是唯一确定的，二次型的“不变量”就是正、负平方项的项数。将一个二次型的标准型的正、负平方项项数称为该二次型的**正、负惯性指数**

**标准型的正负惯性指数与二次型矩阵的特征值相对应**，有n个正特征值，二次型的正惯性指数就是n；有m个负特征值，二次型的负惯性指数就是m

若二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx的正、负惯性指数分别为p和q，则存在可逆变换 x = P y x=Py x=Py，将该二次型化为规范形 y 1 2 + y 2 2 + ⋯ + y p 2 − y p + 1 2 − ⋯ − y p + q 2 y\_1^2+y\_2^2+\\cdots+y\_p^2-y\_\{p+1\}^2-\\cdots-y\_\{p+q\}^2 y12\+y22\+⋯\+yp2−yp\+12−⋯−yp\+q2

与实对称矩阵A相合的对角矩阵的正、负对角元的个数叫做A的**正、负惯性指数**

都对应于实对称矩阵，也有**惯性定理**：用任何相合变换将实对称矩阵A所化为的对角矩阵的正、负对角元的个数都对应相等

二次型的本质属性可以通过对应矩阵的特征值来判别：

*  可以通过将二次型化为标准型来求其正、负惯性指数
 *  可以通过求解其对应实对称矩阵的特征值来求其正、负惯性指数

若实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为p和q，则A相合于对角矩阵 d i a g ( E p , − E q , O ) diag(E\_p,-E\_q,O) diag(Ep,−Eq,O)，存在可逆矩阵P，使得 P T A P = d i a g ( E p , − E q , O ) P^TAP=diag(E\_p,-E\_q,O) PTAP=diag(Ep,−Eq,O)，称 d i a g ( E p , − E q , O ) diag(E\_p,-E\_q,O) diag(Ep,−Eq,O)为实对称矩阵A的**相合标准型**

两个合同的实对称矩阵的正、负惯性指数不一定对应相等——如果两个合同的实对称矩阵*同阶*，则它们的正、负惯性指数相等

## 正定二次型与负定二次型 ##

对于n元二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx，若对任意n元非零实向量x都有 f ( x ) > 0 f(x)>0 f(x)>0，则称该二次型为**正定二次型**，称A为**正定矩阵**。若对任意n元非零实向量x都有 f ( x ) < 0 f(x)<0 f(x)<0，则称该二次型为**负定二次型**，称A为**负定矩阵**

注意：**在判断一个矩阵是否为正定、负定矩阵前首先要判断它是否是实对称矩阵**

### 正定矩阵的基本性质 ###

f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx为n元二次型，则下列命题互为充要条件：

*  f(x)为正定二次型
 *  A为正定矩阵
 *  对于任意 x ≠ 0 x\\neq0 x=0，都有 x T A x > 0 x^TAx>0 xTAx>0
 *  A的顺序主子式均大于0
 *  A的特征值都为正数
 *  A的正惯性指数为n
 *  A相合于单位矩阵E
 *  存在可逆矩阵P，使 P T A P = E P^TAP=E PTAP=E
 *  存在n阶可逆矩阵B，使 A = B T B A=B^TB A=BTB

若n阶*对称*矩阵A是正定矩阵，则**A的对角元 a i i > 0 ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) a\_\{ii\}>0(i=1,2,\\cdots,n) aii>0(i=1,2,⋯,n)且 ∣ A ∣ > 0 , t r ( A ) > 0 |A|>0,tr(A)>0 ∣A∣>0,tr(A)>0**

**如果A的对角元不全为正数，A一定不是正定矩阵；但当A的对角元全为正数，不能肯定A为正定矩阵**

### 正定矩阵判别法 ###

**顺序主子阵**：矩阵 A = \[ a i j \] n × n A=\[a\_\{ij\}\]\_\{n\\times n\} A=\[aij\]n×n的左上角k阶子阵称为A的k阶顺序主子阵，记作 A k A\_k Ak

**顺序主子式**： A k A\_k Ak的行列式，记作 ∣ A k ∣ |A\_k| ∣Ak∣

**实对称矩阵 A = \[ a i j \] n × n A=\[a\_\{ij\}\]\_\{n\\times n\} A=\[aij\]n×n为正定矩阵的充要条件是A的各阶顺序主子式都大于0**

### 正定矩阵和正数的类似特性 ###

**合同变换不改变实对称矩阵的正定性**

**A为n阶实对称矩阵，则A为正定矩阵 <=> 存在正定矩阵B，使得 A = B 2 A=B^2 A=B2；同理，A为正定矩阵 <=> 存在负定矩阵C，使得 A = C 2 A=C^2 A=C2**

**A为负定矩阵 <=> -A为正定矩阵**

**设A和B是同阶正定矩阵，数c>0，k为正整数，则 A + B , c A , A k , A − 1 , A ∗ A+B,cA,A^k,A^\{-1\},A^\* A\+B,cA,Ak,A−1,A∗均为正定矩阵**

通过这些性质，可以推导出负定矩阵和负数类似，具有下面的性质

## 负定矩阵的性质 ##

设 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx为n元二次型，下列命题互为充要条件：

*  f(x)为负定二次型
 *  A为负定矩阵
 *  A的特征值都为负数
 *  A的负惯性指数为n
 *  A合同于-E，E为单位矩阵
 *  存在n阶可逆矩阵B，使 A = − B T B A=-B^TB A=−BTB
 *  **A的奇数阶顺序主子式都小于0，偶数阶顺序主子式都大于0**

负定矩阵可以通过加负号的方式转化为正定矩阵

### 半定矩阵和不定矩阵 ###

**半正定二次型**和**半正定矩阵**：对于n元二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx，若对任意n元实向量x都有 f ( x ) ≥ 0 f(x)\\ge0 f(x)≥0，且存在 x 0 ≠ 0 x\_0\\neq0 x0=0使 f ( x 0 ) = 0 f(x\_0)=0 f(x0)=0，则称该二次型为**半正定二次型**，并称A为**半正定矩阵**；若对任意n元实向量x都有 f ( x ) < 0 f(x)<0 f(x)<0，则存在 x 0 ≠ 0 x\_0\\neq0 x0=0使 f ( x 0 ) = 0 f(x\_0)=0 f(x0)=0，则称该二次型为半负定二次型，称A为**半负定矩阵**

若既存在 y ≠ 0 y\\neq0 y=0使 f ( y ) > 0 f(y)>0 f(y)>0，又存在 z ≠ 0 z\\neq0 z=0使 f ( z ) < 0 f(z)<0 f(z)<0，则称f(x)为**不定二次型**，称A为**不定矩阵**

# 对二次型问题的深入理解 #

二次型、矩阵之间的关系实质上是相互表征的关系

通过二次型可以反映矩阵的 A = x T A x A=x^TAx A=xTAx“形态”

## 二次型和矩阵的变换 ##

二次型和矩阵变换的变换关系如下所示：

1.  **线性变换**
    
    通过一个线性变换系数矩阵将一个二次型变换为另一个二次型
    
     x = C y x=Cy x=Cy
    
    如果线性变换的系数矩阵C可逆，即 ∣ C ∣ ≠ 0 |C|\\neq 0 ∣C∣=0，则这个变换称为**可逆线性变换**，简称可逆变换
    
    如果线性变换的系数矩阵C为正交矩阵，即 C T C = E C^TC=E CTC=E，则这个变换称为**正交线性变换**，简称正交变换
    
    线性变换是对矩阵线性性质的运用
2.  **合同变换**
    
    通过两个可逆矩阵使一个矩阵变换为另一个矩阵
    
    对于n阶方阵A和B，若存在可逆矩阵C，使 C T A C = B C^TAC=B CTAC=B，则称A与B**合同**，变换 C T A C C^TAC CTAC叫做对A进行**合同变换**
    
    对二次型/矩阵进行可逆变换的实质是对其矩阵进行合同变换，如下所示：
    
     *  等价： P A Q = B PAQ=B PAQ=B，其中P、Q都是初等矩阵（单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵）
     *  相似： P − 1 A P = B P^\{-1\}AP=B P−1AP=B，其中P是可逆矩阵
     *  合同： P A P T = B PAP^T=B PAPT=B，或表示为 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B，其中P是可逆矩阵
    
    可以理解矩阵的可逆变换间具有以下性质：
    
     *  **合同一定等价**
     *  **相似一定等价**
     *  **相似不一定合同，合同也不一定相似**
     *  **若P为正交矩阵，则相似一定合同**

通过二次型之间的变换关系可以推导出以下结论：

*  **可逆线性变换不改变矩阵/二次型的秩**
 *  **和对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵**

## 二次型的标准型 ##

只含有平方项、没有交叉项的二次型称为**标准型**

系数仅为1、0、-1的标准型称为**规范形**

若一个二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx合同于 d 1 x 1 2 + d 2 x 2 2 + ⋯ + d n x n 2 d\_1x\_1^2+d\_2x\_2^2+\\cdots+d\_nx\_n^2 d1x12\+d2x22\+⋯\+dnxn2标准形，则称 d 1 x 1 2 + d 2 x 2 2 + ⋯ + d n x n 2 d\_1x\_1^2+d\_2x\_2^2+\\cdots+d\_nx\_n^2 d1x12\+d2x22\+⋯\+dnxn2为二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx的**合同标准形**

若一个二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx合同于 x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − x p + 2 2 − ⋯ − x p + q 2 x\_1^2+x\_2^2+\\cdots+x\_p^2-x\_\{p+1\}^2-x\_\{p+2\}^2-\\cdots-x\_\{p+q\}^2 x12\+x22\+⋯\+xp2−xp\+12−xp\+22−⋯−xp\+q2标准形，则称 x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − x p + 2 2 − ⋯ − x p + q 2 x\_1^2+x\_2^2+\\cdots+x\_p^2-x\_\{p+1\}^2-x\_\{p+2\}^2-\\cdots-x\_\{p+q\}^2 x12\+x22\+⋯\+xp2−xp\+12−xp\+22−⋯−xp\+q2为二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx的**合同标准形**

**任何二次型都可以通过配方法（作可逆线性变换）化为标准型或规范形，也可以通过正交变换化成标准形**

### 惯性定理 ###

**惯性定理**：无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准形或规范形，其正项的总数p和负项的总数q都不变，p称为**正惯性指数**，q称为**负惯性指数**

**若二次型的秩为r，则r=p+q**

**合同变换不改变正负惯性指数**

**两个二次型或实对称矩阵合同的充要条件：有相同的正负惯性指数，或有相同的秩及正/负惯性指数**

### 二次型正定的充要条件 ###

以下命题互为充要条件：

*  **n元二次型 f = x T A x f=x^TAx f=xTAx正定**
 *  **对任意 x ≠ 0 x\\neq 0 x=0，有 x T A x > 0 x^TAx>0 xTAx>0**
 *  **f的正惯性指数p=n**
 *  **存在可逆矩阵C，使 A = D T D A=D^TD A=DTD**
 *  **A和E合同**
 *  **A的特征值 λ i > 0 ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) \\lambda\_i>0(i=1,2,\\cdots,n) λi>0(i=1,2,⋯,n)**
 *  **A的全部顺序主子式（从A的左上角开始沿主对角线依次取1、2、…、n阶行列式）均大于0**

### 二次型正定的必要条件 ###

二次型正定，可推出以下结论：

*   a i i > 0 ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) a\_\{ii\}>0(i=1,2,\\cdots,n) aii>0(i=1,2,⋯,n)
 *   ∣ A ∣ > 0 |A|>0 ∣A∣>0

### 配方法化二次型为标准形 ###

直接配方即可

### 正交变换化二次型为标准形 ###

注意：**正交变换只能化二次型为标准形，不能化为规范性**（除非特征值都是0、1、-1之中的数）

正交变换将二次型化成的标准形唯一，形式为 λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 \\lambda\_1y\_1^2+\\lambda\_2y\_2^2+\\cdots+\\lambda\_ny\_n^2 λ1y12\+λ2y22\+⋯\+λnyn2

## 区分等价、相似、合同矩阵 ##

1.  A、B是**同型矩阵**，则下列命题等价：
    
     *  A，B**等价**
     *  A能经过有限次初等变换得到B
     *  有**可逆矩阵**P、Q，能使 P A Q = B PAQ=B PAQ=B
     *   r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B)
2.  A、B是**同阶方阵**，下列命题等价：
    
     *  A，B**相似**
     *  有**可逆矩阵**P，能使 P − 1 A P = B P^\{-1\}AP=B P−1AP=B
3.  A、B是**同阶方阵**，下列命题等价：
    
     *  A，B**合同**
     *  有**可逆矩阵**P，能使 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B
     *   x T A x , x T B x x^TAx,x^TBx xTAx,xTBx有相同的正负惯性指数，或有相同的秩序及正/负惯性指数

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNTAwMDA1_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221005/640bb312a03540fd9a6da4a2a283d5a2.png