MATLAB快速傅里叶变换（fft）函数详解

快来打我* 2022-10-08 13:25 574阅读 0赞

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定义：

![29873762ce3b29ed4e464fdb31b94149.png][]

The 'i' in the 'Nth root of unity' 是虚数单位

# 调用： #

1.  Y = fft（y）;

2.  Y = fft（y，N）;

式中，y是序列，Y是序列的快速傅里叶变换。y可以是一向量或矩阵，若y为向量，则Y是y的FFT，并且与y具有相同的长度。若y为一矩阵，则Y是对矩阵的每一列向量进行FFT。

# 说明： #

## 1.  函数fft返回值的数据结构具有对称性 ##

根据采样定理，fft能分辨的最高频率为采样频率的一半（即Nyquist频率），函数fft返回值是以Nyqusit频率为轴对称的，Y的前一半与后一半是复数共轭关系。

## 2.  幅值 ##

作FFT分析时，幅值大小与输入点数有关，要得到真实的幅值大小，只要将变换后的结果乘以2除以N即可（但此时零频—直流分量—的幅值为实际值的2倍）。对此的解释是：Y除以N得到双边谱，再乘以2得到单边谱（零频在双边谱中本没有被一分为二，而转化为单边谱过程中所有幅值均乘以2，所以零频被放大了）。

## 3.  基频 ##

若分析数据时长为T，则分析结果的基频就是f0=1/T，分析结果的频率序列为\[0:N-1\]\*f0

## 4.  执行N点FFT ##

在调用格式2中，函数执行N点FFT。若y为向量且长度小于N，则函数将y补零至长度N，若向量y的长度大于N，则函数截断y使之长度为N。

# 注意： #

使用N点FFT时，若N大于向量y的长度，将给频谱分析结果带来变化，应该特别注意。

# 例子： #

将对N点FFT进行举例，说明当N大于向量y的长度时给频谱分析带来的变化。

![59222307c12349f56d2eca26df214e03.png][]

上图中，左列为信号时域图形，右列为对应信号的频谱图。可以看出当N大于向量y的长度时，由于fft自动将100s后的信号值补零，原信号实际变为左下角的时域图形，所以频率发生了变化（增加多种频率的小振幅振动，主峰幅值被削弱）。

# 结论： #

使用N点FFT时，不应使N大于y向量的长度，否则将导致频谱失真。

# 例子程序： #

clear all   %清除内存所有变量

close all    %关闭所有打开的图形窗口

%% 执行FFT点数与原信号长度相等（100点）

% 构建原信号

N=100;  % 信号长度（变量@@@@@@@）

Fs=1;  % 采样频率

dt=1/Fs;  % 采样间隔

t=\[0:N-1\]\*dt;  % 时间序列

xn=cos(2\*pi\*0.24\*\[0:99\])+cos(2\*pi\*0.26\*\[0:99\]);

xn=\[xn,zeros(1,N-100)\];  % 原始信号的值序列

subplot(3,2,1)  % 变量@@@@@@@

plot(t,xn)  % 绘出原始信号

xlabel('时间/s'),title('原始信号(向量长度为100)')  % 变量@@@@@@@

% FFT分析

NN=N;  % 执行100点FFT

XN=fft(xn,NN)/NN;  % 共轭复数，具有对称性

f0=1/(dt\*NN);  % 基频

f=\[0:ceil((NN-1)/2)\]\*f0;  % 频率序列

A=abs(XN);  % 幅值序列

subplot(3,2,2),stem(f,2\*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel('频率/Hz')  % 绘制频谱（变量@@@@@@@）

axis(\[0 0.5 0 1.2\])  % 调整坐标范围

title('执行点数等于信号长度(单边谱100执行点)');  % 变量@@@@@@@

%% 执行FFT点数大于原信号长度

% 构建原信号

N=100;  % 信号长度（变量@@@@@@@）

Fs=1;  % 采样频率

dt=1/Fs;  % 采样间隔

t=\[0:N-1\]\*dt;  % 时间序列

xn=cos(2\*pi\*0.24\*\[0:99\])+cos(2\*pi\*0.26\*\[0:99\]);

xn=\[xn,zeros(1,N-100)\];  % 原始信号的值序列

subplot(3,2,3)  % 变量@@@@@@@

plot(t,xn)  % 绘出原始信号

xlabel('时间/s'),title('原始信号(向量长度为100)')  % 变量@@@@@@@

% FFT分析

NN=120;  % 执行120点FFT（变量@@@@@@@）

XN=fft(xn,NN)/NN;  % 共轭复数，具有对称性

f0=1/(dt\*NN);  % 基频

f=\[0:ceil((NN-1)/2)\]\*f0;  % 频率序列

A=abs(XN);  % 幅值序列

subplot(3,2,4),stem(f,2\*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel('频率/Hz')  % 绘制频谱（变量@@@@@@@）

axis(\[0 0.5 0 1.2\])  % 调整坐标范围

title('执行点数大于信号长度(单边谱120执行点)');  % 变量@@@@@@@

%% 执行FFT点数与原信号长度相等（120点）

% 构建原信号

N=120;  % 信号长度（变量@@@@@@@）

Fs=1;  % 采样频率

dt=1/Fs;  % 采样间隔

t=\[0:N-1\]\*dt;  % 时间序列

xn=cos(2\*pi\*0.24\*\[0:99\])+cos(2\*pi\*0.26\*\[0:99\]);

xn=\[xn,zeros(1,N-100)\];  % 原始信号的值序列

subplot(3,2,5)  % 变量@@@@@@@

plot(t,xn)  % 绘出原始信号

xlabel('时间/s'),title('原始信号(向量长度为120)')  % 变量@@@@@@@

% FFT分析

NN=120;  % 执行120点FFT（变量@@@@@@@）

XN=fft(xn,NN)/NN;  % 共轭复数，具有对称性

f0=1/(dt\*NN);  % 基频

f=\[0:ceil((NN-1)/2)\]\*f0;  % 频率序列

A=abs(XN);  % 幅值序列

subplot(3,2,6),stem(f,2\*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel('频率/Hz')  % 绘制频谱（变量@@@@@@@）

axis(\[0 0.5 0 1.2\])  % 调整坐标范围

title('执行点数等于信号长度(单边谱120执行点)');  % 变量@@@@@@@

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