面对计算机科学的数理逻辑课后答案,面向计算机科学的数理逻辑答案.docx

逃离我推掉我的手 2022-10-08 00:49 177阅读 0赞

2.2.2

若 A∈Atom(L p)，则 n=0，m=1，m = n+1 成立。

若 B、C∈Form(L p)，B 中出现∧,∨,→, ?的次数为 n1 次，出现原子公式的次数为 m1 次，m1= n1+1,C 中出现∧,∨,→, ?的次数为 n2 次，出现原子公式的次数为 m2 次，m2 = n2+2,A=B\*C，则 m=m1+m2,n=n1+n2+1,故 m = n+1.

2.2.3

若 A∈Atom(L p),则 deg(A) = 0,此时 deg(A)=连接符在 A 中出现的次数 0； 若 A = ?B，B∈Atom(L p)，则 deg(A) = 1,此时 deg(A) = 连接符在 A 中出现

的次数 1。

若 A= B\*C，则 deg(A) = max(deg(A),deg(B))+1,若 B、C∈Atom(L p)，则 deg(A)

= 1，此时 deg(A) = 连接符在 A 中出现的次数 1。

若 B、C !∈Atom(L p),即 B、C=D1\*D2\*…\*Di, Di∈Atom(L p),则 deg(A)=deg(B)+1

或 deg(C)+1,即

A 由上面三条生成，即 A∈Form(L p)，得 deg(A) ≤ 连接符在 A 中出现的次数。

2.4.5

若 i = 1,由(Ai→Bi) v=1，得到得 A1=0 或者 B1=1。由条件(2)(3)得到 A1=1， B1=1，结论得证。

由(Ai→Bi) v=1,得 Ai=0 或者 Bi=1；---(1)

由(A1∨……∨An) v=1 得，至少有一个 i，1≤i≤n，使得 Ai v =1。---(2)

由(Bi∧Bi) v=0 得，至少有一个 i，1≤i≤n，使得 Bi v=0。---(3)

若 Bi v=0，1≤i≤n，则 Ai v=0，1≤i≤n，与(2)矛盾；

若 1≤i，j≤n，i！=j，使得 Bi v=1，Bjv=1，则(Bi∧Bi) v=1，与(3)矛盾； 则存在唯一的 i，使得 Biv=1。

若 Aj=1，Bi=1，1≤i，j≤n ，i！=j，则(Aj→Bj) v=0，与(1)矛盾，则存在唯一的 i，使得 Ai=Bi=1。

结论得证。

2.5.2

(ii)

证明：

先证(A1…An|=A)|= (φ|=( A1→(…(An→A))), 设(A1,…An|=A)v=1，则 A1 v =1， A2 v =1，…An v =1，A v =1；带入右边式子，(An→A)v=1, (An-1→(An→A)) v =1， ( A1→(…(An→A)) v=1，即(φ|=( A1→(…(An→A)))成立。

再证(ф|=(A1→(…(An→A)))|=(A1,…An|=A)。假设(ф|=(A1→(…(An→A))) v=1， 而(A1…An|=A) v=0，即 A1 v =1，A2 v =1，…An v =1，A v =0。则(An→A)v=0，(An-1

→(An→A)) v =0，( A1→(…(An→A)) v=0，产生矛盾，假设不成立。证明成立。

引理 2.5.3

证明：

(ⅰ)先证?A|=?A’

设存在一组赋值使得(?A)v =1,(?A’)V=0, 即得 (A)v=0,(A’)v=1, 与

A|=|A’矛盾，同理可证?A’|=?A,所以式子得证。

(ⅱ)先证 A∧B|=A’∧B’

假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (A ∧ B)v=1,(A’∧ B)v=0’, 可 得

AV=1,BV=1,(A’)V=0 或(B’)V=0 或二者都为零，这与 A|=|A’，B|=|B’矛盾， 即式子成立，同理可证，

A’∧B’ |=A∧B。

(ⅲ)先证 A∨B|=A’∨B’

假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (A ∨ B)V=1,(A’ ∨ B’)V=0, 可 得

(A’)V=0,(B’)V=0,(A)v=1 或(B)v=1 或二者都为 1，这与 A|=|A’， B|=|B’

矛盾，即式子得证，同理可证 A’∨B’|= A∨B。

(ⅳ)先证 A→B|=A’→B’

假设存 在一 组赋 值使得 ( A → B ) V=1,(A’ → B’)V=0 ，可 得

(A’)v=1,(B’)v=0, 由 A|=|A’， B|=|B’可得，AV=1,BV=0,即(A→B)v=0,这

与(A→B)V=1 矛盾，即式子得证。同理可证，A’→B’|=A →B

(ⅴ)先证 A?B|=A’ ?B’

假设存在一组赋值使得(A?B)V=1,(A’?B’)V=0, 可得 AV=1,BV=1 或

AV=0,BV=0，(A’)v=1,(B’)v=0 或(A’)v=0,(B’)v=1, 这与 A|=|A’，B|=|B’

矛盾，所以式子成立。

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