力扣刷题记录（七）动态规划（五）子序列系列

朱雀 2022-10-07 00:57 179阅读 0赞

① 题号300.最长递增子序列  
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。  
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，\[3,6,2,7\] 是数组 \[0,3,1,6,2,2,7\] 的子序列。

示例 1： 输入：nums = \[10,9,2,5,3,7,101,18\] 输出：4 解释：最长递增子序列是 \[2,3,7,101\]，因此长度为 4 。  
示例 2： 输入：nums = \[0,1,0,3,2,3\] 输出：4  
示例 3： 输入：nums = \[7,7,7,7,7,7,7\] 输出：1

提示：  
1 <= nums.length <= 2500  
\-10^4 <= nums\[i\] <= 104

解析：  
最长上升子序列是动规的经典题目，这里dp\[i\]是可以根据dp\[j\] （j < i）推导出来的，那么依然用动规五部曲来分析详细一波。  
1.

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
![在这里插入图片描述][20210615144626343.png]  
![在这里插入图片描述][20210615144640682.png]  
② 题号674. 最长连续递增序列  
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。  
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums\[i\] < nums\[i + 1\] ，那么子序列 \[nums\[l\], nums\[l + 1\], …, nums\[r - 1\], nums\[r\]\] 就是连续递增子序列。  
示例 1： 输入：nums = \[1,3,5,4,7\] 输出：3 解释：最长连续递增序列是 \[1,3,5\], 长度为3。 尽管 \[1,3,5,7\] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。  
示例 2： 输入：nums = \[2,2,2,2,2\] 输出：1 解释：最长连续递增序列是 \[2\], 长度为1。  
提示：  
0 <= nums.length <= 10^4  
\-10^9 <= nums\[i\] <= 10^9

解析：  
本题相对于300.最长递增子序列最大的区别在于“连续”。  
本题要求的是最长连续递增序列。  
动规五部曲分析如下：  
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义  
dp\[i\]：以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度为dp\[i\]。  
注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。  
2.确定递推公式  
如果 nums\[i + 1\] > nums\[i\]，那么以 i+1 为结尾的数组的连续递增的子序列长度 一定等于 以i为结尾的数组的连续递增的子序列长度 + 1 。  
即：dp\[i + 1\] = dp\[i\] + 1;  
注意这里就体现出和动态规划：300.最长递增子序列的区别！  
因为本题要求连续递增子序列，所以就必要比较nums\[i + 1\]与nums\[i\]，而不用去比较nums\[j\]与nums\[i\] （j是在0到i之间遍历）。  
既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums\[i + 1\] 和 nums\[i\]。  
这里大家要好好体会一下！  
3.dp数组如何初始化  
以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums\[i\]这一个元素。  
所以dp\[i\]应该初始1;  
4.确定遍历顺序  
从递推公式上可以看出， dp\[i + 1\]依赖dp\[i\]，所以一定是从前向后遍历。  
本文在确定递推公式的时候也说明了为什么本题只需要一层for循环，代码如下：  
![在这里插入图片描述][20210615155524158.png]  
5.举例推导dp数组  
已输入nums = \[1,3,5,4,7\]为例，dp数组状态如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
![在这里插入图片描述][20210615155217395.png]  
![在这里插入图片描述][20210615155236873.png]  
③ 题号718. 最长重复子数组  
给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。  
示例：  
输入： A: \[1,2,3,2,1\] B: \[3,2,1,4,7\] 输出：3 解释： 长度最长的公共子数组是 \[3, 2, 1\] 。  
提示：  
1 <= len(A), len(B) <= 1000  
0 <= A\[i\], B\[i\] < 100

解析：

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
![在这里插入图片描述][2021061516215254.png]  
④ 题号1143.最长公共子序列  
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。  
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。  
例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。  
若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:  
输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”  
输出：3  
解释：最长公共子序列是 “ace”，它的长度为 3。

示例 2:  
输入：text1 = “abc”, text2 = “abc”  
输出：3  
解释：最长公共子序列是 “abc”，它的长度为 3。

示例 3:  
输入：text1 = “abc”, text2 = “def”  
输出：0  
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。

提示:  
1 <= text1.length <= 1000  
1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。

解析：

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
![在这里插入图片描述][20210615165040447.png]  
⑤ 题号1035.不相交的线  
我们在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 A 和 B 中的整数。  
现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A\[i\] 和 B\[j\] 的直线，只要 A\[i\] == B\[j\]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。  
以这种方法绘制线条，并返回我们可以绘制的最大连线数。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
解析：  
绘制一些连接两个数字 A\[i\] 和 B\[j\] 的直线，只要 A\[i\] == B\[j\]，且直线不能相交！

直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

拿示例一A = \[1,4,2\], B = \[1,2,4\]为例，相交情况如图：  
![在这里插入图片描述][20210615165754642.png]  
其实也就是说A和B的最长公共子序列是\[1,4\]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）

这么分析完之后，大家可以发现：**本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！**

那么本题就和我们刚刚讲过的这道题目动态规划：1143.最长公共子序列就是一样一样的了。

一样到什么程度呢？ 把字符串名字改一下，其他代码都不用改，直接copy过来就行了。

其实本题就是求最长公共子序列的长度，介于我们刚刚讲过动态规划：1143.最长公共子序列，所以本题我就不再做动规五部曲分析了。

如果大家有点遗忘了最长公共子序列，就再看一下这篇：动态规划：1143.最长公共子序列

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
![在这里插入图片描述][20210615170827997.png]  
⑥ 题号53. 最大子序和  
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。  
示例: 输入: \[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4\] 输出: 6 解释: 连续子数组 \[4,-1,2,1\] 的和最大，为 6。

解析：  
动规五部曲如下：  
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义  
dp\[i\]：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp\[i\]。  
2.确定递推公式  
dp\[i\]只有两个方向可以推出来：  
dp\[i - 1\] + nums\[i\]，即：nums\[i\]加入当前连续子序列和  
nums\[i\]，即：从头开始计算当前连续子序列和  
一定是取最大的，所以dp\[i\] = max(dp\[i - 1\] + nums\[i\], nums\[i\]);  
3.dp数组如何初始化  
从递推公式可以看出来dp\[i\]是依赖于dp\[i - 1\]的状态，dp\[0\]就是递推公式的基础。  
dp\[0\]应该是多少呢?  
更具dp\[i\]的定义，很明显dp\[0\]因为为nums\[0\]即dp\[0\] = nums\[0\]。  
4.确定遍历顺序  
递推公式中dp\[i\]依赖于dp\[i - 1\]的状态，需要从前向后遍历。  
5.举例推导dp数组  
以示例一为例，输入：nums = \[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4\]，对应的dp状态如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]  
![在这里插入图片描述][20210615172415254.png]  
⑦ 题号392.判断子序列  
给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。  
字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。  
示例 1： 输入：s = “abc”, t = “ahbgdc” 输出：true  
示例 2： 输入：s = “axc”, t = “ahbgdc” 输出：false

提示：  
0 <= s.length <= 100  
0 <= t.length <= 10^4  
两个字符串都只由小写字符组成。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]  
![在这里插入图片描述][20210615175022173.png]  
![在这里插入图片描述][20210615175033946.png]  
⑧ 题号115.不同的子序列  
给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。  
字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）  
题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

解析：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]  
答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]  
![在这里插入图片描述][20210615224717674.png]  
⑨ 题号583. 两个字符串的删除操作  
给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。

示例：  
输入: “sea”, “eat”  
输出: 2 解释: 第一步将"sea"变为"ea"，第二步将"eat"变为"ea"

解析：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]  
![在这里插入图片描述][20210615230414496.png]  
⑩ 题号72. 编辑距离  
给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：  
插入一个字符  
删除一个字符  
替换一个字符  
示例 1： 输入：word1 = “horse”, word2 = “ros” 输出：3 解释： horse -> rorse (将 ‘h’ 替换为 ‘r’) rorse -> rose (删除 ‘r’) rose -> ros (删除 ‘e’)

示例 2： 输入：word1 = “intention”, word2 = “execution” 输出：5 解释： intention -> inention (删除 ‘t’) inention -> enention (将 ‘i’ 替换为 ‘e’) enention -> exention (将 ‘n’ 替换为 ‘x’) exention -> exection (将 ‘n’ 替换为 ‘c’) exection -> execution (插入 ‘u’)

提示：  
0 <= word1.length, word2.length <= 500  
word1 和 word2 由小写英文字母组成

解析：  
编辑距离终于来了，这道题目如果大家没有了解动态规划的话，会感觉超级复杂。  
编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。  
接下来我依然使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析：  
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义  
dp\[i\]\[j\] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp\[i\]\[j\]。

这里在强调一下：为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？

用i来表示也可以！ 但我统一以下标i-1为结尾的字符串，在下面的递归公式中会容易理解一点。

2.确定递推公式  
在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]  
3. dp数组如何初始化  
再回顾一下dp\[i\]\[j\]的定义：

dp\[i\]\[j\] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp\[i\]\[j\]。

那么dp\[i\]\[0\] 和 dp\[0\]\[j\] 表示什么呢？

dp\[i\]\[0\] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp\[i\]\[0\]。

那么dp\[i\]\[0\]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp\[i\]\[0\] = i;

同理dp\[0\]\[j\] = j;

所以C++代码如下：  
![在这里插入图片描述][20210615232359468.png]  
4.确定遍历顺序  
从如下四个递推公式：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]  
可以看出dp\[i\]\[j\]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]  
所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]  
5.举例推导dp数组  
以示例1为例，输入：word1 = “horse”, word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 20]

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 21]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 22]  
![在这里插入图片描述][20210616001040512.png]

① 题号647. 回文子串  
给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。  
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：  
输入：“abc” 输出：3 解释：三个回文子串: “a”, “b”, “c”

示例 2：  
输入：“aaa” 输出：6 解释：6个回文子串: “a”, “a”, “a”, “aa”, “aa”, “aaa”

提示：  
输入的字符串长度不会超过 1000 。

解析：  
动规五部曲  
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义  
布尔类型的dp\[i\]\[j\]：表示区间范围\[i,j\] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp\[i\]\[j\]为true，否则为false。  
2.确定递推公式  
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。  
整体上是两种，就是s\[i\]与s\[j\]相等，s\[i\]与s\[j\]不相等这两种。

当s\[i\]与s\[j\]不相等，那没啥好说的了，dp\[i\]\[j\]一定是false。  
当s\[i\]与s\[j\]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串  
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串  
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s\[i\]与s\[j\]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp\[i + 1\]\[j - 1\]是否为true。  
以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：  
![在这里插入图片描述][20210616094923438.png]  
result就是统计回文子串的数量。  
注意这里我没有列出当s\[i\]与s\[j\]不相等的时候，因为在下面dp\[i\]\[j\]初始化的时候，就初始为false。

3.dp数组如何初始化  
dp\[i\]\[j\]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。  
所以dp\[i\]\[j\]初始化为false。

4.确定遍历顺序  
遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp\[i + 1\]\[j - 1\]是否为true，在对dp\[i\]\[j\]进行赋值true的。

dp\[i + 1\]\[j - 1\] 在 dp\[i\]\[j\]的左下角，如图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 23]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 24]  
5.举例推导dp数组  
举例，输入：“aaa”，dp\[i\]\[j\]状态如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 25]  
图中有6个true，所以就是有6个回文子串。  
注意因为dp\[i\]\[j\]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp\[i\]\[j\]的时候一定是只填充右上半部分。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 26]  
![在这里插入图片描述][20210616100501446.png]  
![在这里插入图片描述][20210616100513163.png]  
② 题号516.最长回文子序列  
给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。

示例 1: 输入: “bbbab” 输出: 4 一个可能的最长回文子序列为 “bbbb”。

示例 2: 输入:“cbbd” 输出: 2 一个可能的最长回文子序列为 “bb”。

提示：

1 <= s.length <= 1000  
s 只包含小写英文字母

解析：  
我们刚刚做过了 动态规划：回文子串，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。

**回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！** 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 27]  
![在这里插入图片描述][20210616101902741.png]  
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