力扣刷题记录（七）动态规划（二）背包问题

╰半夏微凉° 2022-10-06 12:56 291阅读 0赞

**背包基础图**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70]1. **01 背包**  
有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight\[i\]，得到的价值是value\[i\] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

①**二维dp数组**

举例  
背包最大重量为4。

物品为：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
问背包能背的物品最大价值是多少？

解析：  
1.确定dp数组以及下标的含义  
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp\[i\]\[j\] 表示从下标为\[0-i\]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。  
2.确定递推公式  
再回顾一下dp\[i\]\[j\]的含义：从下标为\[0-i\]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。  
那么可以有两个方向推出来dp\[i\]\[j\]，  
由dp\[i - 1\]\[j\]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp\[i\]\[j\]就是dp\[i - 1\]\[j\]  
由dp\[i - 1\]\[j - weight\[i\]\]推出，dp\[i - 1\]\[j - weight\[i\]\] 为背包容量为j - weight\[i\]的时候不放物品i的最大价值，那么dp\[i - 1\]\[j - weight\[i\]\] + value\[i\] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值  
所以递归公式： dp\[i\]\[j\] = max(dp\[i - 1\]\[j\], dp\[i - 1\]\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]);  
3.dp数组如何初始化  
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。  
首先从dp\[i\]\[j\]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp\[i\]\[0\]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。  
在看其他情况。  
状态转移方程 dp\[i\]\[j\] = max(dp\[i - 1\]\[j\], dp\[i - 1\]\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。  
dp\[0\]\[j\]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。  
代码如下：  
![在这里插入图片描述][2021061414102345.png]  
4.确定遍历顺序  
有两个遍历的维度：物品与背包重量。  
那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？  
其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。  
那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
5.举例推导dp数组  
来看一下对应的dp数组的数值，如图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
最终结果就是dp\[2\]\[4\]。  
建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。  
做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！  
很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。  
主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
![在这里插入图片描述][20210614144114506.png]  
② **一维dp数组（滚动数组）**  
上道题是用二维dp数组来讲解01背包。  
现在仍以上道题为例：  
背包最大重量为4。  
物品为：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
问背包能背的物品最大价值是多少？

解析：  
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。  
在使用二维数组的时候，递推公式：dp\[i\]\[j\] = max(dp\[i - 1\]\[j\], dp\[i - 1\]\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]);  
其实可以发现如果把dp\[i - 1\]那一层拷贝到dp\[i\]上，表达式完全可以是：dp\[i\]\[j\] = max(dp\[i\]\[j\], dp\[i\]\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]);  
于其把dp\[i - 1\]这一层拷贝到dp\[i\]上，不如只用一个一维数组了，只用dp\[j\]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。  
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。  
读到这里估计大家都忘了 dp\[i\]\[j\]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。  
dp\[i\]\[j\] 表示从下标为\[0-i\]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。  
一定要时刻记住这里i和j的含义，要不然很容易看懵了。

动规五部曲分析如下：  
1.确定dp数组的定义  
在一维dp数组中，dp\[j\]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp\[j\]。  
2.一维dp数组的递推公式  
dp\[j\]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp\[j\]呢？  
dp\[j\]可以通过dp\[j - weight\[i\]\]推导出来，dp\[j - weight\[i\]\]表示容量为j - weight\[i\]的背包所背的最大价值。  
dp\[j - weight\[i\]\] + value\[i\] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp\[j\]）  
此时dp\[j\]有两个选择，一个是取自己dp\[j\]，一个是取dp\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，  
所以递归公式为：  
![在这里插入图片描述][20210614150041502.png]  
可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp\[i\]\[j\]中i的维度去掉了。  
3.一维dp数组如何初始化  
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。  
dp\[j\]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp\[j\]，那么dp\[0\]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。  
那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？  
看一下递归公式：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]);  
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。  
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。  
那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。  
4.一维dp数组遍历顺序  
代码如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
这里套注意和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！  
二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。  
5.举例推导dp数组  
一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]  
![在这里插入图片描述][2021061415164224.png]  
可以看出，一维dp 的01背包，要比二维简洁的多！ 初始化 和 遍历顺序相对简单了。  
所以我倾向于使用一维dp数组的写法，比较直观简洁，而且空间复杂度还降了一个数量级！  
在后面背包问题的讲解中，我都直接使用一维dp数组来进行推导。

③ 题号416. 分割等和子集  
给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。  
注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200  
示例 1: 输入: \[1, 5, 11, 5\] 输出: true 解释: 数组可以分割成 \[1, 5, 5\] 和 \[11\]. 示例 2: 输入: \[1, 2, 3, 5\] 输出: false 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.  
提示：  
1 <= nums.length <= 200  
1 <= nums\[i\] <= 100

解析：  
背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight\[i\]，得到的价值是value\[i\] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。  
背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。  
要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。  
即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。  
要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。  
回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。  
那么来一一对应一下本题，看看背包问题如果来解决。  
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来：  
背包的体积为sum / 2  
背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值  
背包如何正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。  
背包中每一个元素是不可重复放入。  
以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

动规五部曲分析如下：  
1.确定dp数组以及下标的含义  
01背包中，dp\[i\] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp\[j\]。  
套到本题，dp\[i\]表示 背包总容量是i，最大可以凑成i的子集总和为dp\[i\]。  
2.确定递推公式  
01背包的递推公式为：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]);  
本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums\[i\]，其价值也是nums\[i\]。  
所以递推公式：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - nums\[i\]\] + nums\[i\]);  
3.dp数组如何初始化  
在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，  
从dp\[j\]的定义来看，首先dp\[0\]一定是0。  
如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。  
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。  
本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

代码如下：  
![在这里插入图片描述][2021061415293235.png]  
4.确定遍历顺序  
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒叙遍历！  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]  
5.举例推导dp数组  
dp\[i\]的数值一定是小于等于i的。  
如果dp\[i\] == i 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和i，理解这一点很重要。  
用例1，输入\[1,5,11,5\] 为例，如图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]  
最后dp\[11\] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]  
![在这里插入图片描述][2021061415385773.png]  
④ 题号1049. 最后一块石头的重量 II  
有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。  
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：  
如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。 最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。  
示例： 输入：\[2,7,4,1,8,1\] 输出：1 解释： 组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 \[2,7,1,8,1\]， 组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 \[2,1,1,1\]， 组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 \[1,1,1\]， 组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 \[1\]，这就是最优值。 提示：  
1 <= stones.length <= 30  
1 <= stones\[i\] <= 1000

解析：  
本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。  
是不是感觉和之前讲解的416. 分割等和子集非常像了。  
本题物品的重量为store\[i\]，物品的价值也为store\[i\]。  
对应着01背包里的物品重量weight\[i\]和 物品价值value\[i\]。

接下来进行动规五步曲：  
1.确定dp数组以及下标的含义  
dp\[j\]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背dp\[j\]这么重的石头。  
2.确定递推公式  
01背包的递推公式为：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]);  
本题则是：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - stones\[i\]\] + stones\[i\]);  
3.dp数组如何初始化  
既然 dp\[j\]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。  
因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones\[i\] <= 1000，所以最大重量就是30 \* 1000 。  
而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。  
当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小。  
我这里就直接用15000了。  
![在这里插入图片描述][20210614161514930.png]  
4.确定遍历顺序  
如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒叙遍历！  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]  
5.举例推导dp数组  
举例，输入：\[2,4,1,1\]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]  
最后dp\[target\]里是容量为target的背包所能背的最大重量。  
那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp\[target\]，另一堆就是sum - dp\[target\]。  
在计算target的时候，**target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp\[target\] 一定是大于等于dp\[target\]的。**  
那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp\[target\]) - dp\[target\]。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]  
![在这里插入图片描述][20210614162523412.png]  
⑤ 题号494. 目标和  
给定一个非负整数数组，a1, a2, …, an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例：

输入：nums: \[1, 1, 1, 1, 1\], S: 3  
输出：5

解释：  
\-1+1+1+1+1 = 3  
\+1-1+1+1+1 = 3  
\+1+1-1+1+1 = 3  
\+1+1+1-1+1 = 3  
\+1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

提示：

数组非空，且长度不会超过 20 。  
初始的数组的和不会超过 1000 。  
保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。

解析：  
如何转化为01背包问题呢。  
假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是（sum - x）。  
所以我们要求的是 x - (sum - x) = S，即  
x = (S + sum) / 2  
此时问题就转化为，装满容量为x背包，有几种方法。  
大家看到(S + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。  
这么担心就对了，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的，所以：  
![在这里插入图片描述][20210614164030747.png]  
看到这种表达式，应该本能的反应，两个int相加数值可能溢出的问题，当然本题并没有溢出。  
再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？  
因为每个物品（题目中的1）只用一次！  
这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。  
本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。  
1.确定dp数组以及下标的含义  
dp\[j\] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，**有dp\[i\]种方法**。  
2.确定递推公式  
有哪些来源可以推出dp\[j\]呢？  
不考虑nums\[i\]的情况下，填满容量为j - nums\[i\]的背包，有dp\[j - nums\[i\]\]种方法。  
那么只要搞到nums\[i\]的话，凑成dp\[j\]就有dp\[j - nums\[i\]\] 种方法。  
举一个例子,nums\[i\] = 2： dp\[3\]，填满背包容量为3的话，有dp\[3\]种方法。  
那么只需要搞到一个2（nums\[i\]），有dp\[3\]方法可以凑齐容量为3的背包，相应的就有多少种方法可以凑齐容量为5的背包。  
那么需要把 这些方法累加起来就可以了，dp\[i\] += dp\[j - nums\[i\]\]  
所以求组合类问题的公式，都是类似这种：  
![在这里插入图片描述][20210614164552360.png]  
3.dp数组如何初始化  
从递归公式可以看出，在初始化的时候dp\[0\] 一定要初始化为1，因为dp\[0\]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp\[0\]是0的话，递归结果将都是0。  
**dp\[0\] = 1，理论上也很好解释，装满容量为0的背包，有1种方法，就是装0件物品。**  
dp\[j\]其他下标对应的数值应该初始化为0，从递归公式也可以看出，dp\[j\]要保证是0的初始值，才能正确的由dp\[j - nums\[i\]\]推导出来。  
4.确定遍历顺序  
对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。  
5.举例推导dp数组  
输入：nums: \[1, 1, 1, 1, 1\], S: 3  
bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4  
dp数组状态变化如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]  
答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]  
![在这里插入图片描述][20210614171225860.png]  
注：  
本题还是有点难度，大家也可以记住，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：  
![在这里插入图片描述][20210614171520569.png]

⑥ 题号474.一和零  
给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。  
请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。  
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。  
示例 1：  
输入：strs = \[“10”, “0001”, “111001”, “1”, “0”\], m = 5, n = 3 输出：4  
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 \{“10”,“0001”,“1”,“0”\} ，因此答案是 4 。 其他满足题意但较小的子集包括 \{“0001”,“1”\} 和 \{“10”,“1”,“0”\} 。\{“111001”\} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2： 输入：strs = \[“10”, “0”, “1”\], m = 1, n = 1 输出：2  
解释：最大的子集是 \{“0”, “1”\} ，所以答案是 2 。

提示：  
1 <= strs.length <= 600  
1 <= strs\[i\].length <= 100  
strs\[i\] 仅由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成  
1 <= m, n <= 100

解析:  
本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！  
而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。  
理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。  
但本题其实是01背包问题！  
这不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。  
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义  
dp\[i\]\[j\]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp\[i\]\[j\]。  
2.确定递推公式  
dp\[i\]\[j\] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。  
dp\[i\]\[j\] 就可以是 dp\[i - zeroNum\]\[j - oneNum\] + 1。  
然后我们在遍历的过程中，取dp\[i\]\[j\]的最大值。  
所以递推公式：dp\[i\]\[j\] = max(dp\[i\]\[j\], dp\[i - zeroNum\]\[j - oneNum\] + 1);  
此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]);  
对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight\[i\]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value\[i\]）。  
这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。  
3.dp数组如何初始化  
01背包的dp数组初始化为0就可以。  
因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp\[i\]\[j\]不会被初始值覆盖。  
4.确定遍历顺序  
在动态规划：关于01背包问  
物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]  
5.举例推导dp数组  
以输入：\[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”\]，m = 3，n = 3为例  
最后dp数组的状态如下所示  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]  
答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 20]  
![在这里插入图片描述][20210614182426366.png]

2.**完全背包**  
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight\[i\]，得到的价值是value\[i\] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。  
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

①  
举例  
背包最大重量为4。  
物品为：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 21]  
每件商品都有无限个！  
问背包能背的物品最大价值是多少？

解析：  
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！  
首先在回顾一下01背包的核心代码  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 22]  
**我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。**  
**而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 23]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 24]  
答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 25]  
![在这里插入图片描述][20210614184951868.png]  
② 题号518. 零钱兑换 II  
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:  
输入: amount = 5, coins = \[1, 2, 5\] 输出: 4 解释: 有四种方式可以凑成总金额: 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1

示例 2: 输入: amount = 3, coins = \[2\] 输出: 0 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3: 输入: amount = 10, coins = \[10\] 输出: 1

注意，你可以假设：  
0 <= amount (总金额) <= 5000  
1 <= coin (硬币面额) <= 5000  
硬币种类不超过 500 种  
结果符合 32 位符号整数

解析：  
这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。  
但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！  
注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？

例如示例一：  
5 = 2 + 2 + 1  
5 = 2 + 1 + 2  
这是一种组合，都是 2 2 1。  
**如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。**  
组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。

动规五步曲来分析如下：  
1.确定dp数组以及下标的含义  
dp\[j\]：凑成总金额j的货币组合数为dp\[j\]  
2.确定递推公式  
dp\[j\] （考虑coins\[i\]的组合总和） 就是所有的dp\[j - coins\[i\]\]（不考虑coins\[i\]）相加。  
所以递推公式：dp\[j\] += dp\[j - coins\[i\]\];  
这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇动态规划：目标和！中就讲解了，**求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp\[j\] += dp\[j - nums\[i\]\];**  
3.dp数组如何初始化  
首先dp\[0\]一定要为1，dp\[0\] = 1是 递归公式的基础。  
从dp\[i\]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。  
下标非0的dp\[j\]初始化为0，这样累计加dp\[j - coins\[i\]\]的时候才不会影响真正的dp\[j\]  
4.确定遍历顺序  
外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。  
![在这里插入图片描述][2021061419034123.png]  
5.举例推导dp数组  
输入: amount = 5, coins = \[1, 2, 5\] ，dp状态图如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 26]  
最后红色框dp\[amount\]为最终结果。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 27]  
![在这里插入图片描述][20210614191235120.png]  
注：  
本题的递推公式，其实我们在动态规划：目标和！中就已经讲过了，而难点在于遍历顺序！  
在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。  
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。  
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

③ 题号377. 组合总和 Ⅳ  
给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。  
示例:  
nums = \[1, 2, 3\] target = 4  
所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)  
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。  
因此输出为 7。

解析:  
本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！  
弄清什么是组合，什么是排列很重要。  
组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。  
排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。

动规五部曲分析如下：  
1.确定dp数组以及下标的含义  
dp\[i\]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp\[i\]  
2.确定递推公式  
dp\[i\]（考虑nums\[j\]）可以由 dp\[i - nums\[j\]\]（不考虑nums\[j\]） 推导出来。  
因为只要得到nums\[j\]，排列个数dp\[i - nums\[j\]\]，就是dp\[i\]的一部分。  
在动态规划：494.目标和 和 动态规划：518.零钱兑换II中我们已经讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp\[i\] += dp\[i - nums\[j\]\];  
本题也一样。  
3.dp数组如何初始化  
因为递推公式dp\[i\] += dp\[i - nums\[j\]\]的缘故，dp\[0\]要初始化为1，这样递归其他dp\[i\]的时候才会有数值基础。  
至于dp\[0\] = 1 有没有意义呢？  
其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！ 所以dp\[0\] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。  
至于非0下标的dp\[i\]应该初始为多少呢？  
初始化为0，这样才不会影响dp\[i\]累加所有的dp\[i - nums\[j\]\]。  
4.确定遍历顺序  
个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。  
得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。  
本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。

在动态规划：518.零钱兑换II 中就已经讲过了。  
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。  
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp\[4\]的时候，结果集只有 \{1,3\} 这样的集合，不会有\{3,1\}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！  
**所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。**  
5.举例来推导dp数组  
我们再来用示例中的例子推导一下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 28]  
如果代码运行处的结果不是想要的结果，就把dp\[i\]都打出来，看看和我们推导的一不一样。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 29]  
![在这里插入图片描述][20210614192938954.png]

注：  
求装满背包有几种方法，递归公式都是一样的，没有什么差别，但关键在于遍历顺序！  
本题与动态规划：518.零钱兑换II就是一个鲜明的对比，一个是求排列，一个是求组合，遍历顺序完全不同。  
如果对遍历顺序没有深度理解的话，做这种完全背包的题目会很懵逼，即使题目刷过了可能也不太清楚具体是怎么过的。  
此时大家应该对动态规划中的遍历顺序又有更深的理解了。

④ 题号70（改）. 爬楼梯  
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。  
一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？  
注意：给定 n 是一个正整数。

解析：  
1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！

动规五部曲分析如下：  
1.确定dp数组以及下标的含义  
dp\[i\]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp\[i\]种方法。  
2.确定递推公式  
在动态规划：494.目标和 、 动态规划：518.零钱兑换II、动态规划：377. 组合总和 Ⅳ中我们都讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp\[i\] += dp\[i - nums\[j\]\];  
本题呢，dp\[i\]有几种来源，dp\[i - 1\]，dp\[i - 2\]，dp\[i - 3\] 等等，即：dp\[i - j\]  
那么递推公式为：dp\[i\] += dp\[i - j\]  
3.dp数组如何初始化  
既然递归公式是 dp\[i\] += dp\[i - j\]，**那么dp\[0\] 一定为1，dp\[0\]是递归中一切数值的基础所在，如果dp\[0\]是0的话，其他数值都是0了。**  
下标非0的dp\[i\]初始化为0，因为dp\[i\]是靠dp\[i-j\]累计上来的，dp\[i\]本身为0这样才不会影响结果。  
4.确定遍历顺序  
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！  
**所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。**  
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。  
5.举例来推导dp数组  
介于本题和动态规划：377. 组合总和 Ⅳ几乎是一样的，这里我就不再重复举例了。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 30]  
⑤ 题号279.完全平方数  
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。  
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。  
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。  
示例 1： 输入：n = 12 输出：3 解释：12 = 4 + 4 + 4  
示例 2： 输入：n = 13 输出：2 解释：13 = 4 + 9  
提示：  
1 <= n <= 10^4

解析：  
我来把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？

动规五部曲分析如下：  
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义  
dp\[i\]：和为i的完全平方数的最少数量为dp\[i\]  
2.确定递推公式  
dp\[j\] 可以由dp\[j - i \* i\]推出， dp\[j - i \* i\] + 1 便可以凑成dp\[j\]。  
此时我们要选择最小的dp\[j\]，所以递推公式：dp\[j\] = min(dp\[j - i \* i\] + 1, dp\[j\]);  
3.dp数组如何初始化  
dp\[0\]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp\[0\]一定是0。  
有同学问题，那0 \* 0 也算是一种啊，为啥dp\[0\] 就是 0呢？  
看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …），题目描述中可没说要从0开始，dp\[0\]=0完全是为了递推公式。  
非0下标的dp\[j\]应该是多少呢？  
从递归公式dp\[j\] = min(dp\[j - i \* i\] + 1, dp\[j\]);中可以看出每次dp\[j\]都要选最小的，所以非0下标的dp\[i\]一定要初始为最大值，这样dp\[j\]在递推的时候才不会被初始值覆盖。  
4.确定遍历顺序  
我们知道这是完全背包，  
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。  
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。  
在动态规划：322. 零钱兑换中我们就深入探讨了这个问题，本题也是一样的，是求最小数！  
所以本题外层for遍历背包，里层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！  
我这里先给出外层遍历背包，里层遍历物品的代码：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 31]  
5.举例推导dp数组  
已输入n为5例，dp状态图如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 32]  
dp\[0\] = 0 dp\[1\] = min(dp\[0\] + 1) = 1 dp\[2\] = min(dp\[1\] + 1) = 2 dp\[3\] = min(dp\[2\] + 1) = 3 dp\[4\] = min(dp\[3\] + 1, dp\[0\] + 1) = 1 dp\[5\] = min(dp\[4\] + 1, dp\[1\] + 1) = 2  
最后的dp\[n\]为最终结果。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 33]  
![在这里插入图片描述][20210614211417725.png]  
⑥ 题号139.单词拆分  
给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。  
说明：  
拆分时可以重复使用字典中的单词。  
你可以假设字典中没有重复的单词。  
示例 1： 输入: s = “leetcode”, wordDict = \[“leet”, “code”\] 输出: true 解释: 返回 true 因为 “leetcode” 可以被拆分成 “leet code”。  
示例 2： 输入: s = “applepenapple”, wordDict = \[“apple”, “pen”\] 输出: true 解释: 返回 true 因为 “applepenapple” 可以被拆分成 “apple pen apple”。 注意你可以重复使用字典中的单词。  
示例 3： 输入: s = “catsandog”, wordDict = \[“cats”, “dog”, “sand”, “and”, “cat”\] 输出: false

解析：

单词就是物品，字符串s就是背包，单词能否组成字符串s，就是问物品能不能把背包装满。  
拆分时可以重复使用字典中的单词，说明就是一个完全背包！  
动规五部曲分析如下：  
1.确定dp数组以及下标的含义  
dp\[i\] : 字符串长度为i的话，dp\[i\]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。  
2.确定递推公式  
如果确定dp\[j\] 是true，且 \[j, i\] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp\[i\]一定是true。（j < i ）。  
所以递推公式是 if(\[j, i\] 这个区间的子串出现在字典里 && dp\[j\]是true) 那么 dp\[i\] = true。  
3.dp数组如何初始化  
从递归公式中可以看出，dp\[i\] 的状态依靠 dp\[j\]是否为true，那么dp\[0\]就是递归的根基，dp\[0\]一定要为true，否则递归下去后面都都是false了。  
那么dp\[0\]有没有意义呢？  
dp\[0\]表示如果字符串为空的话，说明出现在字典里。  
但题目中说了“给定一个非空字符串 s” 所以测试数据中不会出现i为0的情况，那么dp\[0\]初始为true完全就是为了推导公式。  
下标非0的dp\[i\]初始化为false，只要没有被覆盖说明都是不可拆分为一个或多个在字典中出现的单词。  
4.确定遍历顺序  
最终我选择的遍历顺序为：遍历背包放在外循环，将遍历物品放在内循环。内循环从前到后。  
5.举例推导dp\[i\]  
以输入: s = “leetcode”, wordDict = \[“leet”, “code”\]为例，dp状态如图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 34]  
dp\[s.size()\]就是最终结果。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 35]  
![在这里插入图片描述][20210614213938992.png]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221005/32a546db434c46c5bcbd342b5bbd1507.png
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[2021061415164224.png]: /images/20221005/c3e4db0c3519483ca1694b48ebec1ac1.png
[2021061415293235.png]: /images/20221005/f7368129f3174ea6985ab242af93f691.png
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