理解墨卡托投影原理

悠悠 2022-09-24 12:20 467阅读 0赞

http://blog.csdn.net/ryfdizuo/article/details/20793669

### 背景介绍 ###

墨卡托投影思想是GIS的基石，GPS设备采集的数据是标准的wgs84坐标，各家地图从数据提供商拿到的经纬度数据经过国测局gcj02加密的结果。**地球的纬度不可能取到+-90，范围在-85-85。**

地图数据处理、渲染都需要转化成平面的笛卡尔坐标系。而墨卡托投影则定义了如何从球面坐标系投影到二维的平面。二维的单位是米，也可以是像素。

### 投影原理 ###

魔卡托投影思路：用一个平面包围成圆柱体，正好与地球相接，地球近似成正球体处理。从球内打射线，跟球面和圆柱面都有唯一的交点。如下图，从球内放置灯光，光线向外，跟球面交点为P，与外接圆柱面的交点为P1，P的经纬度分别为λ，φ。

![Center][]

按照一般四维，投影后的P1和P的经纬度关系是：

![Center 1][]

投影后的x值正好是弧长（最终投影后的正方形是由圆柱展开得到的，x轴正好是圆柱的圆周面上，所以投影后点的x值正好是弧长）。但是y值正比于tan值，**当纬度****φ趋向于两极，无限接近正负90°时，tan增长速度非常快，tan函数导数变化很大。最终结果是两极附近的距离被无限放大**。

### 反畸变处理 ###

魔卡托投影最最精妙地地方是y值的处理：**用一个奇妙的函数替换了常规的tan函数**。

替换后结果为

![Center 2][]

F(Φ) = ln\[ tan(π/4 +Φ/2 ) \]  与T(Φ) =  tan(Φ)的函数曲线如下：

![Center 3][]

绿色为T函数，蓝色为F函数，对比发现，当原点附近F函数与y=x函数曲线非常接近，当Φ无限趋近正负π/2时候，tan函数已经趋于无穷，而F函数值仍然处于设定值范围内。F函数趋向无穷的条件值被推迟。

**Φ的取值范围为-π****/2，π/2，即\[-1.57,1.57\]，地球经纬度近似-85,85，所以最终Φ的取值为-1.5,1.5，即上图中黑色粗线指向的区间。此时F函数值正好位于-π，π。**

通过F函数，处理后的纬度值跟经度值范围一致。

从上图可以看出F(Φ) = ln( tan(π/4 + Φ/2) ) 也是关于原点对称的，F(Φ) = -F(-Φ)。通过三角函数可以证明。

### 参考资料 ###

百度百科：[http://baike.baidu.com/view/301981.htm][http_baike.baidu.com_view_301981.htm]

WIKI：[http://en.wikipedia.org/wiki/Scale\_(map)][http_en.wikipedia.org_wiki_Scale_map]

[Center]: /images/20220719/3bd442117b914e45be3db9e571e71cf0.png
[Center 1]: /images/20220719/26d3ff1fe1774260a08ca3427d8d9e94.png
[Center 2]: /images/20220719/292ae0fe2aaa4827b95951c4b9b34bbb.png
[Center 3]: /images/20220719/a30de053041149fab459da8cc609babd.png
[http_baike.baidu.com_view_301981.htm]: http://baike.baidu.com/view/301981.htm
[http_en.wikipedia.org_wiki_Scale_map]: http://en.wikipedia.org/wiki/Scale_%28map%29