算法：字符串消除问题的数学证明

╰半橙微兮° 2022-09-18 02:00 501阅读 0赞

问题：

给定一个字符串，仅由A、B、C3个字母组成。当出现连续两个不同的字母时，你可以用另外一个字母替换它，如有AB或BA连续出现，你把它们替换为字母C；有AC或CA连续出现时，你可以把它们替换为字母B；有BC或CB连续出现时，你可以把它们替换为字母A。可以不断反复按照这个规则进行替换，目标是使得最终结果所得到的字符串尽可能短，求最终结果的最短长度。

输入：字符串。长度不超过200，仅由ABC3个字母组成。 输出：按照上述规则不断消除替换，所得到的字符串最短的长度。

例如：

输入CAB，输出2。因为我们可以把它变为BB或者变为CC。

输入BCAB，输出1。我们可以把它变为AAB到AC到B，也可以把它变为BBB，但因为前者长度更短，所以输出1。

先给出几个概念

纯字符串：只含有一种字母的字符串称为纯字符串，例如AAA就是一个纯字符串

混字符串：含有至少两种字母的字符串称为混字符串，例如ABC就是一个混字符串

最优长度：字符串通过消除的最终结果的最短长度，称为该字符串的最优长度。上面的示例中，CAB的最优长度为2，BCAB的最优长度为1

最优串：字符串通过消除达到最优长度时的字符串称为最优串，最优串可能不止一个。如CAB的最优串为BB和CC，而BCAB的最优串为B。最优串一定是纯字符串

统计向量：用（X，Y，Z）表示字符串的统计向量，其中X、Y、Z分别表示字符串中字母A、B、C的个数。上面的示例中，CAB的统计向量为（1，1，1），BCAB的统计向量为（1，2，1）

统计特征向量：用（X，Y，Z）表示字符串的统计特征向量，其中X、Y、Z分别表示字符串中字母A、B、C的个数的奇偶性，用“奇”、“偶”表示。CAB的统计特征向量为（奇，奇，奇），BCAB的统计特征向量为（奇，偶，奇）

再给出几个推论

推论1：纯字符串的最优长度就是纯字符串的长度。

很明显的，只有一个字母，没法消除，所以最优长度就是纯字符串的长度

推论2：在纯字符串前或后加另一个字母得到新的混字符串，则新混字符串的最优长度为1

例如：BBBBBBBA。则消除的过程是，BBBBBBBA >> BBBBBBC >> BBBBBA >> BBBBC >> BBBA >> BBC >> BA >> C

其他的类似，不再赘述

推论3：若纯字符串的长度为偶数，则在前或后添加另一个字母得到新的混字符串，则新混字符串的最优串为添加的字母；若纯字符串的长度为奇数，则新混字符串的最优串为剩下的一个字母

假设纯字符串为BB，添加字母A，则新混字符串为BBA，BBA >> BC >> A

假设纯字符串为BBBB，添加字母A，则新混字符串为BBBBA，BBBBA >> BBA >> A

以此类推，推论3的前半部得证

假设纯字符串为B，添加字母A，则新混字符串为BA，BA >> C

假设纯字符串为BBB，添加字母A，则新混字符串为BBBA，BBBA >> BA >> C

以此类推，推论3的后半部得证

推论4：混字符串的最优长度不超过2（为1或2）

证明：

首先混字符串通过不停的消除，最终能得到一个纯字符串（因为若还有不同的字母，则必相邻，则还能继续消除）。

若该纯字符串的长度为1或2，则证明了该推论（不过，就算纯字符串长度为2，还没证明最优长度一定是2，可以肯定的是最优长度不超过2，即1或2都有可能）

若该纯字符串的长度大于2，不失一般性，假设该纯字符串的长度为K（K＞2），该纯字符串都由字母B组成（字母A、C是一样的），该纯字符串是通过N（N≥1）步消除得到的

那么回退一步，第N-1步消除得到的混字符串为B……BACB……B，其中A前面有K1个B，C后面有K2个B，K1\+K2=K-1。（也有可能是B……BCAB……B，和B……BACB……B是一致的，不再赘述了）

那么，根据K1和K2的取值不同，可以优化出不同的消除

K1是奇数，K2是奇数。利用推论3，可知B……BA >> C；CB……B >> A；B……BACB……B >> CA >> B，最优串是B，最优长度为1

K1是奇数，K2是偶数。利用推论3，可知B……BA >> C；CB……B >> C；B……BACB……B >> CC，则最优长度不超过2（因为还没法证明最优长度不会是1）

K1是偶数，K2是奇数。利用推论3，可知B……BA >> A；CB……B >> A；B……BACB……B >> AA，则最优长度不超过2（因为还没法证明最优长度不会是1）

K1是偶数，K2是偶数。利用推论3，可知B……BA >> A；CB……B >> C；B……BACB……B >> AC >> B，最优串是B，最优长度为1

综上所述，混字符串的最优长度不超过2

推论5：统计特征向量为（奇，奇，奇）或（偶，偶，偶）的混字符串的最优长度为2；其余的混字符串的最优长度为1

证明：

考察一下，每次消除，统计特征向量的变化过程

假设字符串的统计特征向量为（奇，奇，奇）

假设消除是AC（或CA） >> B，则A和C的个数减1，而B的个数增加1，则统计特征向量变为（偶，偶，偶）

假设消除是AB（或BA） >> C，则A和B的个数减1，而C的个数增加1，则统计特征向量变为（偶，偶，偶）

假设消除是BC（或CB） >> A，则B和C的个数减1，而A的个数增加1，则统计特征向量变为（偶，偶，偶）

综上所述，统计特征向量为（奇，奇，奇）的混字符串，经过1次消除后，统计特征向量变为（偶，偶，偶）

同理可证，统计特征向量为（偶，偶，偶）的混字符串，经过1次消除后，统计特征向量变为（奇，奇，奇）

由此可知，反复消除后，统计特征向量为（奇，奇，奇）的混字符串的最优串的统计特征向量是（偶，偶，偶）。（因为最优串是纯字符串，只能有1种字符，所以最优串不可能是（奇，奇，奇））

同理可证，统计特征向量为（偶，偶，偶）的混字符串的最优串的统计特征向量也是（偶，偶，偶）。

因此，统计特征向量为（奇，奇，奇）或（偶，偶，偶）的混字符串的最优串的统计特征向量为（偶，偶，偶）

假设字符串的统计特征向量为（奇，偶，偶）

假设消除是AC（或CA） >> B，则A和C的个数减1，而B的个数增加1，则统计特征向量变为（偶，奇，奇）

假设消除是AB（或BA） >> C，则A和B的个数减1，而C的个数增加1，则统计特征向量变为（偶，奇，奇）

假设消除是BC（或CB） >> A，则B和C的个数减1，而A的个数增加1，则统计特征向量变为（偶，奇，奇）

综上所述，统计特征向量为（奇，偶，偶）的混字符串，经过1次消除后，统计特征向量变为（偶，奇，奇）

同理可证，统计特征向量为（偶，奇，奇）的混字符串，经过1次消除后，统计特征向量变为（奇，偶，偶）

由此可知，反复消除后，统计特征向量为（奇，偶，偶）的混字符串的最优串的统计特征向量是（奇，偶，偶）。（因为最优串是纯字符串，只能有1种字符，所以最优串不可能是（偶，奇，奇））

同理可证，统计特征向量为（偶，奇，奇）的混字符串的最优串的统计特征向量也是（奇，偶，偶）。

因此，统计特征向量为（奇，偶，偶）或（偶，奇，奇）的混字符串的最优串的统计特征向量为（奇，偶，偶）

同理可证

统计特征向量为（偶，奇，偶）或（奇，偶，奇）的混字符串的最优串的统计特征向量为（偶，奇，偶）

统计特征向量为（偶，偶，奇）或（奇，奇，偶）的混字符串的最优串的统计特征向量为（偶，偶，奇）

由推论4可知，混字符串的最优长度不超过2

如果，混字符串的最优长度为1，则最优串是A，统计特征向量是（奇，偶，偶）；是B，统计特征向量是（偶，奇，偶）；是C，统计特征向量是（偶，偶，奇）

如果，混字符串的最优长度为2，则最优串是AA或BB或CC，统计特征向量是（偶，偶，偶）

所以，统计特征向量为（奇，奇，奇）或（偶，偶，偶）的混字符串的最优长度是2。

统计特征向量为（奇，偶，偶）或（偶，奇，奇）的混字符串的最优长度为1，最优串是A

统计特征向量为（偶，奇，偶）或（奇，偶，奇）的混字符串的最优长度为1，最优串是B

统计特征向量为（偶，偶，奇）或（奇，奇，偶）的混字符串的最优长度为1，最优串是C

证明完毕

结论：

1、纯字符串的最优串就是自身，最优长度就是自身的长度

2、统计特征向量为（奇，奇，奇）或（偶，偶，偶）的混字符串的最优长度为2

3、其余的混字符串的最优长度是1，其中统计特征向量为（奇，偶，偶）或（偶，奇，奇）的混字符串的最优串是A；统计特征向量为（偶，奇，偶）或（奇，偶，奇）的混字符串的最优串是B；统计特征向量为（偶，偶，奇）或（奇，奇，偶）的混字符串的最优串是C

作者： [万仓一黍][Link 1]

出处： [http://grenet.cnblogs.com/][Link 1]

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