高等数学：勾股定理证明方法

墨蓝 2023-10-14 19:36 74阅读 0赞

最著名的平面几何定理可能非勾股定理莫属。有意思的是，我们是从 3 3 3开始认识勾股定理的，勾三股四弦五，  3 2 + 4 2 = 5 2 3^\{2\}+4^\{2\}=5^\{2\} 32\+42=52 。三是什么？三在中国文化里具有特殊重要性，“道生一，一生二，二生三，三生万物。”（《道德经·四十三章》）在数学里，勾股定理确实有“三生万物”的地位。

#### 文章目录 ####

*  证法一（《几何原本》第一卷命题47）
 *  证法二（《几何原本》第六卷命题8）

定理 设 Δ A B C ΔABC ΔABC三边长为  a , b , c a,b,c a,b,c ，如果 ∠ C ＝ 90 ° ∠C＝90° ∠C＝90°，则  
 a 2 + b 2 = c 2 a^\{2\}+b^\{2\}=c^\{2\} a2\+b2=c2  
反之也成立。

讫今为至，关于勾股定理（上述定理的充分性部分）的证明有 400 400 400多种，下面的证明来自欧几里得的《几何原本》。

## 证法一（《几何原本》第一卷命题47） ##

设 R E Δ A B C REΔABC REΔABC，其中 ∠ C ＝ 90 ° ∠C＝90° ∠C＝90°，过三边分别向外作正方形 A B F E ABFE ABFE，正方形 B D H G BDHG BDHG，正方形 C A J I CAJI CAJI，连接 C E ， C F ， B J ， A G CE，CF，BJ，AG CE，CF，BJ，AG，过点 C C C作 C K ⊥ A B CK⊥AB CK⊥AB交 A B AB AB于 L L L，交 E F EF EF于 K K K。

因为 A C ＝ A J AC＝AJ AC＝AJ， ∠ E A C ＝ ∠ B A J ∠EAC＝∠BAJ ∠EAC＝∠BAJ， A E ＝ A B AE＝AB AE＝AB，所以 Δ E A C ≌ Δ B A J ΔEAC≌ΔBAJ ΔEAC≌ΔBAJ；

类似地，可得 Δ F C B ≌ Δ A G B ΔFCB≌ΔAGB ΔFCB≌ΔAGB；

所以  S A E K L = A E ⋅ E K = 2 ⋅ 1 2 ⋅ A E ⋅ E K = 2 S A E C S\_\{AEKL\}=AE\\cdot EK=2\\cdot\\frac\{1\}\{2\}\\cdot AE\\cdot EK=2S\_\{AEC\} SAEKL=AE⋅EK=2⋅21⋅AE⋅EK=2SAEC ，

同理 S B F K L = 2 S B F C S\_\{BFKL\}=2S\_\{BFC\} SBFKL=2SBFC， S B C H G = 2 S B A G S\_\{BCHG\}=2S\_\{BAG\} SBCHG=2SBAG，

所以  
 S A E F B = S A E K L + S B F K L = 2 S A E C + 2 S B F C = 2 S A B J + 2 S A B G = S A C I J + S B C H G S\_\{AEFB\}=S\_\{AEKL\}+S\_\{BFKL\} =2S\_\{AEC\}+2S\_\{BFC\} =2S\_\{ABJ\}+2S\_\{ABG\} =S\_\{ACIJ\}+S\_\{BCHG\} SAEFB=SAEKL\+SBFKL=2SAEC\+2SBFC=2SABJ\+2SABG=SACIJ\+SBCHG  
即  a 2 + b 2 = c 2 a^\{2\}+b^\{2\}=c^\{2\} a2\+b2=c2.

## 证法二（《几何原本》第六卷命题8） ##

如图4，设 R E Δ A B C REΔABC REΔABC，其中 ∠ C ＝ 90 ° ∠C＝90° ∠C＝90°，过 C C C作 C D ⊥ A B CD⊥AB CD⊥AB于 D D D。

因为 ∠ A C B ＝ ∠ A D C ＝ 90 ° ∠ACB＝∠ADC＝90° ∠ACB＝∠ADC＝90°， ∠ A ＝ ∠ A ∠A＝∠A ∠A＝∠A，所以 Δ A B C ∽ Δ A C D ΔABC∽ΔACD ΔABC∽ΔACD，所以 b c 1 = c b = a h \\frac\{b\}\{c\_\{1\}\}=\\frac\{c\}\{b\}=\\frac\{a\}\{h\} c1b=bc=ha，得 b 2 = c ⋅ 1 b^\{2\}=c\\cdot\_\{1\} b2=c⋅1 ；

类似地，有 Δ A B C ∽ Δ C B D ΔABC∽ΔCBD ΔABC∽ΔCBD，所以  a c 2 = c a = b h \\frac\{a\}\{c\_\{2\}\}=\\frac\{c\}\{a\}=\\frac\{b\}\{h\} c2a=ac=hb ，得  a 2 = c ⋅ c 2 a^\{2\}=c\\cdot c\_\{2\} a2=c⋅c2 ；

两式相加，得  
 a 2 + b 2 = c c 1 + c c 2 = c ( c 1 + c 2 ) = c 2 a^\{2\}+b^\{2\}=cc\_\{1\}+cc\_\{2\}=c(c\_\{1\}+c\_\{2\})=c^\{2\} a2\+b2=cc1\+cc2=c(c1\+c2)=c2  
下面是必要性的证明：

如图5，已知在 Δ A B C ΔABC ΔABC中，  a 2 + b 2 = c 2 a^\{2\}+b^\{2\}=c^\{2\} a2\+b2=c2 ，则 ∠ C ＝ 90 ° ∠C＝90° ∠C＝90°.

过 C C C作 C D ⊥ A B CD⊥AB CD⊥AB于 D D D，在 R T Δ C B D RTΔCBD RTΔCBD和 R T Δ A C D RTΔACD RTΔACD中分别应用勾股定理，得  
 h 2 + c 2 2 = a 2 h^\{2\}+c\_\{2\}^\{2\}=a^\{2\} h2\+c22=a2  
 h 2 + c 1 2 = b 2 h^\{2\}+c\_\{1\}^\{2\}=b^\{2\} h2\+c12=b2  
两式相加，得  
 2 h 2 + c 1 2 + c 2 2 = a 2 + b 2 2h^\{2\}+c\_\{1\}^\{2\}+c\_\{2\}^\{2\}=a^\{2\}+b^\{2\} 2h2\+c12\+c22=a2\+b2  
而  a 2 + b 2 = c 2 a^\{2\}+b^\{2\}=c^\{2\} a2\+b2=c2，所以  
 2 h 2 + c 1 2 + c 2 2 = a 2 + b 2 = ( c 1 + c 2 ) 2 2h^\{2\}+c\_\{1\}^\{2\}+c\_\{2\}^\{2\}=a^\{2\}+b^\{2\}=(c\_\{1\}+c\_\{2\})^\{2\} 2h2\+c12\+c22=a2\+b2=(c1\+c2)2  
得  h 2 = c 1 c 2 h^\{2\}=c\_\{1\}c\_\{2\} h2=c1c2 ，即  h c 1 = c 2 h \\frac\{h\}\{c\_\{1\}\}=\\frac\{c\_\{2\}\}\{h\} c1h=hc2，而 ∠ A C D ＝ ∠ C D B ＝ 90 ° ∠ACD＝∠CDB＝90° ∠ACD＝∠CDB＝90°，所以 R T Δ C B D ∽ R T Δ A C D RTΔCBD∽RTΔACD RTΔCBD∽RTΔACD，所以 ∠ A ＝ ∠ B C D ∠A＝∠BCD ∠A＝∠BCD， ∠ B ＝ ∠ A C D ∠B＝∠ACD ∠B＝∠ACD，所以  
 ∠ A C B ＝ ∠ A C D + ∠ B C D ＝ ∠ B + ∠ B C D ＝ ∠ B D C ＝ 90 ° . ∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠B+∠BCD＝∠BDC＝90°. ∠ACB＝∠ACD\+∠BCD＝∠B\+∠BCD＝∠BDC＝90°.  
在中学数学里，随时都可能遇到勾股定理。举一例。