概率论：假设检验、显著性检验

快来打我* 2022-09-16 01:27 333阅读 0赞

### 一、什么是假设检验？——以双边检验为例 ###

用大白话来讲，假设检验就是检验（判断）某个假设是否正确，并且说出这个判断出错的概率，（判断出错包括了这个假设原本是对的，你判断它是错的；或者这个假设是错的，你判断它是对的）。

这里我引用书本上的一个例子作为说明。

例1 某车间用一台包装机包装葡萄糖.袋装糖的净重是一个随机变量,它服从正态分布.当机器正常时,其均值为0.5kg,标准差为0.015kg.某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得净重(kg)

0.497 0.506 0,518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512

问机器是否正常?

以 μ \\mu μ, σ \\sigma σ分别表示这一天袋装糖的净重总体X的均值和标准差.由于长期实践表明标准差比较稳定,我们就设 σ \\sigma σ=0.015.于是 X N ( μ , 0.01 5 2 ) X~N(\\mu,0.015^2) XN(μ,0.0152),这里a未知,问题是根据样本值来判断 μ \\mu μ=0.5还是 μ \\mu μ≠0.5.为此,我们提出两个相互对立的假设  
 H 0 : μ = μ 0 = 0.5 H 1 : μ ≠ μ 0 \\begin\{aligned\} &H\_\{0\}: \\mu=\\mu\_\{0\}=0.5 \\\\ &H\_\{1\}: \\mu \\neq \\mu\_\{0\} \\end\{aligned\} H0:μ=μ0=0.5H1:μ=μ0

既然假设是说总体均值等于某个值（0.5），一个很自然的想法就是抽一组样本，看样本均值和假设的总体均值相差多少。如果 ∣ x ˉ − μ 0 ∣ |\\bar\{x\}-\\mu \_0| ∣xˉ−μ0∣相差很多，我们就考虑拒绝这个假设。

现在就面临了两个问题，一个是当两者相差多少时我们拒绝这个假设 H 0 H\_0 H0, 当拒绝这个假设时我们所作的判断错误概率是多少（也就是假设为真我们反而拒绝了的概率是多少？，因为在检验时要给出出错的概率，别人才会相信你的检验结果）

之前我们介绍了[中心极限定理][Link 1]

> 中心极限定理是说：  
> 样本的平均值约等于总体的平均值。  
> 不管总体是什么分布，任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的整体平均值周围，并且呈正态分布。

这里我们可以用上，考虑到 H 0 H\_0 H0为真时，由中心极限定理得， X ‾ − μ σ / n = X ‾ − μ 0 σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\overline\{X\}-\\mu\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\}=\\frac\{\\overline\{X\}-\\mu\_\{0\}\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\} \\sim N(0,1) σ/nX−μ=σ/nX−μ0∼N(0,1)。可以看到这条式子给出了与 ∣ x ˉ − μ 0 ∣ |\\bar\{x\}-\\mu \_0| ∣xˉ−μ0∣有关的一个概率分布，因此我们可以知道当 ∣ x ˉ − μ 0 ∣ |\\bar\{x\}-\\mu \_0| ∣xˉ−μ0∣相差为某个数时所作判断出错的概率——我们不妨设 X ‾ − μ σ / n ≥ k \\frac\{\\overline\{X\}-\\mu\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\} \\geq k σ/nX−μ≥k时拒绝假设 H 0 H\_0 H0，也就是 ∣ X ‾ − μ ∣ ≥ k σ / n |\\overline\{X\}-\\mu|\\geq k\\sigma/ \\sqrt\{n\} ∣X−μ∣≥kσ/n拒绝假设 H 0 H\_0 H0, 否则就接受 H 0 H\_0 H0。

那么此时实际上 H 0 H\_0 H0为真却被拒绝的决策的概率为：

P \{ 当 H 0 为 真 拒 绝 H 0 \} = P μ 0 \{ ∣ X ‾ − μ 0 σ / n ∣ ⩾ k \} ≤ α P\\\{当H\_0为真拒绝H\_0\\\}=P\_\{\\mu\_\{0\}\}\\left\\\{\\left|\\frac\{\\overline\{X\}-\\mu\_\{0\}\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\}\\right| \\geqslant k\\right\\\} \\leq \\alpha P\{ 当H0为真拒绝H0\}=Pμ0\{ ∣∣∣∣σ/nX−μ0∣∣∣∣⩾k\}≤α  
（同样可以固定出错的概率求相差的数，因为它的概率分布已知），这就能够回答我们上述提出的两个问题了。  
并且我们希望这个误判的概率不大于 α \\alpha α，此时我们就可以确定我们应该设定的k为多大（如下所示）。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBASmFja3NvbktpbQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]  
一般来说，我们希望我们对假设做出的判断发生错误的概率越小越好，一般取为0.01，0.05。.数 α \\alpha α称为显著性水平,上面 x ˉ 与 μ 0 \\bar\{x\}与\\mu \_0 xˉ与μ0有无显著差的判断是在显著性水平 α \\alpha α之下作出的。

统计量 Z = X ˉ − μ 0 σ / n Z=\\frac\{\\bar\{X\}-\\mu\_\{0\}\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\} Z=σ/nXˉ−μ0称为检验统计量。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBASmFja3NvbktpbQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]

### 二、什么是显著性检验？ ###

由于检验法则是根据样本作出的,总有可能作出错误的决策.如上面所说的那样,在假设 H 0 H\_0 H0实际上为真时,我们可能犯拒绝 H 0 H\_0 H0的错误,称这类“弃真”的错误为第Ⅰ类错误.又当 H 0 H\_0 H0实际上不真时,我们也有可能接受 H 0 H\_0 H0, 称这类“取伪”的错误为第Ⅱ类错误.

为此,在确定检验法则时,我们应尽可能使犯两类错误的概率都较小.但是,进一步讨论可知,一般来说,当样本容量固定时,若减少犯一类错误的概率,则犯另一类错误的概率往往增大.若要使犯两类错误的概率都减小,除非增加样本容量.在给定样本容量的情况下,一般来说,我们总是控制犯第I类错误的概率,使它不大于 α \\alpha α.  α \\alpha α的大小视具体情况而定,通常 α \\alpha α取0.1,0.05,0.01,0.005等值.这种只对犯第I类错误的概率加以控制,而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验,称为**显著性检验**。

### 三、单边检验 ###

设总体 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \\sim N\\left(\\mu, \\sigma^\{2\}\\right) X∼N(μ,σ2),  μ \\mu μ未知， σ \\sigma σ已知， X 1 , X 2 , . . . , X n X\_1,X\_2,...,X\_n X1,X2,...,Xn是来自X的样本，给定显著性水平 α \\alpha α，我们来求检验问题：  
 H 0 : μ ≤ μ 0 , H 1 : μ ≥ μ 0 H\_0:\\mu \\leq \\mu \_0,H\_1: \\mu \\geq \\mu \_0 H0:μ≤μ0,H1:μ≥μ0  
的拒绝域。

从严格的标准来讲，如果我们取样的样本均值大于 μ 0 \\mu \_0 μ0，我们就会拒绝 H 0 H\_0 H0，但是这是不符合实际情况的，因为样本均值是围绕总体均值波动的，如果一次采样恰好采集到样本值都是比较大的，我们就拒绝这个假设，这是不合适的。

因此，就像前面的双边检验一样，我们允许样本均值 X ‾ \\overline X X有在 μ \\mu μ周围一定的波动。这里单边检验和双边检验所不同的是，双边检验的 X ‾ \\overline X X在概率密度曲线的两边都不能波动得太多，因为双边检验的假设是一个点。相反，单边检测可以在 μ \\mu μ左边任意地波动，而在右边不能波动地太多，因为单边检验地假设是小于等于号（如下图所示）。

通过下面的图可以更直观的看到 μ \\mu μ所允许的波动范围（白色区域）以及拒绝域（黑色区域），其中左侧为双边检验，右侧为单边检验。如果 X ‾ \\overline X X没有经过标准化，那么它服从 N ( μ , σ ) N(\\mu,\\sigma) N(μ,σ);如果经过标准化后变成 X ˉ − μ σ / n \\frac\{\\bar\{X\}-\\mu\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\} σ/nXˉ−μ，它服从 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)  
![在这里插入图片描述][0af48d57913146b6a6a6396302d95506.png]![在这里插入图片描述][abceaf6c01374705b2915187a7cb58cc.png]  
从图中可以很清楚地看到，对于单边检测来说，如果我们希望发生误判的错误率不高于 α \\alpha α, 那么我们应该在统计检验量z满足：  
 z = X ‾ − μ σ / n ≥ z α z = \\frac\{\\overline\{X\}-\\mu\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\} \\geq z\_\{\\alpha\} z=σ/nX−μ≥zα

时拒绝假设 H 0 H\_0 H0.

但是这里有一个问题，我们并不知道 μ \\mu μ的具体值，但是在假设 H 0 H\_0 H0成立的情况下，我们有以下推导  
 X ˉ − μ σ / n ≥ X ˉ − μ 0 σ / n \\frac\{\\bar\{X\}-\\mu\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\} \\geq \\frac\{\\bar\{X\}-\\mu \_0\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\} σ/nXˉ−μ≥σ/nXˉ−μ0  
此时如果 X ˉ − μ 0 σ / n ≥ z α \\frac\{\\bar\{X\}-\\mu \_0\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\} \\geq z\_\{\\alpha\} σ/nXˉ−μ0≥zα,则必有 X ˉ − μ σ / n ≥ z α \\frac\{\\bar\{X\}-\\mu\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\}\\geq z\_\{\\alpha\} σ/nXˉ−μ≥zα。因此如果在假设 H 0 H\_0 H0成立的情况下，我们仍抽样发现不太支持 H 0 H\_0 H0的 X ‾ \\overline\{X\} X出现，我们拒绝 H 0 H\_0 H0的理由更充分了（有点类似反证法思维）。当然这里不是完全充分，我们仍有 α \\alpha α的概率误判。

**至此，我们可以总结道：在误判率不超过 α \\alpha α的情况下，单边检测的拒绝域应该为 \{ X ‾ : X ‾ − μ 0 σ / n ≥ z α \} \\\{\\overline X : \\frac\{\\overline\{X\}-\\mu \_\{0\}\}\{\\sigma / \\sqrt\{n\}\}\\geq z\_\{\\alpha\}\\\} \{ X:σ/nX−μ0≥zα\}**

笔者认为这样的讲解思路更容易懂（在不需要应试的情况下完全可以这样理解），但在需要应试的情况下，可以参考下下面的东西：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBASmFja3NvbktpbQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 2]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBASmFja3NvbktpbQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 3]

### 四、正态总体均值的假设检验 ###

#### 1. Z检验 ####

上面所讨论的正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\\mu, \\sigma ^2) N(μ,σ2)当标准差 σ \\sigma σ已知的情况，使用统计量 Z = X ‾ − μ 0 σ / n Z=\\frac\{\\overline X - \\mu \_0\}\{\\sigma/\\sqrt\{n\}\} Z=σ/nX−μ0来确定拒绝域的检验方法称为Z检验。

#### 2. t检验 ####

正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\\mu, \\sigma ^2) N(μ,σ2)当标准差 σ \\sigma σ**已知**时，使用样本标准差 s s s替代总体标准差 σ \\sigma σ并使用统计量 Z = X ‾ − μ 0 s / n Z=\\frac\{\\overline X - \\mu \_0\}\{s/\\sqrt\{n\}\} Z=s/nX−μ0来确定拒绝域的检验方法称为t检验。

[Link 1]: https://blog.csdn.net/qq_40765537/article/details/106740918
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