320 能量项链（环形区间dp）

╰半橙微兮° 2022-09-12 13:46 168阅读 0赞

**1. 问题描述：**

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链，在项链上有 N 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 m，尾标记为 r，后一颗能量珠的头标记为 r，尾标记为 n，则聚合后释放的能量为 m×r×n（Mars 单位），新产生的珠子的头标记为 m，尾标记为 n。需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。例如：设 N = 4，4 颗珠子的头标记与尾标记依次为 (2，3)(3，5)(5，10)(10，2)。我们用记号 ⊕ 表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k) 表示第 j，k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 4、1 两颗珠子聚合后释放的能量为：(4⊕1)=10×2×3=60。这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为 ((4⊕1)⊕2)⊕3)=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710。

**输入格式**

输入的第一行是一个正整数 N，表示项链上珠子的个数。第二行是 N 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 1000，第 i 个数为第 i 颗珠子的头标记，当 i<N 时，第 i 颗珠子的尾标记应该等于第 i+1 颗珠子的头标记，第 N 颗珠子的尾标记应该等于第 1 颗珠子的头标记。至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

**输出格式**

出只有一行，是一个正整数 E，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

**数据范围**

4 ≤ N ≤ 100,  
1 ≤ E ≤ 2.1 × 10 ^ 9

**输入样例：**

4  
2 3 5 10

**输出样例：**

710  
来源：[https://www.acwing.com/problem/content/322/][https_www.acwing.com_problem_content_322]

**2. 思路分析：**

分析题目可以知道每一次合并的时候都是合并相邻的珠子，而且珠子是环形的，我们需要求解出最终合并之后只剩下一颗珠子能够释放的最大能量，由这两个特点可以知道这道题目属于经典的**环形区间dp**问题（"相邻"，"环形"，"最值"），对于环形区间dp问题，首先我们需要考虑清楚线性的区间dp如何求解，弄清楚线性dp如何求解剩下来对于环形的问题其实很好解决，对于环形的问题我们可以使用复制一遍原数组接到原数组后面的方法即可将环形区间dp问题转换为线性的区间dp问题，所以关键是如何求解线性dp问题；区间dp也属于动态规划问题，对于动态规划的题目一般分为两个步骤进行处理：① 状态表示；② 状态计算；一般的区间dp声明一个二维数组即可，对于这道题目我们也可以声明一个二维数组，其中dp\[i\]\[j\]表示所有将区间\[i，j\]的珠子合并为一个珠子能够获得的最大能量；怎么样进行状态计算呢？状态计算对应集合的划分，一般是找最后一个不同点，类似于之前石子合并的题目我们可以根据当前区间划分为两个区间的分割点划分为若干个集合，每一个集合求解最大值既可以得到当前当前区间的最大值。由题目可知，两个珠子在合并的时候类似于矩阵的乘法；例如合并珠子(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)，为了方便处理我们可以将区间看成是5个数字对应上面的四个区间也即：2，3，5，10，2，这样就可以一一对应了，所以在做区间dp的时候其实求解的区间长度应该是n + 1了：

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAeXV6aGFuZ196eQ_size_15_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

**3. 代码如下：**

if __name__ == '__main__':
        # 环形区间dp问题
        n = int(input())
        a = [0] + list(map(int, input().split()))
        for i in range(1, n + 1):
            a.append(a[i])
        dp = [[0] * (2 * n + 1) for i in range(2 * n + 1)]
        # 注意区间长度最大为n + 1, 只有长度为3的时候才有意义, 长度为1和2的时候都为0
        for l in range(3, n + 2):
            i = 1
            while i + l - 1 <= 2 * n:
                j = i + l - 1
                # 因为我们将n + 1个数看成是n个数对对应的区间例如长度为3的时候表示两个石子所以我们可以从l + 1作为分割点进行枚举
                for k in range(i + 1, j):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + a[i] * a[k] * a[j])
                i += 1
        # 枚举所有长度为n + 1的区间, 例如之前4个珠子的时候可以看成5个数字所以实际上求解的是长度为n + 1的区间
        res = 0
        for i in range(1, n + 1):
            res = max(res, dp[i][i + n])
        print(res)

[https_www.acwing.com_problem_content_322]: https://www.acwing.com/problem/content/322/
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