【LeetCode每周算法】零钱兑换

清疚 2022-09-02 03:54 200阅读 0赞

题目来源：力扣（LeetCode）  
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

**示例 1：**

输入：coins = \[1, 2, 5\], amount = 11  
输出：3  
解释：11 = 5 + 5 + 1  
**示例 2：**

输入：coins = \[2\], amount = 3  
输出：-1  
**示例 3：**

输入：coins = \[1\], amount = 0  
输出：0  
**示例 4：**

输入：coins = \[1\], amount = 1  
输出：1  
**示例 5：**

输入：coins = \[1\], amount = 2  
输出：2

**提示：**

1 <= coins.length <= 12  
1 <= coins\[i\] <= 231 - 1  
0 <= amount <= 104

--------------------

**分析**

一些分析内容，借鉴自博客：https://juejin.cn/post/6985150114134229022

怎么感觉像是回到了小学应用题？

**1、暴力穷举逐个排除**

简单分析一下： 最小硬币组合 -> 尽量用大的硬币

这傻不拉几的题谁出的，这么简单

7+7+7=21,21+2+2+2=27， 6枚硬币

卧槽

7+5+5+5+5=27， 5枚硬币

我们可以很暴力的想一想，从大往小的算，可以加起来不超过27，比如

7+7+7+7 > 27 (排除）

7+7+7+5 或者 7 +7 +7+2+2+2 6枚

....

穷举太慢了，还会涉及到很多的重复计算，如果我想要27以内的任何值最小的硬币组合呢，想想都头大了吧。

既然计算机可以通过内存保存之前的内容，又快，很明显，我们开一个数组来保存之前的状态。

**2.动态规划分析**

虽然我们不知道最优策略是什么，但是最优策略肯定是K枚硬币，a1, a2, ....ak面值加起来是27

所以一定有一枚最后的硬币:ak. 除掉这么硬币，前面硬币的面值加起来是27-ak

关键点1：

*  我们不关心前面的k-1枚硬币是怎么拼出27-ak的（可能有一种拼法，也可能有100种拼法），而且我们现在甚至还不知道ak和K, 但是我们确定前面的硬币拼出了27-ak

关键点2：

*  因为是最优策略， 所以拼出27-ak的硬币数一定要最少，否则这就不是最优策略了

![img][]

子问题

*  所以我们就要求：最少用多少枚硬币可以拼出27-ak
 *  原问题是最少用多少枚硬币拼出27
 *  我们将原问题转化了一个子问题，而且规模更小：27-ak
 *  为了简化定义， 我们设状态f(x）=最少用多少枚硬币拼出x

等等，我们还不知道最后的那枚硬币ak是多少

1.  很明显，最后的那枚硬币只能是2,5或者7
2.  如果ak是2， f(27)应该是f(27-2)+1(1代表最后一枚硬币2）
3.  如果ak是5， f(27)应该是f(27-5)+1(1代表最后一枚硬币5）
4.  如果ak是7， f(27)应该是f(27-7)+1(1代表最后一枚硬币7）

所以使用最少的硬币数=f(27) = min\{f(27-2)+1, f(27-5)+1, f(27-7)+1\}

**2.1递归解法**

private static Map<Integer, Integer> cache = new HashMap<>();
    
        static {
            // 退出条件
            cache.put(2, 1);
            cache.put(3, -1);
            cache.put(4, 2);
            cache.put(5, 1);
            cache.put(6, 3);
            cache.put(7, 1);
        }
    
        // 2,5,7三种硬币
        public static int minCoin(int target) {
            if (target < 2) {
                return -1;
            }
    
            Integer integer = cache.get(target);
            if (integer != null) {
                return integer;
            }
    
    //        if (target == 2) {
    //            return 1;
    //        }
    //        if (target == 3) {
    //            return -1;
    //        }
    //        if (target == 4) {
    //            return 2;
    //        }
    //        if (target == 5) {
    //            return 1;
    //        }
    //        if (target == 6) {
    //            return 3;
    //        }
    //        if (target == 7) {
    //            return 1;
    //        }
            int[] result = {minCoin(target - 2) + 1,
                    minCoin(target - 5) + 1,
                    minCoin(target - 7) + 1};
            int min = min(result);
            cache.put(target, min);
            return min;
        }
    
        public static int min(int[] valArr) {
            if (valArr == null || valArr.length < 1) {
                return Integer.MIN_VALUE;
            }
            int val = Integer.MIN_VALUE;
            for (int i : valArr) {
                if (i > 0) {
                    val = val > 0 ? Math.min(val, i) : i;
                }
            }
            return val;
        }

**2.2动态规划**

转移方程：

*  设状态f(x)=最少用多少枚硬币拼出x
 *  对于任意的x : f(X) = min\{f(X-2)+1, f(X-5)+1, f(X-7)+1\}

初始条件和边界情况：

*  提出问题
    
     *  x-2, x-5, x-7 小于0怎么办？
     *  什么时候停下来？

如果不能拼出Y, 就定义f\[Y\] = 正无穷

例如f\[-1\], f\[-2\] = 正无穷

例如：拼不出f\[1\]=min\{f(-1)+1, f(-3)+1, f(-6)+1\}

初始条件：f\[0\] = 0

计算顺序

计算：f\[1\], f\[2\], ... f\[27\]

当我们计算到f\[x\], f\[x-2\], f\[x-5\], f\[x-7\] 都已经得到结果了。如图：

![img][img 1]

上图7只需要一个硬币。

f\[x\] = 最少用多少枚硬币拼出x

f\[x\] = ∞ 表示无法用硬币拼出x

public  static  int coinChange(int [] A, int M ) {
     int[] f = new int[M+1];
     int n = A.length;
     f[0] = 0;
     int i,j;
     for (i = 1; i<=M; i++) {
        f[i] = Integer.MAX_VALUE;
        for (j = 0; j< n;j++) {
            // 边界条件判断
            if (i >= A[j] && f[i - A[j]] != Integer.MAX_VALUE) {
                f[i] = Math.min(f[i - A[j]] + 1, f[i]);
              //  System.out.println(i + "=" +f[i]);
            }
        }
     }
     if (f[M] == Integer.MAX_VALUE) {
        f[M] = -1 ;
     }
     return  f[M];
    }

[img]: /images/20220829/672a880e963f4f35804369ba3873bbd7.png
[img 1]: /images/20220829/38fae47a27524a15a0d477a7a6452d14.png