利用“异或”处理数组的相关算法的几个例子

川长思鸟来 2022-08-26 08:43 153阅读 0赞

例1，寻找数组中丢失的数。。。

有一组数字，从1到n减少了一个数，顺序也被打乱了，放在一个n-1的数组里，请找出丢失的数字。

在上一篇“数组公式相关算法”里介绍过一些解法，不过，那样解的话，可能会有溢出的危险。我们可以利用位运算中的“异或” 来巧妙解决这个问题。

算法步骤：1，对1-n个数做异或运算，得到XOR = 1^2^3^4....^n。

2,   用XOR与当前n-1数组的所有元素依次取异或：

因为XOR中与当前数字相同的数，都在异或运算中抵消掉了，最终剩下的，就是我们要找的那个丢失的数。

所谓抵消：举个例子： 1，1，2

1： 0001

2:   0010                   1^1=0000               1^1^2 ===== 0000 ^ 0010 = 0010=2，也就是说两个1抵消了。

任何一个数字异或它自己都等于0，而0与任何数字求异或，都为原数字！

例2，找出数组中两个只出现一次的数字

题目：一个整型数组里除了两个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)

================== 以下全部引自原文 =======================

分析：这是一道很新颖的关于位运算的面试题。

首先我们考虑这个问题的一个简单版本：一个数组里除了一个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这个只出现一次的数字。

这个题目的突破口在哪里？题目为什么要强调有一个数字出现一次，其他的出现两次？我们想到了异或运算的性质：任何一个数字异或它自己都等于0。也就是说，如果我们从头到尾依次异或数组中的每一个数字，那么最终的结果刚好是那个只出现1次的数字，因为那些出现两次的数字全部在异或中抵消掉了。

有了上面简单问题的解决方案之后，我们回到原始的问题。如果能够把原数组分为两个子数组。在每个子数组中，包含一个只出现一次的数字，而其他数字都出现两次。如果能够这样拆分原数组，按照前面的办法就是分别求出这两个只出现一次的数字了。

我们还是从头到尾依次异或数组中的每一个数字，那么最终得到的结果就是两个只出现一次的数字的异或结果。因为其他数字都出现了两次，在异或中全部抵消掉了。由于这两个数字肯定不一样，那么这个异或结果肯定不为0，也就是说在这个结果数字的二进制表示中至少就有一位为1。我们在结果数字中找到第一个为1的位的位置，记为第N位。现在我们以第N位是不是1为标准把原数组中的数字分成两个子数组，第一个子数组中每个数字的第N位都为1，而第二个子数组的每个数字的第N位都为0。

现在我们已经把原数组分成了两个子数组，每个子数组都包含一个只出现一次的数字，而其他数字都出现了两次。因此到此为止，所有的问题我们都已经解决。

基于上述思路，我们不难写出如下代码：

///

// Find two numbers which only appear once in an array

// Input: data - an array contains two number appearing exactly once,

//               while others appearing exactly twice

//        length - the length of data

// Output: num1 - the first number appearing once in data

//         num2 - the second number appearing once in data

///

void FindNumsAppearOnce(int data\[\], int length, int &num1, int &num2)

if (length < 2)

return;

// get num1 ^ num2

int resultExclusiveOR = 0;

for (int i = 0; i < length; ++ i)

resultExclusiveOR ^= data\[i\];

// get index of the first bit, which is 1 in resultExclusiveOR

unsigned int indexOf1 = FindFirstBitIs1(resultExclusiveOR);

num1 = num2 = 0;

for (int j = 0; j < length; ++ j)

// divide the numbers in data into two groups,

// the indexOf1 bit of numbers in the first group is 1,

// while in the second group is 0

if(IsBit1(data\[j\], indexOf1))

num1 ^= data\[j\];

else

num2 ^= data\[j\];

///

// Find the index of first bit which is 1 in num (assuming not 0)

///

unsigned int FindFirstBitIs1(int num)

int indexBit = 0;

while (((num & 1) == 0) && (indexBit < 32))

num = num >> 1;

++ indexBit;

return indexBit;

///

// Is the indexBit bit of num 1?

///

bool IsBit1(int num, unsigned int indexBit)

num = num >> indexBit;

return (num & 1);

原文地址：[http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/2541117420071128950682/][http_zhedahht.blog.163.com_blog_static_2541117420071128950682]

例3，腾讯10.09测试笔试题：有Ｎ＋２个数，N个数出现了偶数次，２个数出现了奇数次（这两个数不相等），问用O（1）的空间复杂度，找出这两个数，不需要知道具体位置，只需要知道这两个值。

（@Rojay：xor一次，得到2个奇数次的数之和x。第二步，以x（展开成二进制）中有1的某位（假设第i位为1）作为划分，第二次只xor第i位为1的那些数，得到y。然后x xor y以及y便是那两个数。 ）

是不是对 “异或” 是啥有点疑惑或者记不清了？，那好，

异或，也就是XOR

1、异或是一个数学运算符。他应用于逻辑运算。 其运算法则为a异或b＝a'b+ab'（a'为非a）。   
　　2、例如：真异或假的结果是真，假异或真的结果也是真，真异或真的结果是假，假异或假的结果是假。就是说两个值不相同，则异或结果为真。反之，为假。    
　　异或运算法则：    
　　1. a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c;   
　　2. d = a ^ b ^ c 可以推出 a = d ^ b ^ c.   
　　3、在计算机应用中，普遍运用，异或的逻辑符号 ^ (Shift + 6).形象表示为：   
　　真^假=真    
　　假^真=真    
　　假^假=假   
　　真^真=假   
　　或者为：   
　　True ^ False = True   
　　False ^ True = True   
　　False ^ False = False   
　　True ^ True = False   
　　部分计算机语言用1表示真，用0表示假，所以两个字节按位异或如下   
　　00000000   
　　异或   
　　00000000    
　　=   
　　00000000   
　　============我是分界线============   
　　11111111   
　　异或   
　　00000000   
　　=   
　　11111111   
　　=============我还是分界线=============   
　　00000000   
　　异或   
　　11111111   
　　=   
　　11111111   
　　===========又是我。。。================   
　　11111111   
　　异或   
　　11111111   
　　=   
　　00000000   
　　=============分界线=====================   
　　00001111   
　　异或   
　　11111111   
　　=   
　　11110000   
　　========================================   
　　所以 按位异或 也常用于字节取反操作。   
　　---------------------------------------------------------------   
　　异或还可以用来交换两个整形变量的值,而不需要第三个量的传递.   
　　例如：   
　　a=9;   
　　b=10;   
　　a=a^b;   
　　b=b^a;   
　　a=a^b;   
　　结果是a为10,b为9.   
　　4、异或和同或互为非运算。

**异或是一种基于二进制的位运算，用符号XOR或者 ^ 表示，其运算法则是对运算符两侧数的每一个二进制位，同值取0，异值取1。它与布尔运算的区别在于，当运算符两侧均为1时，布尔运算的结果为1，异或运算的结果为0。**

**简单理解就是不进位加法，如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。**

**性质**

**1、交换律**

**2、结合律（即(a^b)^c == a^(b^c)）**

**3、对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x**

**4、自反性 A XOR B XOR B = A xor  0 = A**

**异或运算最常见于多项式除法，不过它最重要的性质还是自反性：A XOR B XOR B = A，即对给定的数A，用同样的运算因子（B）作两次异或运算后仍得到A本身。这是一个神奇的性质，利用这个性质，可以获得许多有趣的应用。 例如，所有的程序教科书都会向初学者指出，要交换两个变量的值，必须要引入一个中间变量。但如果使用异或，就可以节约一个变量的存储空间： 设有A,B两个变量，存储的值分别为a，b，则以下三行表达式将互换他们的值 表达式 （值） ：**

** A=A XOR B (a XOR b)**

** B=B XOR A (b XOR a XOR b = a) **

** A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)**

** 类似地，该运算还可以应用在加密，数据传输，校验等等许多领域。**

**运用距离：**

**1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现  
一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空  
间，能否设计一个算法实现？**

**解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+...+1000的和。  
这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。  
解法二、异或就没有这个问题，并且性能更好。  
将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。  
  
但是这个算法虽然很简单，但证明起来并不是一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。  
首先是异或运算满足交换律、结合律。  
所以，1^2^...^n^...^n^...^1000，无论这两个n出现在什么位置，都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。  
  
其次，对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x。  
所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有数的异或）。  
  
令，1^2^...^1000（序列中不包含n）的结果为T  
则1^2^...^1000（序列中包含n）的结果就是T^n。  
T^(T^n)=n。  
所以，将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。  
  
当然有人会说，1+2+...+1000的结果有高斯定律可以快速计算，但实际上1^2^...^1000的结果也是有规律的，算法比高斯定律还该简单的多。**

[http_zhedahht.blog.163.com_blog_static_2541117420071128950682]: http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/2541117420071128950682/