工程优化作业——成功失败法和黄金分割法

矫情吗；* 2022-08-18 13:16 146阅读 0赞

# 工程优化作业——成功失败法和黄金分割法 #

西电工程优化作业编程题，写篇博客是为了熟悉MarkDown公式编写的方式。

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*  工程优化作业成功失败法和黄金分割法
    
     *  搜索方法概述
     *  成功失败法
        
         *  问题
         *  成功失败法的步骤
     *  618法黄金分割法
        
         *  缩短搜索区间的原则
     *  代码实现上述两种方法

## 搜索方法概述 ##

求多元函数的极值点常采用迭代法，基本思想是先选择f(x)的极小点的一个初始点x0，逐次产生一系列的点x0,x1,⋯,xk,⋯使得：

f(x0)>f(x1)>⋯>f(xk)>⋯  
并希望点列  \{ xk\} 的极限就是  f(x) 的极小值点  x∗  
根据不同的原则选择不同的  pk (  pk 称为搜索方向)，就得到不同的算法，这种求  α 使得  f(xk\+α∙pk) 为极小的过程，叫做 **`一维搜索`**或 **`一维最优化`**。

## 成功失败法 ##

### 问题 ###

设问题为：

mina≤x≤b\{ f(x)\}  
并令：

F(x)=\{ f(x),\+∞,当a≤x≤b其他

显然：

mina≤x≤b\{ f(x)\}=minx∈R1\{ F(x)\}

### 成功失败法的步骤 ###

**`前进运算`**  
先计算f(a),f(a\+h)若f(a)>f(a\+h)，则步长加倍，计算f(a\+3h)，若f(a\+h)≤f(a\+3h)，则c=a,d=a\+3h，否则，步长再加倍并重复上述运算。  
**`后退运算`**  
若f(a)>f(a\+h)，则将步长缩减为原来的14，并改变符号，即将步长改为−h4，若f(a)<f(a−h4)则c=a−h4,d=a\+h，否则将步长加倍，并继续后退。

## 0.618法（黄金分割法） ##

首先条件是f(x)是\[a,b\]上的**单峰函数**

### 缩短搜索区间的原则 ###

设f(x)在\[a,b\]上为单峰函数，最小点为x∗，在(a,b)上任取两点a<x1<x2<b，计算f(x1)、f(x2)

**`“去坏留好”原则`**

若f(x1)<f(x2)，则x∗∈\[a,x2\]  
若f(x1)≥f(x2)，则x∗∈\[x1,b\]

**`对称原则`**

由于在计算前不能预测x1,x2，为了稳妥，我们有：

x1−a=b−x2  
则有：  
 x2=a\+b−x1

**`等比收缩原则`**

我们希望每次留下的区间长度都是上次留下的区间长度的w倍(0<w<1)，w为常数。  
设：ln是第n次比较函数值后留下区间的长度，我们希望ln\+1=w∙ln  
根据计算得到：  
w=−1±5√2(1)

## 代码实现上述两种方法 ##

f(x)=x4\+x3−x2\+1,ε=10−2

#include<iostream>
    #include <algorithm>
    #include<cmath>
    #include <iomanip>
    using namespace std;
    double  f(double x)
    {
        return pow(x, 4) + pow(x, 3) - pow(x, 2) + 1;
    }//define f(x)
    int main()
    {
        //成功失败法
        double a;
        double h;
        cout << "input: " << endl << "a: ";
        cin >> a;
        cout << "h: ";
        cin >> h;
        double a1 = a;
        double a2 = a + h;
        double f1 = f(a1);
        double f2 = f(a2);
        double c;
        double d;
        if (f2 < f1)
        {
            h = 2 * h;
            a2 += h;
            f1 = f2;
            f2 = f(a2);
            while (f2 < f1)
            {
                a1 = a2 - h;
                h = 2 * h;
                a2 += h;
                f1 = f2;
                f2 = f(a2);
            }// end while
            c = a1;
            d = a2;
        }
        else
        {
            h = -h / 4;
            a1 = a1 + h;
            f2 = f1;
            f1 = f(a1);
            while (!(f2 < f1))
            {
                a2 = a1 - h;
                h = h + h;
                a1 = a1 + h;
                f2 = f1;
                f1 = f(a1);
            }//end while
            c = a1;
            d = a2;
        }//end if-else
        cout << "[ " << fixed << setprecision(2) << c << " ," << fixed << setprecision(2) << d << " ]" << endl;//output
    
        //0.618法
        double E = 0.01;
        double x_result;
        double _a = c;
        double _b = d;
        double x1 = _a + 0.382*(_b - _a);
        double x2 = _a + _b - x1;
        double R;
        double G;
        R = f(x1);
    func1:
        G = f(x2);
    func2:
        if (R > G)
        {
            _a = x1;
            if (abs(_a - _b) < E)
            {
                x_result = (_a + _b) / 2;
            }
            else
            {
                x1 = x2;
                x2 = _a + 0.618*(_b - _a);
                R = G;
                goto func1;
            }
        }
        else
        {
            _b = x2;
            if (abs(_b - _a) < E)
            {
                x_result = (_a + _b) / 2;
            }
            else
            {
                x2 = x1;
                x1 = _a + 0.382*(_b - _a);
                G = R;
                R = f(x1);
                goto func2;
            }
        }
        cout << "x*=" << fixed<<setprecision(2)<<x_result << endl;
        system("PAUSE");
        return 0;
    }