范数的直觉性理解

我会带着你远行 2022-08-13 17:38 194阅读 0赞

思考了一些关于范数的直觉性理解，想先记下来，好好消化消化。

关于矩阵的理解，这里有一篇文章非常不错，对矩阵的直觉理解有深入的剖析,[如何理解线性代数][Link 1]

那么在链接的文章中，如果你看过了，就可以理解两个重要的概念：

1.矩阵的本质是运动（跃迁）的描述，线性变换是描述运动的过程，所以线性变换可以用矩阵来表示。

2.一个对象可以表达为无穷多个合理选择的对象的线性和。所以向量表征对象，无穷多个向量可以合理选择线性组合表出其他向量。

我们这里就把向量等价于一个对象，一个矩阵等价于一个变换。

一个向量有一定的维度，而这些维度可以看作这个对象的所有属性，比如一头大象有很多属性--体重，个头，长鼻子，大耳朵等。

书中定义的范数，是在一般的线性空间中，使用范数来定义一个向量的长度。长度是什么？就是两个点之间的差别，那个这个差别如何而来？这样的话，每个人有每个人不同的看法，每个人看得角度不同。

比如那头大象是向量x，那么一个中国人来看这头大象，他心目中产生的“大象”，就会和原始的大象产生差距，||x||a,就表示为向量x的a范数，表征着这个大象由这个中国人来看会产生的现实大象与心中“大象”的差别。

那么接下来定义一个矩阵A，矩阵表征着一个空间到另一个空间的映射，我们继续来看大象，“现实”为一个空间，“心中”为另一个空间，大象从现实映射到心中，我们就可以用Ax来表征“心中的大象”，x-->Ax的变换过程，就是通过矩阵A的变换得到，那么矩阵的范数又是什么呢？矩阵的范数便是这些变换的范围，一个人看大象，可能想到一个动画片中的小象的形象，可能想到泰国，甚至想到蛤蟆（蛤蟆吞大象嘛）,而从大象出发映射到这些想象的事物的映射所构成的空间，便是矩阵A的空间，A的a范数||A||a,便是一个中国人的想象空间中映射的长度。那么矩阵的范数当中，为什么多了一条相容性的规则呢？我们定义一个映射，也必须考虑到这个映射输入的数据的范围，比如f(x)=In(x),这个函数的x的范围就必须大于0，如果一个小于0的数x,就无法和这个映射In()相容，所以矩阵的范数与向量的范数相容也就是这个道理，我们定义一个范数就是让一个婴儿来看这头大象，你说婴儿能够看得懂这是什么玩意嘛？那么我们定义的矩阵范数不止一个，比如a范数是中国人看，b范数是美国人看，无论从向量范数比较（现实的大象和心中大象的差距），还是从矩阵范数比较（美国人可能不会想到蛤蟆~~）都会产生不同。

那么一个矩阵范数总能找到一个向量范数与之相容也成立，一个婴儿总会有他看得懂的东西，一些存在他本能里的。

那么所谓矩阵的谱半径，我理解为事物的本质。而矩阵的谱半径是这个矩阵所有矩阵范数的下确界，理解这一定理，也就直观的多。一个矩阵的矩阵范数是通过一个人来看大象的“现象”，现象永远无法超越本质，只能无限靠近本质，谱半径构成的球体是事物本质最大特征为半径构成的，矩阵范数永远只能徘徊于这个球体之外，或无限接近球体。（难怪有人说，哲学和数学一样，是万物的基础）

所谓有限维空间的不同范数是等价的。这句话也好理解了，不同人看大象无论是想成动画片里的“飞天象”也好，或是蛤蟆也罢，最终还是要收敛到大象这个事物上去。

那么所谓的算子范数，算子范数真包含于矩阵范数当中，从与向量范数的相容性出发。算子范数从现实的大象出发，包含中国人的想象，美国人的想象，但不包含婴儿的想象。基于大象出发，诱导出成年人的想象，构成想象空间。但注意，算子范数是范数，是一个实数，不等同于空间，是这个空间的上界，即使变换的上界，大象缩放的上界。

以上是我对这些日子学习的范数概念的直觉性理解，我也是受到了上面推荐的那篇文章的启发，喜欢把具体的数据抽象为我们生活中的东西，不然虽懂得做数学公式推导，但无法理解这样推导的原理，那和计算器没什么区别。  
  
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[Link 1]: http://www.guokr.com/post/300903/