树状数组

朱雀 2022-08-10 10:53 271阅读 0赞

1、概述

树状数组(binary indexed tree)，是一种设计新颖的数组结构，它能够高效地获取数组中连续n个数的和。概括说，树状数组通常用于解决以下问题：数组\{a\}中的元素可能不断地被修改，怎样才能快速地获取连续几个数的和？

2、树状数组基本操作

传统数组(共n个元素)的元素修改和连续元素求和的复杂度分别为O(1)和O(n)。树状数组通过将线性结构转换成伪树状结构（线性结构只能逐个扫描元素，而树状结构可以实现跳跃式扫描），使得修改和求和复杂度均为O(lgn)，大大提高了整体效率。

给定序列（数列）A，我们设一个数组C满足

C\[i\] = A\[i–2^k+ 1\] + … + A\[i\]

其中，k为i在二进制下末尾0的个数，i从1开始算！

则我们称C为树状数组。

下面的问题是，给定i，如何求2^k?

答案很简单：2^k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)

下面进行解释：

> 以i=6为例（注意：a\_x表示数字a是x进制表示形式）：
> 
> (i)\_10 = (0110)\_2
> 
> (i-1)\_10=(0101)\_2
> 
> i xor (i-1) =(0011)\_2
> 
> i and (i xor (i-1))  =(0010)\_2
> 
> 2^k = 2
> 
> C\[6\] = C\[6-2+1\]+…+A\[6\]=A\[5\]+A\[6\]

数组C的具体含义如下图所示：

![binary\_indexed\_tree2][binary_indexed_tree2]

当我们修改A\[i\]的值时，可以从C\[i\]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C\[\]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

树状数组能快速求任意区间的和：A\[i\] + A\[i+1\] + … + A\[j\]，设sum(k) = A\[1\]+A\[2\]+…+A\[k\]，则A\[i\] + A\[i+1\] + … + A\[j\] = sum(j)-sum(i-1)。

下面给出树状数组的C语言实现：

//求2^k
    
    int lowbit(int t)
    
    {
    
        return t & ( t ^ ( t - 1 ) );
    
    }
    
    //求前n项和
    
    int sum(int end)
    
    {
    
       int sum = 0;
    
       while(end > 0)
    
      {
    
         sum += in[end];
    
         end -= lowbit(end);
    
      }
    
      return sum;
    
    }
    
    //增加某个元素的大小
    
    void plus(int pos, int num)
    
    {
    
       while(pos <= n)
    
      {
    
         in[pos] += num;
    
         pos += lowbit(pos);
    
      }
    
    }

3、扩展——二维树状数组

一维树状数组很容易扩展到二维，二维树状数组如下所示：

C\[x\]\[y\] = sum(A\[i\]\[j\])

其中，x-lowbit\[x\]+1 <= i<=x且y-lowbit\[y\]+1 <= j <=y

4、应用

（1）    一维树状数组：

参见：[http://hi.baidu.com/lilu03555/blog/item/4118f04429739580b3b7dc74.html][http_hi.baidu.com_lilu03555_blog_item_4118f04429739580b3b7dc74.html]

（2）    二维树状数组：

一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作

1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）

2) 查询某个子矩阵里所有数字的和

要求对每次查询，输出结果

5、总结

树状数组最初是在设计压缩算法时发现的（见参考资料1），现在也会经常用语维护子序列和。它与线段树（具体见：[数据结构之线段树][Link 1]）比较在思想上类似，比线段树节省空间且编程复杂度低，但使用范围比线段树小（如查询每个区间最小值问题）。

6、参考资料

（1）    Binary Indexed Trees：

[http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=binaryIndexedTrees][http_www.topcoder.com_tc_module_Static_d1_tutorials_d2_binaryIndexedTrees]

（2）    吴豪文章《树状数组》：

[http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article19/zip/treearray.zip][http_www.java3z.com_cwbwebhome_article_article19_zip_treearray.zip]

（3）    郭炜文章《线段树和树状数组》：

[http://poj.org/summerschool/1\_interval\_tree.pdf][http_poj.org_summerschool_1_interval_tree.pdf]

[binary_indexed_tree2]: http://dongxicheng.org/wp-content/uploads/2011/04/binary_indexed_tree2.jpg
[http_hi.baidu.com_lilu03555_blog_item_4118f04429739580b3b7dc74.html]: http://hi.baidu.com/lilu03555/blog/item/4118f04429739580b3b7dc74.html
[Link 1]: http://dongxicheng.org/structure/segment-tree/
[http_www.topcoder.com_tc_module_Static_d1_tutorials_d2_binaryIndexedTrees]: http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=binaryIndexedTrees
[http_www.java3z.com_cwbwebhome_article_article19_zip_treearray.zip]: http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article19/zip/treearray.zip
[http_poj.org_summerschool_1_interval_tree.pdf]: http://poj.org/summerschool/1_interval_tree.pdf