树状数组 忘是亡心i 2022-07-26 08:44 243阅读 0赞 # 树状数组 # ## 树状数组:用线性数据结构的方法解决动态统计子树权和的问题。 ## 类似于线段树,将区间分成小段,方便计算权和。 举个栗子,将a数组构造成树状数组c。 如果a数组中共有8个元素a\[1\]~a\[8\],注意这里数组的下标要从1开始,那么: c\[1\]=a\[1\] c\[2\]=a\[1\]+a\[2\] c\[3\]=a\[3\] c\[4\]=a\[1\]+a\[2\]+a\[3\]+a\[4\] c\[5\]=a\[5\] c\[6\]=a\[5\]+a\[6\] c\[7\]=a\[7\] c\[8\]=a\[1\]+a\[2\]+a\[3\]+a\[4\]+a\[5\]+a\[6\]+a\[7\]+a\[8\] 下面说一下为什么c数组是这样的,还有对c数组的一些操作。 ## 一、c数组的来历 ## 线段树是直接递归二分来划分,而树状数组需要通过lowbit(i)这个函数来确定划分范围。 int lowbit(int x)//计算二进制数x右方的第一位1对应的权 { return x&(-x); } ①c\[k\]存储从a\[k\]开始向前数lowbit(k)个元素之和,即c\[k\]=a\[k\]+a\[k-1\]+a\[k-2\]+...+a\[i-(2^k)+1\]。 ②lowbit(k)=k&(-k),在二进制中,-k是取反加1,这个函数是求整数k的二进制表示中右边第一个1在二进制中代表的权值。 例如: #include<iomanip> #include<iostream> #include<stdlib.h> #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; int main() { char str[25]; int i; for(i=1; i<=10; ++i) { itoa(i,str,2); cout<<"i="<<i<<" "<<(i&-i)<<" 二进制 "<<str<<endl; } return 0; } 运行结果: ![Center][] 由图,可以得到i对应的lowbit(i)值。 所以: 当i=1时,lowbit(1)=1,c\[1\]=a\[1\]; 当i=2时,lowbit(2)=2,c\[2\]=a\[2\]+a\[1\],c\[2\]由a\[2\]及其之前共计lowbit(2)=2个数相加得到; 当i=3时,lowbit(3)=1,c\[3\]=a\[3\]; 当i=4时,lowbit(4)=4,c\[4\]=a\[4\]+a\[3\]+a\[2\]+a\[1\],c\[4\]由a\[4\]及其之前共计lowbit(4)=4个数相加得到; ……………………………… 下面依次类推,所以就得到上面c数组的各个值。 ## 二、调整整棵子树 ## 从c\[i\]依次调整这棵子树,数组下标是i+=lowbit(i) 举个栗子:当改变a\[4\]的值的时候,c\[4\]与a\[4\]、a\[3\]、a\[2\]、a\[1\]都有关,这四个都要改变权值, 那么计算出4、3、2、1这四个数组下标的公式就是i+=lowbit(i)。 例如如下代码: void change(int x)//x是a数组的下标 { int i; if(条件满足) for(i=x; i<cnt; i+=lowbit(i))//调整a[x]这一棵子树 c[i]改变; } ## 三、计算子树权值之和 ## 与上面的情况类似,依次找出这个节点相关的所有节点,即相应的数组下标,再累加起来就是权值之和。 例如如下代码: int sum(int x)//计算节点x子树权值之和 { int i,res=0;//res是权值和 for(i=x; i>0; i-=lowbit(i)) res+=c[i]; return res; } ## 四、二维树状数组 ## 和一维的树状数组一样,就是更新和查询稍微作出一点改变。可以看一下模板入门题(传送门→):[POJ 1195][] 更新和查询的代码改变如下: void update(int x,int y,int num) { int i,j; for(i=x; i<=n; i+=lowbit(i)) for(j=y; j<=n; j+=lowbit(j)) c[i][j]+=num; } int sum(int x,int y) { int i,j,res=0; for(i=x; i>0; i-=lowbit(i)) for(j=y; j>0; j-=lowbit(j)) res+=c[i][j]; return res; } 以上就是我自己学习了一上午之后对树状数组的简单的认识,下面贴一道入门题[POJ 3321-Apple Tree][](←这里是传送门),希望这道题对理解树状数组有很好的帮助。 [Center]: /images/20220724/bfd674eb690540e297df0efe0dc0f8a9.png [POJ 1195]: http://blog.csdn.net/mikasa3/article/details/51332195 [POJ 3321-Apple Tree]: http://blog.csdn.net/mikasa3/article/details/51104809
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