理解浮点数的构成

港控/mmm° 2022-08-05 11:23 203阅读 0赞

理解浮点数的构成个人觉得对于新手是一个比较困难的事，我就想了好久，看了好几篇参考资料，才大概弄清。。。

下面就说一下自己的理解吧~

关于单精度浮点型的二进制构造：

一般6-8位有效数字（假设float占4个字节，那就是一共32位，其中一个符号位，8个指数位，23个尾数。所以布局如下：

符号位\[  \]  +  指数位\[  \] \[  \] \[  \] \[  \] \[  \] \[  \] \[  \] \[  \]   +   尾数\[  \]\*23

（有效数字大家应该知道吧，回想一下科学计数法）

上面给出了浮点数的表示方法，6-8位有效数字就是10^6到10^8个数（一般超过7位就四舍五入了，后面的就都不精确了），这个与编译器有关。

其实，也就是说每个float类型里面有2^23=83886087个二进制位对应表示2^23个数，10^6<2^23<10^8，所以我们一般可以精确的表示6位有效数字，但是无法表示8位有效数字。浮点数有正负所以需要一个符号位来表示，还有8个指数位来表示指数（指数也是要存储的好吧）由于有正负也就是-127~128。

说道这里，大家感觉可能是懂了，不过很有可能还是没懂。

我给出问题，float能表示的大概的范围-3.4E38~3.4E38，这个数又是怎么来的？

我们知道计算机是以二进制来存取数据的，二进制也有其对应的浮点数形式。比如，1001.101.转换成10进制就是9.625.而对于IEEE标准要求浮点数必须是规范的，小数点左侧必须为1.这样，就变为1.001101\*2^3（这里要注意，没错，二进制的科学技术法就是2的n次幂）。所以，对应的32为表示如下。

符号位0|指数幂 10000010|尾数 00110100000000000000000

这里我们看到尾数第一个1省略了（正常应该是100110100000000000000000），因为IEEE规定了小数点第一位是1，所以可以将这个符号位添加到后面来保存更多的数据。

指数位的规则比较复杂，首先，1.001101\*2^3，在二进制中不会出现2或者是3的，所以指数为3必须要转换成2进制的形式，3的二进制是00000011。其次，任何实际的指数不能直接存储在指数位里，需要加上一个偏移值127，加完偏移值的这个数叫做阶码，然后这个阶码会存储在表示指数的8位二进制中。这样，3+127 = 130，转换成二进制就是10000010。

那么为什么要加一个偏移值呢?这个偏移值为什么是127？

这个有时间再进一步讨论~

比如，当实际的指数值为0的时候，在2进制的指数位表示为127（实际值=e—127）.所以，当实际值为3的时候，e=130（也就是指数位为130，10000010）

最后再举一个例子，

\-6.5

符号位1|指数幂 10000001|尾数 10101000000000000000000

现在应该知道那个范围是怎么算出来的吧，

![1442327080_1347.png][]

截图就是2^128的结果（浮点数的大致范围由指数位来决定，而尾数决定的是精确程度）。

下面是一个C++中有关基本数据类型的表格：

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> 类型 </td> 
 <td> 含义 </td> 
 <td> 最小尺寸 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> bool </td> 
 <td> 布尔类型 </td> 
 <td> 未定义 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> char </td> 
 <td> 字符 </td> 
 <td> 8位 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> wchar_t </td> 
 <td> 宽字符 </td> 
 <td> 16位 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> char16_t </td> 
 <td> Unicode字符 </td> 
 <td> 16位 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> char32_t </td> 
 <td> Unicode字符 </td> 
 <td> 32位 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> short </td> 
 <td> 短整型 </td> 
 <td> 16位 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> int </td> 
 <td> 整型 </td> 
 <td> 16位 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> long </td> 
 <td> 长整形 </td> 
 <td> 32位 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> long long(C++ 11) </td> 
 <td> 长整形 </td> 
 <td> 64位 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> float </td> 
 <td> 单精度浮点型 </td> 
 <td> 6-8位有效数字（假设float占4个字节，一个符号位，8个指数位，23个尾数。 2^23=83886087位,2^8&lt;=&gt;(-128~128)\ Float表示-2^128~2^128 内存中 符号位[]+(只存放指数)指数位[][][][][][][][]+尾数[]*23） </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> double </td> 
 <td> 双精度浮点型 </td> 
 <td> 10位有效数字 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> long double </td> 
 <td> 扩展精度浮点型 </td> 
 <td> 10位有效数字 </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

大家也可以参考这篇文章，写的很好

http://www.cnblogs.com/findumars/p/5452526.html

[1442327080_1347.png]: https://img-my.csdn.net/uploads/201509/15/1442327080_1347.png