对浮点数的一些理解

喜欢ヅ旅行 2022-05-14 08:43 261阅读 0赞

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## 前言 ##

相比int等整型，float等浮点类型的表示和存储较为复杂，但它又是一个无法回避的话题，那么就有必要对浮点一探究竟了。在计算机中，一般用IEEE浮点近似表示任意一个实数，那么它实际上又是如何表示的呢？

## IEEE浮点表示 ##

IEEE浮点标准用

![70][]

的形式近似表示一个数。并且将浮点数的位表示划分为三个字段：

*  符号（sign）s决定这个数是负数（s=1）还是正数（s=0）。可以用一个单独的符号s直接编码符号s。
 *  尾数（signficand）M是一个二进制小数，它的范围是1～2-ξ或者是0～1-ξ。  
    n位小数字段![70 1][]编码尾数M。
 *  阶码（exponent）E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂（可能是负数）。k位的阶码字段 ![70 2][]编码阶码E。

在单精度浮点格式（c语言的float）中，s，exp和frac字段分别为1位，8位和23位,而双精度浮点格式（c语言中的double）中，s，exp和frac字段分别为1位，11位和52位。  
一个浮点数的常见比特位表示如下:

*  单精度

*  双精度

而根据exp的值，被编码的值可以分为三大类不同的情况。下面进行一一解释。

情况1：规格化的值

即最普遍的情况，当exp，即阶码域既不为全0，也不为全1的情况。在这种情况下，阶码字段解释为以偏置（biased）形式表示有符号整数，即**E=exp-Bias**,exp是无符号数（1~254）。Bias是一个等于![70 3][]的偏置值，对于单精度来说，k=23，Bias=127，因此E的范围是-126~+127。

frac被描述为小数值，且0≤frac<1,其二进制表示为0.frac。尾数定义为 **M=1+frac** ，则M=1.frac。那么就有1≤M<2,由于总是能够调整阶码E，使得M在范围1≤M<2,所以不需要显示的表示它，这样还能获得一个额外的精度位。也就是说，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的frac部分,等到读取的时候，再把第一位的1加上去。

情况2：非规格化的值

当exp，即阶码域为全0时，所表示的数便为非规格化的值，该情况下的阶码值**E=1-Bias**（注:为从非格式化值转换到格式化值提供了一种方法）。尾数**M=frac**

非规格化的数有两个作用。

*  表示数值0。格式化数中，我们总使得M≥1，因此就无法表示0。而阶码全0时，且尾数也全0时，就可以表示0了。
 *  表示接近0.0的数。它所表示的值分布地接近于0.0，该属性成为逐渐溢出。

情况3：特殊值

有两种

*  阶码全为1，小数域全为0。它得到值为 +∞(s=0)或-∞（s=1），它在计算机中可以表示溢出的结果，例如两个非常大的数相乘。
 *  阶码全为1，小数域不全为0。它得到值为NaN（Note a Number）。它在计算机中可以表示非法的数，例如计算根号-1时的值。

## 浮点数的范围和有效位 ##

对于浮点数，其能表示的数值范围和其有效位如下

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>类型</th> 
   <th>比特位</th> 
   <th>数值范围</th> 
   <th>有效位</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>float</td> 
   <td>32</td> 
   <td>-3.4<em>10^38～+3.4</em>10^38</td> 
   <td>6~7位</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>double</td> 
   <td>64</td> 
   <td>-1.7<em>10^-308~1.7</em>10^308</td> 
   <td>15~16位</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>long double</td> 
   <td>128</td> 
   <td>-1.2<em>10^-4932~1.2</em>10^4932</td> 
   <td>18~19位</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

可见同比特位数的整型（例如int）要比浮点数（例如float）能表示的数值范围要小很多，但是需要注意的，虽然浮点数能表示的范围大，但是 它却不能精确表示在其范围内的所有实数，也就是说，它只能保证有效位的值是精确的，当表示的数值（小数部分）超过有效位时，所表示的数是无法保证精确的，甚至可以说是错误的。  
那么浮点数的数值范围和有效位是如何得到的呢？

浮点数的数值范围计算

有了前面了基础，我们就可以来计算浮点数的数值范围了。以单精度（float）为例，我们知道它的指数范围（即E）为-126~+127，而M的范围为1≤M<2，实际上，对于单精度，1≤M≤2-2^（-23）（注:23为frac字段所占的比特位）。那么我们就可以得到单精度的最大值为: ![70 4][]  
同理，我们可以得到单精度的最小值为：

![v2-420e6eca2db2ad4fce4c61ecc40c2615_hd.jpg][]

我们仅仅以单精度为例，用同样的方法可以计算其他精度的浮点数数值范围，在此不再赘述。

浮点数的有效位

有效位也可以理解为我们常说的精度。浮点数的精度是由尾数的位数来决定的。  
对于单精度（float），它的尾数为23位，而2^23=8388608，共7位，也就是说最多能有7位有效数字，但至少能保证6位，因此其有效位为6~7位。当然我们可以通过下面的内容进一步理解。以下计算结果保留10位小数。  
![70 5][]  
  
![70 6][]  
观察a和b的结果可以发现，0.0000001和0.0000002之间的其他数是没有办法通过单精度浮点数来精确表示的，也就是说，只有到小数点后面7位的值才是精确的，同理，观察b和c的结果，0.0000002到0.0000004之间的其他数也是不能通过单精度浮点数精确表示的，更不幸地是，这之间的数，甚至只能精确到第6位。

这也就有了**单精度浮点数的有效位为6~7位**的结论。根据相似的方法，我们同样可以得到**双精度浮点数的有效位为15~16位**的结论，这里不再赘述。

## 浮点数在内存中的存储 ##

了解了这么多，我们来看一下一个小数究竟是如何在内存中存储的。以float f = 8.25f为例。其二进制表示为![70 7][],可见指数实际值为3，则根据E=exp-Bias，可知exp=E+Bias=3+127=130，根据M=1+frac,可知，frac=M-1=0.0001（二进制）而  
![70 8][]  
因此不难得到，8.25的在内存中的存储情况为：

**如果这个时候把这个值作为整型使用，是多少呢？没错，是1090781184**

#include<stdio.h>
    int main(int argc,char *argv[])
    {
        float f=8.25f;
        int *i = (int*)&f;
        printf("%d\n",*i);
        return 0;
    }

## 再说几句 ##

关于浮点数，需要再说几句：

*  在二进制，第一个有效数字必定是“1”，因此这个“1”并不会存储。
 *  浮点数不能精确表示其范围内的所有数。
 *  可精确表示的数不是均匀分布的，越靠近0越稠密。
 *  默认舍入方式为向偶舍入，也被称为最接近的值舍入。
 *  不遵守普遍的算术属性，比如结合律。

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## ![守望的笔记本][70 9] ##

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[70 1]: /images/20220514/49f8d505230a47fa9bc4d43c69c024a9.png
[70 2]: /images/20220514/bd60124e4d7e41f4b855dca3d892624a.png
[70 3]: /images/20220514/5b2938a9b2c54babb5ae25466c661282.png
[70 4]: /images/20220514/85288b3bb2b947ef85fe0ddaa591ba3b.png
[v2-420e6eca2db2ad4fce4c61ecc40c2615_hd.jpg]: /images/20220514/37786a6d2af5427b8b1bc2d9d5421d1f.png
[70 5]: /images/20220514/eb6839d6acc7435da71c3db7abd15e7b.png
[70 6]: /images/20220514/62b3f81ec7884a07a09c0713aa14c3a7.png
[70 7]: /images/20220514/d89078c065a645d484599ea2b76c82e8.png
[70 8]: /images/20220514/b98292a85e9545f8b3d573c8e683ce81.png
[70 9]: /images/20220514/4c468cb6c6c14775b4e267c767f60e31.png