【基础练习】【背包DP】codevs1068 乌龟棋题解

港控/mmm° 2022-08-03 23:59 171阅读 0赞

题目来自2010NOIP提高组

题目描述 Description

小明过生日的时候，爸爸送给他一副乌龟棋当作礼物。 乌龟棋的棋盘是一行N个格子，每个格子上一个分数（非负整数）。棋盘第1格是唯一 的起点，第N格是终点，游戏要求玩家控制一个乌龟棋子从起点出发走到终点。

…… 1 2 3 4 5 ……N 乌龟棋中M张爬行卡片，分成4种不同的类型（M张卡片中不一定包含所有4种类型 的卡片，见样例），每种类型的卡片上分别标有1、2、3、4四个数字之一，表示使用这种卡 片后，乌龟棋子将向前爬行相应的格子数。游戏中，玩家每次需要从所有的爬行卡片中选择 一张之前没有使用过的爬行卡片，控制乌龟棋子前进相应的格子数，每张卡片只能使用一次。 游戏中，乌龟棋子自动获得起点格子的分数，并且在后续的爬行中每到达一个格子，就得到 该格子相应的分数。玩家最终游戏得分就是乌龟棋子从起点到终点过程中到过的所有格子的 分数总和。 很明显，用不同的爬行卡片使用顺序会使得最终游戏的得分不同，小明想要找到一种卡 片使用顺序使得最终游戏得分最多。 现在，告诉你棋盘上每个格子的分数和所有的爬行卡片，你能告诉小明，他最多能得到 多少分吗？

输入描述 Input Description

输入的每行中两个数之间用一个空格隔开。 第1行2个正整数N和M，分别表示棋盘格子数和爬行卡片数。 第2行N个非负整数，a1a2……aN

，其中ai表示棋盘第i个格子上的分数。 第3行M个整数，b1b2……bM

，表示M张爬行卡片上的数字。 输入数据保证到达终点时刚好用光M张爬行卡片，即N - 1=∑(1->M) bi

输出描述 Output Description

输出一行一个整数

样例输入 Sample Input

13 8

4 96 10 64 55 13 94 53 5 24 89 8 30

1 1 1 1 1 2 4 1

样例输出 Sample Output

455

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据范围】

对于30%的数据有1 ≤ N≤ 30，1 ≤M≤ 12。

对于50%的数据有1 ≤ N≤ 120，1 ≤M≤ 50，且4 种爬行卡片，每种卡片的张数不会超

过20。

对于100%的数据有1 ≤ N≤ 350，1 ≤M≤ 120，且4 种爬行卡片，每种卡片的张数不会

超过40；0 ≤ ai ≤ 100，1 ≤ i ≤ N；1 ≤ bi ≤ 4，1 ≤ i ≤M。输入数据保证N−1=ΣM

i b

直接四维DP即可，状态转移方程为

f[i,j,k,l]=max(f[i-1,j,k,l],f[i,j-1,k,l],f[i,j,k-1,l],f[i,j,k,l-1])+a[i+j*2+k*3+l*4+1]

应注意，此处a的下表应该+1，因为出发点为第一个格子

先上代码

//codevs1068 乌龟棋 背包DP
    //copyright by amtake
    #include
       
        
    #include
        
         
    #include
         
          
    using namespace std;
    
    const int maxn=41;
    int f[maxn][maxn][maxn][maxn];
    int a[351],n,m,card,b[5];//每个格子的分数，格子数，卡片总数，剩余卡片数，初始时卡片分别张数 
    
    int main()
    {
        int x;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        card=m;
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for (int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            b[x]++;
        } 
        f[0][0][0][0]=a[1];
        for (int i=0;i<=b[1];i++)
        {
            for (int j=0;j<=b[2];j++)
            {
                for (int k=0;k<=b[3];k++)
                {
                    for (int l=0;l<=b[4];l++)
                    {
                        int d=i+j*2+k*3+l*4+1; 
                        if(i)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i-1][j][k][l]+a[d]);
                        if(j)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j-1][k][l]+a[d]);
                        if(k)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j][k-1][l]+a[d]);
                        if(l)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j][k][l-1]+a[d]);
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n",f[b[1]][b[2]][b[3]][b[4]]);
        return 0;
    }

一开始我写的时候，循环是这样的：

f[0][0][0][0]=a[1];
        for (int i=0;i<=b[1];i++)
        {
            for (int j=0;j<=b[2];j++)
            {
                for (int k=0;k<=b[3];k++)
                {
                    for (int l=0;l<=b[4];l++)
                    {
                        f[i][j][k][l]=max(max(max(f[i-1][j][k][l],f[i][j-1][k][l]),f[i][j][k-1][l]),f[i][j][k][l-1])+a[i+j*2+k*3+l*4+1];
                    }
                }
            }
        }

然而总是RE= =看到题解里有人说，数组开大会爆掉，仔细一看内存128M 但是这可是四维数组啊，多一点就可能酿成大错，于是抓紧把数组改小

然而还是RE= =后来一看，为什么Pas代码都把数组开到-1？原来

循环时每个变量从0开始，会出现数组下表为-1的情况！

LINUX情况下不允许下表为﹣申请内存，那可怎么办？

某位神仙启发了我，因为下表为-1的状态并不影响结果，所以直接忽略就好了，改成这样：

int d=i+j*2+k*3+l*4+1; 
                        if(i)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i-1][j][k][l]+a[d]);
                        if(j)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j-1][k][l]+a[d]);
                        if(k)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j][k-1][l]+a[d]);
                        if(l)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j][k][l-1]+a[d]);

这里还要说一句，杨志灿学长的课件里说，可以用三维数组，因为最后一种卡片数可以由前三种推出来。但我并不知道如何实现，至少递推很难实现，因为我们只考虑最优结果不考虑决策过程，你并不知道现在还剩多少卡，有可能记忆化搜索可以用这个优化。

——堪嗟误约乖期，向天涯、自看桃李。