一般线性最小二乘法

╰半夏微凉° 2022-06-18 12:29 308阅读 0赞

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## 最小二乘法： ##

人们对由某一变量t 或多个变量t1,…,tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型

ym=f(t1,…,tq;x1,…,xp)

q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。   
通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型称作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下，观测值远多于所选择的参数。   
其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。   
确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为：

minx⃗ ∑i=1n(ym−yi)2

用欧几里得度量表达为：

minx⃗ ∥y⃗ m(x⃗ )−y⃗ ∥2

最小化问题的精度，依赖于所选择的函数模型。

## 线性函数模型 ##

典型的一类函数模型是线性函数模型。最简单的线性式是y=x0\+x1t，写成行列式，为

minx0,x1∥∥∥∥∥⎛⎝⎜⎜1⋮1t1⋮tn⎞⎠⎟⎟(x0x1)−⎛⎝⎜⎜y1⋮yn⎞⎠⎟⎟∥∥∥∥∥2=minx∥Ax−b∥2

直接给出该式的参数解：

x1=∑ni=1tiyi−n⋅t¯y¯∑ni=1t2i−n⋅(t¯)2和x0=y¯−x1t¯

其中  t¯=1n∑ni=1ti ，为  t 值的算术平均值。也可解得如下形式：

x1=∑ni=1(ti−t¯)(yi−y¯)∑ni=1(ti−t¯)2

## 一般线性情况 ##

若含有更多不相关模型变量t1,...,tq，可如组成线性函数的形式   
y(t1,…,tq;x0,x1,…,xq)=x0\+x1t1\+⋯\+xqtq   
即线性方程组

x0\+x1t11\+⋯\+xjt1j\+⋯\+xqt1q=y1x0\+x1t21\+⋯\+xjt2j\+⋯\+xqt2q=y2⋮x0\+x1ti1\+⋯\+xjtij\+⋯\+xqtiq=yi⋮x0\+x1tn1\+⋯\+xjtnj\+⋯\+xqtnq=yn

通常人们将tij记作数据矩阵 A，参数xj记做参数矢量x，观测值yi记作b，则线性方程组又可写成：

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1⋮1t11t21ti1tn1⋯⋯⋯⋯t1j⋯t2j⋯tij⋯tnj⋯t1qt2qtiqtnq⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x0x1x2⋮xj⋮xq⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜y1y2⋮yi⋮yn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

即   Ax=b    
上述方程运用最小二乘法导出为线性平差计算的形式为：   
 minx∥Ax−b∥2

## 最小二乘法的解 ##

定理：线性方程组Ax=b的LS问题一定有解，且求解LS问题与求解线性方程组的法方程组等价

ATAx=ATb

> 证明：   
> rank(A)=rank(ATA)⇒rank(ATA)≤rank(\[ATA,ATb\])=rank(aT\[A,b\])≤rank(AT)=rank(A)⇒rank(ATA)=rank(\[ATA,ATb\])   
> 从而方程组一定有解   
> 
> 
> f(x)=∥b−Ax∥2∥b−Ax∗∥2=minx∈Rn∥b−Ax∥2⎫⎭⎬⇒
> 
>   
> 
> 
> gradf(x∗)=(∂f(x∗)∂x1,∂f(x∗)∂x2,…,∂f(x∗)∂xn)T=0⇒2(ATAx∗−ATb)=0
> 
>   
> 说明LS解必定是法方程组的解   
> 
> 
> ATAx∗=ATb⇒AT(Ax∗−b)=0⇒Ax∗−b⊥R(A)=\{ y∈Rm|y=Ax,x∈Rn\}⇒∥b−Ax∥2=∥(b−Ax∗)\+A(x∗−x)∥2=∥b−Ax∗∥2\+∥A(x∗−x)∥2≥∥b−Ax∗∥2
> 
>   
> 说明法方程组的解必定是LS解

推论：当秩(Am×n)=n时，ATA为对称正定矩阵，最小二乘法问题有唯一解

xLS=(ATA)−1ATb

其中  (ATA)−1AT 称为A的伪逆矩阵，标记为  A†

> 证明：   
> 先将b拆成A的值域及其正交补两部分   
> b=b1\+b2   
> b1=AA†b∈R(A)   
> b2=(I−AA†)b∈R(A)⊥   
> 所以Ax−b1∈R(A)，可得   
> 
> 
> ∥Ax−b∥2=∥Ax−b1\+(−b2)∥2=∥Ax−b1∥2\+∥b2∥2
> 
>   
> 故当且仅当  x是  Ax=b1=AA†b解时，  x即为最小二乘解，即  x=A†b。   
> 又因为   
>  N(A)=N(A†A)=R(I−A†A)=\{ (I−A†A)h:h∈Cn\}   
> 故  Ax=AA†b的通解为   
>  x=A†b\+(I−A†A)h:h∈Cn   
> 因为   
> 
> 
> ∥∥A†b∥∥2<∥∥A†b∥∥2\+∥∥(I−A†A)h∥∥2=∥∥A†b\+(I−A†A)h∥∥2,(I−A†A)h≠0
> 
>   
> 所以  A†b又是二范数极小的最小二乘解。

## 例题： ##

求解超定方程组的最小二乘问题：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x1\+4x2=13x1−5x2=3x1\+2x2=62x1−x2=7⇒A=⎛⎝⎜⎜⎜23124−521⎞⎠⎟⎟⎟,b=⎛⎝⎜⎜⎜1367⎞⎠⎟⎟⎟

系数矩阵A是列满秩的，古可以求最小二乘法的解！

![这里写图片描述][20150523115923180]  
最小二乘法解为：   
![这里写图片描述][20150523120000214]  
最小平方残差：   
![这里写图片描述][20150523120040587]  
本例是用法方程组来求解最小二乘法问题的解！但是这样作也可能会引出好多问题！我们提倡用QR分解来求解。

[20150523115923180]: /images/20220618/5d5cec6126f84ea09f381c72f25650de.png
[20150523120000214]: /images/20220618/0bab11d79819413fa0b58265f52033b1.png
[20150523120040587]: /images/20220618/1a9174f3ce1b49ea9c1461a34c8ba85a.png