组合博弈游戏 - SG函数和SG定理

不念不忘少年蓝@ 2022-06-08 03:48 236阅读 0赞

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在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧.

必胜点和必败点的概念：

P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。

N点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。

必胜点和必败点的性质：

1、所有终结点是 必败点 P 。（我们以此为基本前提进行推理，换句话说，我们以此为假设）

2、从任何必胜点N 操作，至少有一种方式可以进入必败点 P。

3、无论如何操作，必败点P 都只能进入 必胜点 N。

我们研究必胜点和必败点的目的时间为题进行简化，有助于我们的分析。通常我们分析必胜点和必败点都是以终结点进行逆序分析。我们以[hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!][hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody] http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1847为例：

当 n = 0 时，显然为必败点，因为此时你已经无法进行操作了

当 n = 1 时，因为你一次就可以拿完所有牌，故此时为必胜点

当 n = 2 时，也是一次就可以拿完，故此时为必胜点

当 n = 3 时，要么就是剩一张要么剩两张，无论怎么取对方都将面对必胜点，故这一点为必败点。

以此类推，最后你就可以得到；

n ： 0 1 2 3 4 5 6 ...

position： P N N P N N P ...

你发现了什么没有，对，他们就是成有规律，使用了 P/N来分析，有没有觉得问题变简单了。

现在给你一个稍微复杂一点点的： [hdu 2147 kiki's game][hdu 2147 kiki_s game] http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2147

![SouthEast][]

可以看到当m或者n为偶数，则先者必胜。

#include<cstdio>
    int main()
    {
        int n,m;
        while(scanf("%d%d",&n,&m),n&&m)
        {
            if(n%2==0 || m%2==0 )
                printf("Wonderful!\n");
            else 
                printf("What a pity!\n");
        }
    }

现在我们就来介绍今天的主角吧。组合游戏的和通常是很复杂的，但是有一种新工具，可以使组合问题变得简单————SG函数和SG定理。

Sprague-Grundy定理（SG定理）：

**游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。**这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。不知道Nim游戏的请移步：http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45479073

SG函数：

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex\{0,1,2,4\}=3、mex\{2,3,5\}=0、mex\{\}=0。

对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex\{SG(a),SG(b),SG(c)\}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

**【实例】取石子问题**

有1堆n个的石子，每次只能取\{ 1, 3, 4 \}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

SG\[0\]=0，f\[\]=\{1,3,4\},

x=1 时，可以取走1 - f\{1\}个石子，剩余\{0\}个，所以 SG\[1\] = mex\{ SG\[0\] \}= mex\{0\} = 1;

x=2 时，可以取走2 - f\{1\}个石子，剩余\{1\}个，所以 SG\[2\] = mex\{ SG\[1\] \}= mex\{1\} = 0;

x=3 时，可以取走3 - f\{1,3\}个石子，剩余\{2,0\}个，所以 SG\[3\] = mex\{SG\[2\],SG\[0\]\} = mex\{0,0\} =1;

x=4 时，可以取走4- f\{1,3,4\}个石子，剩余\{3,1,0\}个，所以 SG\[4\] = mex\{SG\[3\],SG\[1\],SG\[0\]\} = mex\{1,1,0\} = 2;

x=5 时，可以取走5 - f\{1,3,4\}个石子，剩余\{4,2,1\}个，所以SG\[5\] = mex\{SG\[4\],SG\[2\],SG\[1\]\} =mex\{2,0,1\} = 3;

以此类推.....

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....

SG\[x\] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：

1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。

2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。

代码实现如下：

//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
    //SG[]:0~n的SG函数值
    //S[]:为x后继状态的集合
    int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
    void  getSG(int n){
        int i,j;
        memset(SG,0,sizeof(SG));
        //因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始
        for(i = 1; i <= n; i++){
            //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
            memset(S,0,sizeof(S));
            for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
                S[SG[i-f[j]]] = 1;  //将后继状态的SG函数值进行标记
            for(j = 0;; j++) if(!S[j]){   //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
                SG[i] = j;
                break;
            }
        }
    }

现在我们来一个实战演练（http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848）：

只要按照上面的思路，解决这个就是分分钟的问题。

代码如下：

#include <stdio.h>
    #include <string.h>
    #define MAXN 1000 + 10
    #define N 20
    int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
    void getSG(int n){
        int i,j;
        memset(SG,0,sizeof(SG));
        for(i = 1; i <= n; i++){
            memset(S,0,sizeof(S));
            for(j = 0; f[j] <= i && j < N; j++)
                S[SG[i-f[j]]] = 1;
            for(j = 0;;j++) if(!S[j]){
                SG[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
    int main(){
        int n,m,k;
        f[0] = f[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= 16; i++)
            f[i] = f[i-1] + f[i-2];
        getSG(1000);
        while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&k),m||n||k){
            if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n");
            else printf("Nacci\n");
        }
        return 0;
    }

大家是不是还没有过瘾，那我就在给大家附上一些组合博弈的题目：

POJ 2234 Matches Game  
HOJ 4388 Stone Game II

POJ 2975 Nim  
HOJ 1367 A Stone Game  
POJ 2505 A multiplication game  
ZJU 3057 beans game  
POJ 1067 取石子游戏  
POJ 2484 A Funny Game  
POJ 2425 A Chess Game  
POJ 2960 S-Nim  
POJ 1704 Georgia and Bob  
POJ 1740 A New Stone Game  
POJ 2068 Nim  
POJ 3480 John  
POJ 2348 Euclid's Game  
HOJ 2645 WNim  
POJ 3710 Christmas Game  
POJ 3533 Light Switching Game

[hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1847
[hdu 2147 kiki_s game]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2147
[SouthEast]: /images/20220608/4a4ad01c82bb47699596a9d525bc9afb.png