希尔伯特Hilbert空间的一些简单理解

亦凉 2022-06-05 12:55 683阅读 0赞

希尔伯特空间是[欧几里德空间][Link 1]的一个推广，其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个[内积空间][Link 2]，其上有距离和角的概念。

希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的[柯西序列][Link 3]等价于收敛序列。

希尔伯特空间为基于任意[正交系][Link 4]上的多项式表示的[傅立叶级数][Link 5]和[傅立叶变换][Link 6]提供了一种有效的表述方式，而这也是[泛函分析][Link 7]的核心概念之一

Hilbert空间基底一般是函数,常见的是含有各种频率的平面波函数,一种频率对应一个基底 维度是无穷.这些基底即平面波函数是完备的(Hilbert空间中的任何元素都可以用平面波函数展开, 其实就是指傅里叶变换), 正交(平面波函数做"点积"为delta函数)

从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。

对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。

但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋犯线性空间。

但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念，即内积空间（欧几里得空间）

因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。

而Hilibert空间就是作为完备函数系来展开其他函数的

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