【公式推导＋杨辉三角＋异或性质＋进制表示】XOR Matrix HackerRank - xor-matrix

「爱情、让人受尽委屈。」 2022-06-01 08:52 227阅读 0赞

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1知识点：【公式推导＋杨辉三角＋异或性质＋进制表示】  
2题意：  
定义异或矩阵元素a\[i, j\]：  
![SouthEast][]  
第一行输入n, m表示n行m列的异或矩阵，第二行输入n个元素表示异或矩阵的第一行，题目要求我们输出异或矩阵的第m行  
2.1数据范围：  
·1 <= n <= 1e5  
·1 <= m <= 1e18  
·1 <= a\[i, j\] <= 1e9  
3解题过程  
3.1公式推导：  
a\[i, j\] = a\[i-1, j\] ^ a\[i-1, j+1\]  
即对于a\[i, j\]单个元素：  
a\[0, j\] = a\[0, j\]  
a\[1, j\] = a\[0, j\] ^ a\[0, j+1\]  
a\[2, j\] = a\[1, j\] ^ a\[1, j+1\] = (a\[0, j\] ^ a\[0, j+1\]) ^ (a\[0, j+1\] ^ a\[0, j+2\])  
= a\[0, j\] ^ a\[0, j+1\] ^ a\[0, j+1\] ^ a\[0, j+2\]  
a\[3, j\] = a\[2, j\] ^ a\[2, j+1\] = (······) ^ (······)  
= a\[0, j\] ^ a\[0, j+1\] ^ a\[0, j+1\] ^ a\[0, j+1\] ^ a\[0, j+2\] ^ a\[0, j+2\] ^ a\[0, j+2\] ^ a\[0, j+3\]  
.  
.  
.  
即：  
a\[i, j\] ⇦ a\[0, j\]、a\[0, j+1\]、a\[0, j+2\]、···· 、a\[0, j+i\]  
进而推得：  
a\[x+i, j\] ⇦ a\[x, j\]、a\[x, j+1\]、a\[x, j+2\]、···· 、a\[x, j+i\]

3.2杨辉三角  
将a\[i, j\]由a\[0, j\]、a\[0, j+1\]、a\[0, j+2\]、···· 、a\[0, j+i\]表示，发现系数满足杨辉三角：  
![SouthEast 1][]

3.3异或性质  
·a\[i, j\] ^ a\[i, j\] = 0  
·a\[i, j\] ^ 0 = a\[i, j\]  
通过异或性质a\[i, j\] ^ a\[i, j\] = 0和a\[i, j\] ^ 0 = 0化简系数矩阵  
得新的系数矩阵为：  
0. 1  
1. 1 1  
2. 1 0 1  
3. 1 1 1 1  
4. 1 0 0 0 1  
5. 1 1 0 0 1 1  
6. 1 0 1 0 1 0 1  
7. 1 1 1 1 1 1 1 1  
8. 1 0 0 0 0 0 0 0 1  
9. 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1  
…  
即：  
a\[0, j\] = a\[0, j\]  
a\[1, j\] = a\[0, j\] + a\[0, j+1\]  
a\[2, j\] = a\[0, j\] + a\[0, j+2\]  
a\[3, j\] = a\[0, j\] + a\[0, j+1\] + a\[0, j+2\] + a\[0, j+3\]  
a\[4, j\] = a\[0, j\] + a\[0, j+4\]  
a\[5, j\] = a\[0, j\] + a\[0, j+1\] + a\[0, j+4\] + a\[0, j+5\]  
a\[6, j\] = a\[0, j\] + a\[0, j+2\] + a\[0, j+4\] + a\[0, j+6\]  
a\[7, j\] = a\[0, j\] + a\[0, j+1\] + a\[0, j+2\] + a\[0, j+3\] + a\[0, j+4\] + a\[0, j+5\] + a\[0, j+6\] + a\[0, j+7\]  
a\[8, j\] = a\[0, j\] + a\[0, j+8\]  
a\[9, j\] = a\[0, j\] + a\[0, j+1\] + a\[0, j+8\] + a\[0, j+9\]  
可以发现，对于幂为2的行，只需要通过a\[0, j\]和a\[0, j+i\]两个二项式系数即可计算得到a\[i, j\]，即：  
![SouthEast 2][]

3.4进制表示：  
![SouthEast 3][]

4.【建议参考】题解代码：

#include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    #define N 111111
    int a[N];
    int b[N];
    int n;
    
    void move(int k) {
        // compute the 2^k'th row
        for (int i = 0; i < n; i++) b[i] = a[i] ^ a[(i + (1LL << k)) % n];
    
        // copy back to 'a'
        for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = b[i];
    }
    int main() {
        // take the input
        long long m;
        scanf("%d%lld", &n, &m);
        for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
    
        // compute the answers
        m--;
        for (int k = 0; k < 60; k++) {
            if (m & (1LL << k)) move(k);
        }
    
        // print the answers
        for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", a[i]);
    }

[vjudge题目链接][vjudge]

以下为Accepted代码

#include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    typedef long long LL;
    const int N = 104014;
    
    int n, a[N], b[N];
    
    void move(int k);
    
    int main(){
      LL m;
      while(~scanf("%d %lld", &n, &m)){
        for(int i = 0; i < n; i++)
          scanf("%d", &a[i]);
        m--;
        for(int k = 0; k < 64; k++){
          if(m & (1LL << k)) move(k);
        }
        for(int i = 0; i < n; i++)
          printf("%d%c", a[i], i == n-1? '\n': ' ');
      }
      return 0;
    }
    void move(int k){
      for(int i = 0; i < n; i++)
        b[i] = a[i]^(a[(i+(1LL<<k))%n]);
    
      for(int i = 0; i < n; i++)
        a[i] = b[i];
      return;
    }

[SouthEast]: /images/20220601/1ce474a65e7d4d2e803a563291f6c0cb.png
[SouthEast 1]: /images/20220601/b915d368f8004cf0826d1508a05b5b3a.png
[SouthEast 2]: /images/20220601/e7b140bd6a0c4e62aad0f45f678dee2e.png
[SouthEast 3]: /images/20220601/027f42e61f9f4fb5880430fff58f8f65.png
[vjudge]: https://vjudge.net/problem/HackerRank-xor-matrix