数据挖掘-决策树

「爱情、让人受尽委屈。」 2022-05-21 07:11 229阅读 0赞

### 1.什么是决策树： ###

决策树是以树状结构表示数据分类的结果

![70][]

非叶子结点代表测试的条件。

分支代表测试的结果

### 2.如何构建决策树： ###

´1.信息熵（informationentropy）：是度量样本集合纯度最常用的一种指标。

![70 1][]

2.基尼系数（gini）：是度量样本集合不确定性指标。（基尼指数与熵可近似看做是统一概念，都是越大，确定性越差）

![70 2][]

基尼指数和信息熵的图像：（当熵和基尼指数为0.5时，即确定某件事的概率为50%，是最不能肯定的事件。如：小明后天再路上捡钱的概率为50%，很不确定。如果概率为30%，代表很可能捡不到钱；如果概率为60%，则代表更可能捡到钱。）

![70 3][]

一个小栗子：

![70 4][]

1.系统信息熵：（是，否为好瓜的两个属性）

![70 5][]

2.每个特征的信息熵：（以色泽为例）（先计算出3 个属性的信息熵，依次为：青绿，乌黑，浅白）

![70 6][]

然后，结合3 个属性，计算出特征为色泽的信息熵。

![70 7][]

3.信息增益：

![70 8][]

信息增益大，代表着熵小，所以确定性较高。

得出决策结果

![70 9][]

但是，当我们使用ID编号作为一个特征量的时候

´得到信息熵：

![70 10][]

´信息增益为：

![70 11][]

所以需要使用编号作为根节点吗？显然不可能。

（所以说：ID3决策树倾向于选择属性较多的特征，当这个特征不一定是最优的属性特征。同时，ID3决策树只能处理离散的属性，对于连续的属性，需要在 分类前对其进行离散化。）

C4.5算法：

ID3算法不能处理连续特征， C4.5的思路是将连续的特征离散化。比如 m 个样本的连续特征 A 有m个，从小到大排列为a1,a2,...,am则 C4.5取相邻两样本值的平均数，一共取得 m-1个 划分点，其中第 i 个划分点 Ti 表示为：![T\_i = \\frac\{a\_i+a\_\{i+1\}\}\{2\}][T_i _ _frac_a_i_a_i_1_2]。对于这m-1 个点，分别计算以该点作为二元分类点时的信息增益 。选择信息增益最大的点作为该连续特征的二元离散分类点。比如取到的增益最大的点为 ![a\_\{t\}][a_t],则小于 ![a\_\{t\}][a_t] 的值为类别1，大于![a\_\{t\}][a_t] 的值为类别2，这样我们就做到了连续特征的离散化。要注意的是，与离散属性不同的是，如果当前节点为连续属性，则该属性后面还可以参与子节点的产生选择过程。

因此，引入增益率：

![70 12][]

求得IV（编号）：

![70 13][]

´=1/(17)\*17\*log2（1/(17)）=4.08

´如果一个特征的取值越多，其IV(a)分母也越大。

对于缺失值的解决办法：

> 没有缺失值的数据单纯只是计算一次系统熵不同，有缺失值的需要依据不同的缺失值的权重，计算不同的特征的熵
> 
> 1. 将有缺失值的属性分别分配到所有的分支上，计算缺失值的权重
> 
> 2. 依据新的缺失值的权重计算该特征的熵，计算各属性的熵
> 
> 3. 计算没有缺失值与总的属性数的比重，乘以没有缺失值的信息增益

![20180303103835099][]

scikit-learn中使用的算法就是CART 算法，既能进行模型分类，也可以进行模型的回归。

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> <p><span style="color:#000000;">决策树常见算法</span></p> </td> 
   <td> <p><span style="color:#000000;">ID3</span><span style="color:#000000;">算法</span></p> </td> 
   <td> <p><span style="color:#000000;">C4.5</span><span style="color:#000000;">算法</span></p> </td> 
   <td> <p><span style="color:#000000;">CART</span><span style="color:#000000;">算法</span></p> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td> <p><span style="color:#000000;">结点选择准则</span></p> </td> 
   <td> <p><span style="color:#000000;">信息增益</span></p> </td> 
   <td> <p><span style="color:#000000;">信息增益率</span></p> </td> 
   <td> <p><span style="color:#000000;">基尼系数</span></p> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

![70 14][]

**使用基尼系数作为特征划分规则时：**

![70 4][]

上述使用jini指数作为特征分类标准时，以特定的一个属性作为一部分，另外的全部属性作为另外一部分，来计算jini指数。

### 《统计学习》中CART树的gini指数计算： ###

计算的表格数据，是一个分类问题：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNTg3NTc1_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

计算最佳的特征值和属性值

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNTg3NTc1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

## CART 回归树： ##

原文链接：https://cethik.vip/2016/09/21/machineCAST/

一、概念

### CART全称叫Classification and Regression Tree。首先要强调的是CART假设决策树是二叉树，内部结点特征的取值只有“是”和“否”，左分支是取值为“是”的分支，有分支则相反。这样的决策树等价于递归地二分每个特征。 ###

#  #

# 二、CART生成 #

决策树的生成就是递归地构建二叉决策树的过程，对回归树用平方误差最小化准则，对分类树用基尼指数最小化准则，进行特征选择，生成二叉树。

三、回归树的生成最小二叉回归树生成算法：

1、选择最优切分变量j与切分点s，求解：

## ![Center][] ##

## 遍历变量j，对固定的切分变量j扫描切分点s，选择使上式取得最小值的对(j,s)。其中Rm是被划分的输入空间，Cm空间Rm对应的输出值。 ##

## 2、用选定的对(j,s)划分区域并决定相应的输出值： ##

![Center 1][]

3、继续对两个子区域调用步骤1，直至满足停止条件。

4、将输入空间划分为M个区域R1,R2,...Rm生成决策树：

![Center 2][]

对于决策树建立后做预测的方式，CART分类树采用叶子节点里概率最大的类别作为当前节点的预测类别。而回归树输出不是类别，它采用的是用最终叶子的均值或者中位数来预测输出结果。

CART回归树和CART分类树的建立算法和预测没有什么很大区别。

四、示例

上面的东西有点难以理解，下面举个例子来说明。

训练数据见下表，x的取值范围为区间\[0.5,10.5\]，y的取值范围为区间\[5.0,10.0\]，学习这个回归问题的最小二叉回归树。

求解训练数据的切分点s:

![Center 3][]

容易求得在R1、R2内部使得平方损失误差达到最小值的c1、c2为：

![Center 4][]

这里N1、N2是R1、R2的样本点数。

求训练数据的切分点，根据所给数据，考虑如下切分点：

1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,7.5,8.5,9.5。

对各切分点，不难求出相应的R1、R2、c1、c2及

![Center 5][]

例如，当s=1.5时，R1=\{1\}，R2=\{2,3,...,10\}，c1=5.56，c2=7.50，则

![Center 6][]

现将s及m(s)的计算结果列表如下：

由上表可知，当x=6.5的时候达到最小值，此时R1=\{1,2,...,6\}，R2=\{7,8,9,10\}，c1=6.24，c2=8.9，所以回归树T1(x)为：

![Center 7][]

用f1(x)拟合训练数据的残差见下表，表中r2i=yi-f1(xi),i=1,2,...,10

第2步求T2(x)方法与求T1(x)一样，只是拟合的数据是上表的残差，可以得到：

![Center 8][]

继续求得

![Center 9][]

可以用拟合训练数据的平方损失误差等来作为结束条件。此时

![Center 10][]

假设此时已经满足误差要求，那么f(x)=f6(x)即为所求的回归树。

### CART分类树： ###

算法输入是训练集D，基尼系数的阈值，样本个数阈值。

输出是决策树T。

我们的算法从根节点开始，用训练集递归的建立CART树。

1) 对于当前节点的数据集为D，如果样本个数小于阈值或者没有特征，则返回决策子树，当前节点停止递归。

2) 计算样本集D的基尼系数，如果基尼系数小于阈值，则返回决策树子树，当前节点停止递归。

3) 计算当前节点现有的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数，对于离散值和连续值的处理方法和基尼系数的计算、缺失值的计算方法不同。

4) 在计算出来的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数中，选择基尼系数最小的特征A和对应的特征值a。根据这个最优特征和最优特征值，把数据集划分成两部分D1和D2，同时建立当前节点的左右节点，做节点的数据集D为D1，右节点的数据集D为D2.

5) 对左右的子节点递归的调用1-4步，生成决策树。

对于生成的决策树做预测的时候，假如测试集里的样本A落到了某个叶子节点，而节点里有多个训练样本。则对于A的类别预测采用的是这个叶子节点里概率最大的类别。

### **三种决策树算法的比较：** ###

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>算法</td> 
   <td>支持模型</td> 
   <td>树结构</td> 
   <td>特征选择</td> 
   <td>连续值处理</td> 
   <td>缺失值处理</td> 
   <td>&nbsp;剪枝</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>ID3</td> 
   <td>分类</td> 
   <td>多叉树</td> 
   <td>信息增益</td> 
   <td>不支持</td> 
   <td>&nbsp;不支持</td> 
   <td>&nbsp;不支持</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>C4.5</td> 
   <td>分类</td> 
   <td>多叉树</td> 
   <td>信息增益率</td> 
   <td>支持</td> 
   <td>&nbsp;支持</td> 
   <td>&nbsp;支持</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>CART</td> 
   <td>分类，回归</td> 
   <td>二叉树</td> 
   <td>基尼系数，均方差</td> 
   <td>支持</td> 
   <td>&nbsp;支持</td> 
   <td>&nbsp;支持</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

**决策树算法的优缺点：**

1.决策树算法的优点：

> 　　　　1）简单直观，生成的决策树很直观。
> 
> 　　　　2）基本不需要预处理，不需要提前归一化，处理缺失值。
> 
> 　　　　3）使用决策树预测的代价是O(log2m)。 m为样本数。
> 
> 　　　　4）既可以处理离散值也可以处理连续值。很多算法只是专注于离散值或者连续值。
> 
> 　　　　5）可以处理多维度输出的分类问题。
> 
> 　　　　6）相比于神经网络之类的黑盒分类模型，决策树在逻辑上可以得到很好的解释
> 
> 　　　　7）可以交叉验证的剪枝来选择模型，从而提高泛化能力。
> 
> 　　　　8） 对于异常点的容错能力好，健壮性高。

2.决策树算法的缺点:

> 　　　　1）决策树算法非常容易过拟合，导致泛化能力不强。可以通过设置节点最少样本数量和限制决策树深度来改进。
> 
> 　　　　2）决策树会因为样本发生一点点的改动，就会导致树结构的剧烈改变。这个可以通过集成学习之类的方法解决。
> 
> 　　　　3）寻找最优的决策树是一个NP难的问题，我们一般是通过启发式方法，容易陷入局部最优。可以通过集成学习之类的方法来改善。
> 
> 　　　　4）有些比较复杂的关系，决策树很难学习，比如异或。这个就没有办法了，一般这种关系可以换神经网络分类方法来解决。
> 
> 　　　　5）如果某些特征的样本比例过大，生成决策树容易偏向于这些特征。这个可以通过调节样本权重来改善。

此处 三种决策树的比较 和 决策树的优缺点 均来自于 [刘建平的blog ][blog]

对于不能解决异或问题的理解：

> 4组数据：
> 
> （0,1）输出1
> 
> （1,0）输出1
> 
> （0,0）输出1
> 
> （1,1）输出1
> 
> 由于决策树的划分都是横纵的，可以画图知道，决策树不能解决异或问题。

实例：

#coding=gbk
    #使用ID3决策树预测销量的高低,基于信息熵
    import pandas as pd
    filename = r'D:\datasets\sales_data.xls'
    data = pd.read_excel(filename, index_col= u'序号')        #将序号作为索引
    data[data == u'好'] = 1      #使用1 表示‘好’，是，高，3个属性
    data[data == u'是'] = 1
    data[data == u'高'] = 1
    data[data != 1] = -1
    print(data.head())
    # 序号   天气 是否周末 是否有促销 销量               
    # 1   -1    1     1  1
    # 2   -1    1     1  1
    # 3   -1    1     1  1
    # 4   -1   -1     1  1
    # 5   -1    1     1  1 
    x = data.iloc[:,:3].as_matrix().astype(int)  #将前3列作为输入
    y = data.iloc[:,3].as_matrix().astype(int)#最后列作为标签
    
    #建立决策树
    from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier as DTC
    dtc = DTC(criterion='entropy')  #建立决策树，基于信息熵
    dtc.fit(x,y)
    
    from sklearn.tree import export_graphviz
    from sklearn.externals.six import StringIO
    x = pd.DataFrame(x)
    with open(r'D:\datasets\tree.dot','w') as f:
        f = export_graphviz(dtc, feature_names=x.columns, out_file=f)

安装Graphviz，显示决策树图像，可[参考一篇博客][Link 1]

进入windows命令行界面，cd 切换到`tree.dot`所在的路径，执行

dot -Tpng tree.dot -o tree.png

可获取图像：

![70 15][]

print('------test-------')
    from itertools import product 
    import numpy as np 
    import matplotlib.pyplot as plt 
    from sklearn.datasets import load_iris
    from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
    iris = load_iris()
    X = iris.data[:, [0,2]]
    y = iris.target
     
    clf = DecisionTreeClassifier(max_depth=4)
    clf.fit(X, y)
     
    x_min, x_max = X[:, 0].min()-1, X[:, 0].max()+1
    y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
    print(x_min, x_max)
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.1), np.arange(y_min, y_max, 0.1))
    print(xx.shape)
    print(xx)
    print(yy)
    print(yy.shape)
     
    z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    z = z.reshape(xx.shape)
         
    plt.contourf(xx, yy, z, alpha=0.4)
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, alpha=0.8)
    plt.show()

![70 16][]

\#对iris 数据进行可视化：

from IPython.display import Image 
    from sklearn import tree 
    import pydotplus
    from sklearn.datasets import load_iris
    iris = load_iris()
    X = iris.data 
    y = iris.target
    clf = tree.DecisionTreeClassifier()
    clf.fit(X, y)
    dot_data = tree.export_graphviz(clf, out_file=None, feature_names=iris.feature_names,
                                    class_names = iris.target_names, filled=True,
                                    rounded=True, special_characters=True
                                    )
    graph = pydotplus.graph_from_dot_data(dot_data)
    Image(graph.create_png())

![70 17][]

使用下列程序，将其输出到指定文件。

graph.write_pdf('D:\\datasets\iris.pdf')

决策树的参数：

sklearn.tree.DecisionTreeClassifier
            (criterion='gini', splitter='best', max_depth=None, min_samples_split=2, 
            min_samples_leaf=1,min_weight_fraction_leaf=0.0, max_features=None, 
            random_state=None, max_leaf_nodes=None, min_impurity_decrease=0.0, 
            min_impurity_split=None, class_weight=None, presort=False)

`criterion`:特征选择的标准，有信息增益和基尼系数两种，使用信息增益的是ID3和C4.5算法（使用信息增益比），使用基尼系数的CART算法，默认是gini系数。

`splitter`:特征切分点选择标准，决策树是递归地选择最优切分点，spliter是用来指明在哪个集合上来递归，有“best”和“random”两种参数可以选择，best表示在所有特征上递归，适用于数据集较小的时候，random表示随机选择一部分特征进行递归，适用于数据集较大的时候。

`max_depth`:决策树最大深度，决策树模型先对所有数据集进行切分，再在子数据集上继续循环这个切分过程，max\_depth可以理解成用来限制这个循环次数。

`min_samples_split`:子数据集再切分需要的最小样本量，默认是2，如果子数据样本量小于2时，则不再进行下一步切分。如果数据量较小，使用默认值就可，如果数据量较大，为降低计算量，应该把这个值增大，即限制子数据集的切分次数。

`min_samples_leaf`:叶节点（子数据集）最小样本数，如果子数据集中的样本数小于这个值，那么该叶节点和其兄弟节点都会被剪枝（去掉），该值默认为1。

`min_weight_fraction_leaf`:在叶节点处的所有输入样本权重总和的最小加权分数，如果不输入则表示所有的叶节点的权重是一致的。

`max_features`:特征切分时考虑的最大特征数量，默认是对所有特征进行切分，也可以传入int类型的值，表示具体的特征个数；也可以是浮点数，则表示特征个数的百分比；还可以是sqrt,表示总特征数的平方根；也可以是log2，表示总特征数的log个特征。

`random_state`:随机种子的设置，与LR中参数一致。

`max_leaf_nodes`:最大叶节点个数，即数据集切分成子数据集的最大个数。

`min_impurity_decrease`:切分点不纯度最小减少程度，如果某个结点的不纯度减少小于这个值，那么该切分点就会被移除。

`min_impurity_split`:切分点最小不纯度，用来限制数据集的继续切分（决策树的生成），如果某个节点的不纯度（可以理解为分类错误率）小于这个阈值，那么该点的数据将不再进行切分。

`class_weight`:权重设置，主要是用于处理不平衡样本，与LR模型中的参数一致，可以自定义类别权重，也可以直接使用balanced参数值进行不平衡样本处理。

`presort`:是否进行预排序，默认是False，所谓预排序就是提前对特征进行排序，我们知道，决策树分割数据集的依据是，优先按照信息增益/基尼系数大的特征来进行分割的，涉及的大小就需要比较，如果不进行预排序，则会在每次分割的时候需要重新把所有特征进行计算比较一次，如果进行了预排序以后，则每次分割的时候，只需要拿排名靠前的特征就可以了。

函数方法：

`decision_path(X)`:返回X的决策路径

`fit(X, y)`:在数据集(X,y)上使用决策树模型

`get_params([deep])`:获取模型的参数

`predict(X)`:预测数据值X的标签

`predict_log_proba(X)`:返回每个类别的概率值的对数

`predict_proba(X)`:返回每个类别的概率值（有几类就返回几列值）

`score(X,y)`:返回给定测试集和对应标签的平均准确率

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[70]: /images/20220521/1053aab0ef204ab49501eedcc88fdca2.png
[70 1]: /images/20220521/064a65e21ed34a54ac42438cb03a6845.png
[70 2]: /images/20220521/1a0afbcb291d409590b25238d430537d.png
[70 3]: /images/20220521/e50336cbe15543cfa06740b0dd6dd3c5.png
[70 4]: /images/20220521/350da0025096495e890bb91d0fa59b9f.png
[70 5]: /images/20220521/95af45b08fec49609f9cb5efb09c04e3.png
[70 6]: /images/20220521/4ae4b4e6acfa4d238b8258c40f1f4ad0.png
[70 7]: /images/20220521/4935e731f17b4e329b9ba5e667cf8c93.png
[70 8]: /images/20220521/cb6b59fdb9fb4594b205ff95bcff9125.png
[70 9]: /images/20220521/0c2e22922ef44bafbc70134367679ebd.png
[70 10]: /images/20220521/ebdd8857ff4f4a60b68b403e6cee8e15.png
[70 11]: /images/20220521/6d7f0fdb629140d5bac6b685095db8d0.png
[T_i _ _frac_a_i_a_i_1_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?T_i%20%3D%20%5Cfrac%7Ba_i&plus;a_%7Bi&plus;1%7D%7D%7B2%7D
[a_t]: https://private.codecogs.com/gif.latex?a_%7Bt%7D
[70 12]: /images/20220521/80df6d00043344a2bfa13f7b45c27544.png
[70 13]: /images/20220521/fd5185182d0d47f1a7e17dbdf7cee5f8.png
[20180303103835099]: /images/20220521/d5b270e8c31d4e2e9d073dd52ec8f1aa.png
[70 14]: /images/20220521/c50b802f82d9452384a954f97940993a.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNTg3NTc1_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220521/d397bae6918441df9541263050f45010.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNTg3NTc1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20220521/099abd486db24f83826c444032dcf3d9.png
[Center]: /images/20220521/76f0b459f68d4c06a281094bb09daa84.png
[Center 1]: /images/20220521/c47389898702449f8111e6a960219083.png
[Center 2]: /images/20220521/75cd7f652506442e9ac83bccf55e0ed0.png
[Center 3]: /images/20220521/069bdb31de1a4513b678e6345db76310.png
[Center 4]: /images/20220521/0e419484629f4e20b9f41efbb53274b7.png
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