3的幂的和 51Nod - 1013——同余定理+逆元

青旅半醒 2022-05-19 13:41 193阅读 0赞

3的幂的和  
基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题 收藏 关注  
求：30\+31\+...\+3Nmod1000000007  3 0 + 3 1 + . . . + 3 N m o d 1000000007   
**Input**  
输入一个数N(0<=N<=109)  N ( 0 <= N <= 10 9 )   
**Output**  
输出：计算结果  
**Input示例**  
3  
**Output示例**  
40

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这道题看起来像是让计算等比数列求和的

ans=3N\+1−12  a n s = 3 N + 1 − 1 2

但是这样做的话我是直接错了，后来想到用逆元的方法来计算这一道题

ans=(3N\+1−1)∗x  a n s = ( 3 N + 1 − 1 ) ∗ x

其中

2x≡1mod1000000007  2 x ≡ 1 m o d 1000000007

所以求出  x  x  就能解决这个问题，  x  x  可以利用费马小定理求出

x=21000000005mod1000000007  x = 2 1000000005 m o d 1000000007

或者用拓展欧几里得算法求，即解方程

2x\+1000000007y=1  2 x + 1000000007 y = 1

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code

//#include<bits/stdc++.h>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<string>
    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<map>
    #include<set>
    #include<vector>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    
    ll pow_mod(ll a,ll b,ll c)
    {
        ll ans=1;
        a%=c;
        while(b)
        {
            if(b&1) ans=ans*a%c;
            a=a*a%c;
            b>>=1;
        }
        return ans;
     } 
    
    ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
    {
        if(b==0)
        {
            x=1;
            y=0;
            return a;
        }
        ll r=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
        return r;
    }
    
    ll inv(ll a,ll mod)
    {
        ll x,y;
        ll d=exgcd(a,mod,x,y);
        if(d==1)    return (x%mod+mod)%mod;
        return -1;
    }
    
    int main()
    {
        ll n;
        while(~scanf("%lld",&n))
        {
            ll ans=(pow_mod(3,n+1,1000000007)-1)*inv(2,1000000007)%1000000007;
            printf("%lld\n",ans%1000000007);
        }
        return 0;
    }