A/B——同余定理+逆元（除法逆元）

太过爱你忘了你带给我的痛 2022-05-19 11:18 287阅读 0赞

同余定理:  
数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(modm)  a ≡ b ( m o d m ) 。对模m同余是整数的一个等价关系

(a\+b)%c=(a%c\+b%c)%c  ( a + b ) % c = ( a % c + b % c ) % c

(a∗b)%c=(a%c∗b%c)%c  ( a ∗ b ) % c = ( a % c ∗ b % c ) % c

令

a=k1∗m\+r1b=k2∗m\+r2  a = k 1 ∗ m + r 1 b = k 2 ∗ m + r 2

(a\+b)%m=((k1∗m\+r1)\+(k2∗m\+r2))%m=((k1\+k2)∗m\+(r1\+r2))%m=(r1\+r2)%m=(a%m\+b%m)%m(811)(812)(813)(814)  (811) ( a + b ) % m = ( ( k 1 ∗ m + r 1 ) + ( k 2 ∗ m + r 2 ) ) % m (812) = ( ( k 1 + k 2 ) ∗ m + ( r 1 + r 2 ) ) % m (813) = ( r 1 + r 2 ) % m (814) = ( a % m + b % m ) % m

所以

(a\+b)%m=(a%m\+b%m)  ( a + b ) % m = ( a % m + b % m )

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要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。  
**Input**  
数据的第一行是一个T，表示有T组数据。  
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。  
**Output**  
对应每组数据输出(A/B)%9973。  
**Sample Input**  
2  
1000 53  
87 123456789  
**Sample Output**  
7922  
6060

--------------------

令m=9973  m = 9973 那么

AB%;m=AB∗1%m=AB∗B∗C%m(815)(816)  (815) A B % ; m = A B ∗ 1 % m (816) = A B ∗ B ∗ C % m

即

B∗C%m=1  B ∗ C % m = 1

B∗C≡1modm  B ∗ C ≡ 1 m o d m

所以

C就是B的逆元  C 就 是 B 的 逆 元

已知  B  B  ，可以根据拓展欧几里德算法求得  C  C  ，所以最终的结果就是

A∗Cmod9973  A ∗ C m o d 9973

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由费马小定理可以得出

C=Bm−2(m=9973)  C = B m − 2 ( m = 9973 )

所以

ans=n∗Bm−2%mans=(n%m)∗(Bm−2%m)%m(为了防止数据溢出)  a n s = n ∗ B m − 2 % m a n s = ( n % m ) ∗ ( B m − 2 % m ) % m ( 为 了 防 止 数 据 溢 出 )

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代码:

#include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<string>
    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<map>
    #include<set>
    #include<vector>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int c=9973;
    
    ll pow_mod(ll a,ll b,ll c)
    {
        ll ans=1;
        a%=c;
        while(b)
        {
            if(b&1) ans=ans*a%c;
            a=a*a%c;
            b>>=1;
        }
        return ans;
     } 
    
    ll x,y;
    ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
    {
        if(b==0)
        {
            x=1;
            y=0;
            return a;
        }
        ll r=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
        return r;
    }
    
    
    int main()
    {
        int t;
        scanf("%d",&t);
        while(t--)
        {
            int n,b;
            scanf("%d %d",&n,&b);
            printf("%lld\n",(long long) n*(pow_mod(b,c-2,c)%c)%c);//pow_mod(b,c-2,c)就是B的逆元C 
    
        }
        return 0;
    }