3D数学基础：刚体旋转的实质

柔情只为你懂 2022-05-14 11:46 569阅读 0赞

对于入门3D数学的同学，旋转是绕不过去坎儿。清楚了解刚体旋转的实质，不被各种旋转矩阵、旋转顺序绕晕是非常必要的。

> 此处，先给出旋转的实质，在下面的讲解中去理解这个实质。  
> **旋转刚体其实是旋转刚体的物体坐标系**

### 文章目录 ###

*  第一章、刚体及物体坐标系的概念
 *  第二章、旋转及其对应的矩阵
 *   *  2.1 关于旋转的概念解析
     *   *  2.1.1 多种的绕坐标系旋转形式
         *  2.1.2 欧拉角的定义
         *  2.1.3 静态欧拉角/动态欧拉角
     *  2.2 旋转对应的矩阵
     *   *  1.二维坐标系下的旋转
         *  2.三维坐标系下的旋转
         *   *  2.1 绕X轴进行旋转
             *  2.2 绕Y轴进行旋转
             *  2.3 绕Z轴进行旋转

# 第一章、刚体及物体坐标系的概念 #

刚体是形状和大小不发生变化的物体，骨骼可以视为是刚体，一段不能弯折和拉伸的铁柱也是刚体，一个陶瓷杯也是一个刚体。对于每一个刚体都有一个物体坐标系。物体坐标系的定义可以参考这篇[博客][Link 1]。当然每个刚体上的物体坐标系是人为自行定义的，可以是左手坐标系，也可以是右手坐标系，坐标原点和坐标轴朝向也是自行确定的。最终得到的结果就是，每一个刚体都有一个对应的物体坐标系。

以下是一些刚体及其物体坐标系的展示。  
![这里写图片描述][70] ![这里写图片描述][70 1]  
规则的立方体和球体如上图所示，在U3D中定义物体坐标系位于物体的中心点。下面看稍微复杂的人物场景。  
![这里写图片描述][70 2]  
左手小臂骨骼，我们发现该骨骼对应的物体坐标系原点位于肘关节。并且骨骼与物体坐标系的相对位置关系是骨骼沿Y轴方向。  
![这里写图片描述][70 3]  
左手掌骨，我们发现左手手掌骨的物体坐标系位于腕关节。并且骨骼与物体坐标系的相对位置关系是骨骼沿Y轴方向。

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# 第二章、旋转及其对应的矩阵 #

## 2.1 关于旋转的概念解析 ##

在说明旋转时，有几组概念是不得不去明确的。

### 2.1.1 多种的绕坐标系旋转形式 ###

绕坐标系旋转因为坐标系的多样性，也存在多种，分别是：绕物体坐标系旋转；绕惯性坐标系旋转；绕局部坐标系(父节点物体坐标系)旋转。下面分别进行说明，避免混淆：

**①**绕物体坐标系旋转(体现在Unity3D当中就是Space.Self)，顾名思义就是旋转时候的参考系是自身的物体坐标系。

你可能疑惑了，刚刚说刚体旋转的实质是旋转刚体对应的物体坐标系。那么如何以自身的物体坐标系为参照的同时，还去旋转自身的物体坐标系呢？**具体来说，是以旋转的前一状态的自身物体坐标系为参考系，去旋转自身的物体坐标系。**

② 绕惯性坐标系旋转，更多时候会说绕世界坐标系旋转。在文章中提到惯性坐标系和世界坐标系的轴朝向完全相同，而坐标原点不同，惯性坐标系的坐标原点与物体坐标系的原点重合。

所以所谓的绕世界坐标系旋转其实就是绕惯性坐标系旋转。所以该种情形下是：**以惯性坐标系为参考系，去旋转物体坐标系**。

③绕局部坐标系旋转，局部坐标系的定义很多地方给的不是很明确，可能存在歧义。此处的局部坐标系特指父物体的物体坐标系。如果没有父节点，那么也就没有这一说了。在存在父物体的情形下，将父物体的物体坐标系平移到原点与自身物体坐标系原点重合，以平移之后的父物体坐标系为参考系，旋转自身的物体坐标系。

此处讲一下，为什么要平移！ 我们发现世界坐标系要平移到与物体自身的坐标系原点重合(也就是惯性坐标系)；父物体的物体坐标系也要平移到与自身物体坐标系的原点重合。**难道不平移就不能旋转吗？**，欲知此事，必须了解欧拉角的定义。

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### 2.1.2 欧拉角的定义 ###

欧拉角是在空间中，描述从一个用于表示某个固定的参考系的、已知的方向，经过一系列基本旋转得到、新的代表另一个参考系的方向的方式。因为只有旋转，所以原点位置并没有发生变化。

这个方向可以被想成从一个初始的方向，旋转到其确切位置的方向。如下图中描述，原始的参考系的坐标轴被定义为x,y,z,旋转后的坐标系的坐标轴被定义为X,Y,Z。  
![这里写图片描述][70 4]  
欧拉角是用三个旋转角度 α,β,γ 来标示旋转的。如图，图中蓝色坐标系是起始的坐标系，红色的坐标系是最后旋转完成的坐标系。整个旋转分为三个步骤：

*  将坐标系绕 z 轴旋转 α 角
 *  将旋转后坐标系绕自己本身的 x 轴（也就是图中的 N 轴）旋转 β 角
 *  将旋转后坐标系绕自己本身的 z 轴旋转 γ 角

由于绕不同的轴旋转所得到的欧拉角是不同的，所以欧拉角在使用的时候必须要先指明旋转的顺序，这里使用的是“zxz”的顺序。

在几何和物理中，被旋转的坐标系通常被想象成严格附着在一个刚体上。因此，它被称为一个“本地”坐标系，这也意味着它既代表这个刚体的位置，也代表这个刚体的方向。

本段关于欧拉角定义的内容参考[博客1][1]、[博客2][2]和[维基百科][Link 2]

我们发现，要通过对应的矩阵进行旋转的计算，就需要满足原点重合的要求。在原点不重合的情况下进行旋转当然也是可以的，只是不再符合这种简单的矩阵对应的线性变换，出现了平移变换。

**所以要通过旋转矩阵进行旋转变化， 默认的前提就是参考系和物体坐标系的原点重合。**

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### 2.1.3 静态欧拉角/动态欧拉角 ###

关于静态欧拉角与动态欧拉角的定义摘自[文章][Link 3]，该文章是网上错综乱杂信息中定义较为准确的。

从参考坐标系上区分，将欧拉角分为静态和动态，其中静态欧拉角以绝对坐标系为参考，一般用小写的x-y-z来表示静态坐标系；动态欧拉角以刚体自身的物体坐标系为参考，一般用大写的X-Y-Z表示。

个人理解：静态欧拉角就是与固定轴之间的角度，也就是说自身发生旋转的时候该参考系是不会发生变化的，参考系的轴依旧是固定的。而动态欧拉角中，参考系的轴是随着物体的旋转而发生变化的，物体每旋转一次，其参考系的轴也发生一次变化。

结合来看，我们可以看出绕自身物体坐标系属于动态欧拉角，绕惯性坐标系和绕局部坐标系都属于静态欧拉角。

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## 2.2 旋转对应的矩阵 ##

在了解了旋转的基本情况，以及对应的欧拉角之后，此章节将简单推导旋转矩阵，通过这样的推导过程去反证前面提到的`“所以要通过旋转矩阵进行旋转变化，默认的前提就是参考系和物体坐标系的原点重合”`。

### 1.二维坐标系下的旋转 ###

例如点P(Xa, Ya)，当坐标轴(黑色)逆时针旋转 θ度之后，P点在新坐标系(红色)中的坐标是多少？  
![这里写图片描述][70 5]  
下面的主要工作主要是通过三角形全等和相似的数学方法，求新坐标系(红色)中P点的坐标值。具体的计算过程可以看下面几个图。  
![这里写图片描述][70 6]  
![这里写图片描述][70 7]  
![这里写图片描述][70 8]  
通过上面一系列的数学方法，可以求出P在新坐标系中的坐标为(Xa*cos θ+ Ya*sin θ, -Xa*sin θ+Ya*cos θ)

### 2.三维坐标系下的旋转 ###

**注意：这节中的旋转以右手坐标系为参考系，如果是左手系情况与之不同**  
三维坐标系下的旋转其实就是来源于二维坐标系的旋转，绕某一个轴旋转，就相当于另外两个轴在平面内旋转(即与二维坐标系下的相同)。下面分别展示绕X旋转、绕Y轴旋转、绕Z轴旋转。  
参考资料1：https://www.cnblogs.com/meteoric\_cry/p/7987548.html  
参考资料2：https://blog.csdn.net/csxiaoshui/article/details/65446125  
参考资料3：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%97%8B%E8%BD%AC%E7%9F%A9%E9%98%B5

#### 2.1 绕X轴进行旋转 ####

![这里写图片描述][70 9]  
在三维场景中，当一个点P(x,y,z)绕x轴旋转θ角得到点P’(x’,y’,z’)。由于是绕x轴进行的旋转，因此x坐标保持不变，y和z组成的yoz（o是坐标原点）平面上进行的是一个二维的旋转，可以参考上图（y轴类似于二维旋转中的x轴，z轴类似于二维旋转中的y轴），于是有：

x′=x 
    y′=ycosθ+zsinθ 
    z′=-ysinθ+zcosθ

写成（4x4）矩阵的形式：  
![这里写图片描述][70 10]  
那么对应的旋转矩阵即为：  
![这里写图片描述][70 11]

#### 2.2 绕Y轴进行旋转 ####

![这里写图片描述][70 12]  
绕Y轴的旋转和绕X轴的旋转类似，Y坐标保持不变，除Y轴之外，ZOX组成的平面进行一次二维的旋转（Z轴类似于二维旋转的X轴，X轴类似于二维旋转中的Y轴，注意这里是ZOX，而不是XOZ，观察上图中右手系的图片可以很容易了解到这一点），同样有：

x′=-zsinθ+xcosθ 
    y′=y 
    z′=zcosθ+xsinθ

写成（4x4）矩阵的形式：  
![这里写图片描述][70 13]  
那么对应的旋转矩阵即为：  
![这里写图片描述][70 14]

#### 2.3 绕Z轴进行旋转 ####

![这里写图片描述][70 15]  
与上面类似，绕Z轴旋转，Z坐标保持不变，xoy组成的平面内正好进行一次二维旋转（和上面讨论二维旋转的情况完全一样）

x′=xcosθ+ysinθ 
    y′=-xsinθ+ycosθ 
    z′=z

写成（4x4）矩阵的形式：  
![这里写图片描述][70 16]  
那么对应的旋转矩阵即为：  
![这里写图片描述][70 17]

[Link 1]: https://blog.csdn.net/loongkingwhat/article/details/82109216
[70]: https://img-blog.csdn.net/20180907145349720?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25na2luZ3doYXQ=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70
[70 1]: /images/20220514/b71cd07d22294c4babfedcd6ddb54a73.png
[70 2]: /images/20220514/7354bb997fb741a19a372545bc7b6d57.png
[70 3]: /images/20220514/b1853928c8cd45d5b8bd2643578f685f.png
[70 4]: /images/20220514/e7bda8892f044089bd6bd89cd9246a5f.png
[1]: https://blog.csdn.net/bnrmaster/article/details/47125821
[2]: http://blog.miskcoo.com/2016/12/rotation-in-3d-space
[Link 2]: https://zh.wikipedia.org/zh/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E8%A7%92
[Link 3]: http://cration.rcstech.org/math/2014/02/26/quaternion-and-euler-angles/
[70 5]: /images/20220514/13adf288038f4a5797ce81c4a55e3ec9.png
[70 6]: /images/20220514/4b0ac2d914a745048b79bfe2bdca7da0.png
[70 7]: /images/20220514/c19a7dd268264bb49b42a019028689a2.png
[70 8]: /images/20220514/383ed6c254264bd99103b2a8ddeb3ce9.png
[70 9]: /images/20220514/f8f537da87804f069b040a35fb94e635.png
[70 10]: /images/20220514/52940395ffc541c9b7e85210c0cabe96.png
[70 11]: /images/20220514/5493facf92b44ce2b6b422faf0aa1e92.png
[70 12]: /images/20220514/d1e558aeb93244a8b4b033b6049cf055.png
[70 13]: /images/20220514/cd918f56eed64d7b8f72fcf4556d3067.png
[70 14]: /images/20220514/a084d508dc8d45c49542c4535884b345.png
[70 15]: /images/20220514/6a848edf9b254cb288c19750a0a61502.png
[70 16]: /images/20220514/1633a66db85147b8bcd4ef80e5c77144.png
[70 17]: /images/20220514/fd1cb0e6a15f46c381118ec9f9b898b6.png