每日ACM小题--POJ1006——中国剩余定理的完美诠释 201304（附录POJ_1005水题一枚）...

ゞ浴缸里的玫瑰 2022-05-13 00:06 144阅读 0赞

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# 问题引入 #

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步：

1.  找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
2.  用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加（15\*2+21\*3+70\*2）得到和233。
3.  用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的，有什么基本的数学依据吗？

我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。

# 具体推导 #

首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3\*k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。

有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？

这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。

以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角度出发，我们可推导出以下三点：

1.  为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。
2.  为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。
3.  为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。

因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：

1.  n1除以3余2，且是5和7的公倍数。
2.  n2除以5余3，且是3和7的公倍数。
3.  n3除以7余2，且是3和5的公倍数。

所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。

这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么（a\*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。

最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

# 总结 #

经过分析发现，中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧，就是以下两个基本数学定理的灵活运用：

1.  如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
2.  如果 a%b=c，那么 (a\*k)%b=kc (k为大于零的整数)。

# 题目解法 #

同样，这道题的解法就是：

已知(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i  
使33×28×a被23除余1，用33×28×8=5544；  
使23×33×b被28除余1，用23×33×19=14421；  
使23×28×c被33除余1，用23×28×2=1288。  
因此有（5544×p+14421×e+1288×i）% lcm(23,28,33) =n+d

又23、28、33互质，即lcm(23,28,33)= 21252;  
所以有n=（5544×p+14421×e+1288×i-d）%21252

本题所求的是最小整数解，避免n为负，因此最后结果为n= \[n+21252\]% 21252  
那么最终求解n的表达式就是：

n=(5544\*p+14421\*e+1288\*i-d+21252)%21252;

当问题被转化为一条数学式子时，你会发现它无比简单。。。。直接输出结果了。

## 代码： ##

/*****  简单ACM水题 ********/
    
    /******** written by C_Shit_Hu ************/
    
    POJ_1006///
    
    /****************************************************************************/
    /* 
    中国剩余定理
    */
    /****************************************************************************/ 
    
    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    int main(void)
    {
    	int p,e,i,d;
    	int time=1;
    	while(cin>>p>>e>>i>>d)
    	{
    		if(p==-1 && e==-1 && i==-1 && d==-1)
    			break;
    		
    		int lcm=21252;  // lcm(23,28,33)
    		int n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;
    		if(n==0)
    			n=21252;
    		cout<<"Case "<<time++<<": the next triple peak occurs in "<<n<<" days."<<endl;
    	}
    	return 0;
    }

# 附录： #

这道题的大致意思：

题目看上去很头疼，但是其实核心的内容很简单。就是一道计算半圆面积的问题。输入建造房子的坐标，计算以（0，0）为圆心，该坐标点与圆心距离为半径的半圆的面积，再除以河水每年侵蚀的面积，不足一年取为一年，求得年数。

代码如下：

#include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    
    const double PI=3.1415926;
    
    int main()
    {
        int n;
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            double x,y;
            cin>>x>>y;
            cout<<"Property "<<i<<": This property will begin eroding in year "<<ceil(PI*(x*x+y*y)/100.0)<<"."<<endl;
        }
        cout<<"END OF OUTPUT."<<endl;
        return 0;
    }

【未完待续】。。。