高斯滤波对图像方差有什么影响

心已赠人 2022-05-10 08:20 186阅读 0赞

# 均值与方差 #

首先回忆下均值和方差的定义，若存在 n n n个数为 x 1 , x 2 , … , x n x\_1, x\_2, \\dots, x\_n x1,x2,…,xn，则均值 μ \\mu μ为：

μ = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n \\mu = \\frac\{x\_1+x\_2+\\dots+x\_n\}\{n\} μ=nx1\+x2\+⋯\+xn

**均值衡量的是数值集中在哪个数值附近**。令标准差为 σ \\sigma σ，则方差 σ 2 \\sigma^2 σ2为：

σ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 \\sigma^2 = \\frac\{1\}\{n\} \\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i - \\mu)^2 σ2=n1i=1∑n(xi−μ)2

**标准差用于衡量数值分布距离均值的平均距离，即数据的集中程度。**

# 定性分析 #

定性地分析，高斯滤波（平滑）对图像进行**平滑**，**会让当前像素与周围像素更加接近**，像素间更加接近自然方差会变小。从频域角度，高斯滤波相当于低通滤波，**会移除图像中“突兀”的高频成分**，剩下的自然是相对“不突兀”的部分，反映在方差上就会变小。

# 定量分析 #

定量地看，**若不对图像进行任何假设，认为每个像素符合独立同分布**，其均值和方差分别为 μ \\mu μ和 σ 2 \\sigma^2 σ2，对其进行高斯滤波，假定窗口内共有 n n n个像素，灰度值为 x 1 , x 2 , … , x n x\_1, x\_2, \\dots, x\_n x1,x2,…,xn，对应的高斯权重为 g 1 , g 2 , … , g n g\_1, g\_2, \\dots, g\_n g1,g2,…,gn，有 ∑ i = 1 n g i = 1 , ∀ g i > 0 \\sum\_\{i=1\}^n g\_i = 1, \\forall g\_i>0 ∑i=1ngi=1,∀gi>0，则滤波后的当前像素的值为：

y = ∑ i = 1 n g i x i y = \\sum\_\{i=1\}^\{n\} g\_i x\_i y=i=1∑ngixi

y y y的方差即：

V a r ( y ) = V a r ( ∑ i = 1 n g i x i ) = V a r ( g 1 x 1 + g 2 x 2 + ⋯ + g n x n ) Var(y) = Var(\\sum\_\{i=1\}^\{n\} g\_i x\_i)=Var(g\_1 x\_1 + g\_2 x\_2 +\\dots+g\_n x\_n) Var(y)=Var(i=1∑ngixi)=Var(g1x1\+g2x2\+⋯\+gnxn)

其中当高斯核确定后， **g 1 , g 2 , … , g n g\_1, g\_2, \\dots, g\_n g1,g2,…,gn为常数**，因为 x 1 , x 2 , … , x n x\_1, x\_2, \\dots, x\_n x1,x2,…,xn**相互独立且同分布**，则进一步地

V a r ( y ) = g 1 2 V a r ( x 1 ) + g 2 2 V a r ( x 2 ) + ⋯ + g n 2 V a r ( x n ) = σ 2 ∑ i = 1 n g i 2 Var(y) = g\_1^2 Var(x\_1)+g\_2^2Var(x\_2)+\\dots+g\_n^2Var(x\_n)=\\sigma\_2 \\sum\_\{i=1\}^\{n\}g\_i^2 Var(y)=g12Var(x1)\+g22Var(x2)\+⋯\+gn2Var(xn)=σ2i=1∑ngi2

由上 ∑ i = 1 n g i = 1 , ∀ g i > 0 \\sum\_\{i=1\}^n g\_i = 1, \\forall g\_i>0 ∑i=1ngi=1,∀gi>0， ∀ g i < 1 \\forall g\_i <1 ∀gi<1，则 ∑ i = 1 n g i 2 < 1 \\sum\_\{i=1\}^\{n\}g\_i^2 < 1 ∑i=1ngi2<1，所以 V a r ( y ) = σ 2 ∑ i = 1 n g i 2 < σ 2 Var(y)=\\sigma^2 \\sum\_\{i=1\}^\{n\}g\_i^2 < \\sigma^2 Var(y)=σ2∑i=1ngi2<σ2，即经过高斯滤波后方差变小。

**这里并不限于高斯滤波，对其他平滑滤波器同样试用——只需满足上述权重条件即可，即平滑滤波器将降低图像的方差。**

当然，也可以从连续角度分析，具体可见参考部分。

# 参考 #

*  [the variance of a linear combination][the variance of a linear_combination]
 *  [How Does Gaussian Blur Affect Image Variance][]

出自本人博客：[高斯滤波对图像方差有什么影响][Link 1]

[the variance of a linear_combination]: https://wiki2.org/en/Variance#Properties
[How Does Gaussian Blur Affect Image Variance]: https://dsp.stackexchange.com/questions/26859/how-does-gaussian-blur-affect-image-variance
[Link 1]: https://blog.shinelee.me/2018/09-27-%E9%AB%98%E6%96%AF%E6%BB%A4%E6%B3%A2%E5%AF%B9%E5%9B%BE%E5%83%8F%E6%96%B9%E5%B7%AE%E6%9C%89%E4%BB%80%E4%B9%88%E5%BD%B1%E5%93%8D.html