独立成分分析ICA原理

灰太狼 2022-03-06 12:08 301阅读 0赞

# 独立成分分析ICA原理 #

### 一 简介 ###

经典的鸡尾酒宴会问题（cocktail party problem）: 假设在party中有n个人，他们可以同时说话，我们也在房间中一些角落里共放置了n个声音接收器（Microphone）用来记录声音。

宴会过后，我们从n个[麦克风][Link 1]中得到了一组数据  x ( i ) ( x 1 ( i ) , x 2 ( i ) , ⋯ &ThinSpace; , x n ( i ) ) , i = 1 , ⋯ &ThinSpace; , m x^\{(i)\} (x\_1^\{(i)\},x\_2^\{(i)\},\\cdots,x\_n^\{(i)\}),i=1,\\cdots,m x(i)(x1(i),x2(i),⋯,xn(i)),i=1,⋯,m ， i i i 表示采样的时间顺序，也就是说共得到了  m m m 组采样，每一组采样都是  n n n 维的。我们的目标是单单从这  m m m 组采样数据中分辨出每个人说话的信号。

将第二个问题细化一下，有  n n n 个信号源  s ( s 1 , s 2 , ⋯ &ThinSpace; , s n , s ∈ R ) s(s\_1,s\_2,\\cdots,s\_n, s \\in \\mathbb R) s(s1,s2,⋯,sn,s∈R) , 每一维都是一个人的声音信号，每个人发出的声音信号独立。A是一个未知的混合矩阵（mixing matrix），用来组合叠加信号  s s s，那么  
 X = A s X = As X=As  
 X X X的意义在上文解释过，这里的  X X X不是一个向量，是一个矩阵。其中每个列向量是 x ( i ) , x ( i ) = A s ( i ) x^\{(i)\},x^\{(i)\} = As^\{(i)\} x(i),x(i)=As(i) 。  
![clip\_image033][clip_image033]

x ( i ) x^\{(i)\} x(i)的每个分量都由  s ( i ) s^\{(i)\} s(i) 的分量线性表示。A和 s 都是未知的，X是已知的，我们要想办法根据X来推出s。这个过程也称作为盲信号分离。

令 W = A − 1 W= A^\{-1\} W=A−1 ，则 s ( i ) = A − 1 x ( i ) s^\{(i)\} = A^\{-1\} x^\{(i)\} s(i)=A−1x(i) ，将W表示如下：  
 W = \[ − w 1 T − − w 2 T − . . . − w n T − \] W= \\begin\{bmatrix\} -w\_1^T- \\\\ -w\_2^T- \\\\ . \\\\ . \\\\ . \\\\ -w\_n^T- \\\\ \\end\{bmatrix\} W=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−w1T−−w2T−...−wnT−⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤  
那么，有 s j ( i ) = w j T x ( i ) s\_j^\{(i)\} = w\_j^T x^\{(i)\} sj(i)=wjTx(i) 。

### 二 ICA 算法 ###

ICA算法归功于Bell和Sejnowski，这里使用最大似然估计来解释算法，原始的论文中使用的是一个复杂的方法Infomax principal。

我们假定每个  s j s\_j sj 有概率密度 p s p\_s ps 那么给定时刻原信号的联合分布就是  
 p ( s ) = ∏ j = 1 n p s ( s j ) p(s) = \\prod\\limits\_\{j=1\}^n p\_s(s\_j) p(s)=j=1∏nps(sj)

这个公式代表一个假设前提：每个人发出的声音信号各自独立。有了p(s)，我们可以求得第  i i i 个时间段每个麦克风收集到声音的概率密度p(x)  
 p ( x ) = p s ( W x ) ∣ W ∣ = ∣ W ∣ ∏ j = 1 n p s ( w j T x ) p(x) = p\_s(Wx)|W| = |W|\\prod\\limits\_\{j=1\}^np\_s(w\_j^Tx) p(x)=ps(Wx)∣W∣=∣W∣j=1∏nps(wjTx)  
左边是每个采样信号X（n维向量）的概率，右边是每个原信号概率的乘积的|W|倍。

前面提到过，如果没有先验知识，我们无法求得W和s。因此我们需要知道  p s ( s j ) p\_s(s\_j) ps(sj)，我们打算选取一个概率密度函数赋给s，但是我们不能选取高斯分布的密度函数。在概率论里我们知道密度函数p(x)由累计分布函数（cdf）F(x)求导得到。F(x)要满足两个性质是：单调递增和在\[0,1\]。我们发现sigmoid函数很适合，定义域负无穷到正无穷，值域0到1，缓慢递增。我们假定s的累积分布函数符合sigmoid函数:  
 g ( s ) = 1 1 + e − s g(s) = \\frac\{1\}\{1+e^\{-s\}\} g(s)=1\+e−s1  
求导后  
 p s ( s ) = g ′ ( s ) = e s ( 1 + e s ) 2 p\_s(s) = g&\#x27;(s) = \\frac\{e^s\}\{(1+e^s)^2\} ps(s)=g′(s)=(1\+es)2es

l n g ′ ( s ) = 1 − 2 g ( s ) lng&\#x27;(s) = 1 - 2g(s) lng′(s)=1−2g(s)

p s ( s ) p\_s(s) ps(s) 是s的概率密度函数，这里s是实数，如果我们预先知道s的分布函数，那就不用假设了，但是在缺失的情况下，sigmoid函数能够在大多数问题上取得不错的效果。

知道了 p s ( s ) p\_s(s) ps(s)，就剩下W了。给定采样后的训练样本 x ( i ) ( x 1 ( i ) , x 2 ( i ) , ⋯ &ThinSpace; , x n ( i ) ) , i = 1 , ⋯ &ThinSpace; , m x^\{(i)\} (x\_1^\{(i)\},x\_2^\{(i)\},\\cdots,x\_n^\{(i)\}),i=1,\\cdots,m x(i)(x1(i),x2(i),⋯,xn(i)),i=1,⋯,m，  
整个前提是每个时间段的不同生源是相互独立的，同一个生源信号接收器在不同时间段也是相互独立的。  
样本对数似然估计如下：

用s的分布函数的导数表示s的概率密度函数：  
 p ( x ( i ) ) = ∣ W ∣ ∏ j = 1 n p s ( w j T x ( i ) ) = ∇ ∣ W ∣ ∏ j = 1 n g ′ ( w j T x ( i ) ) p(x^\{(i)\}) = |W|\\prod\\limits\_\{j=1\}^np\_s(w\_j^Tx^\{(i)\}) \\\\ = \\nabla\_\{|W|\}\\prod\\limits\_\{j=1\}^ng&\#x27;(w\_j^Tx^\{(i)\}) \\\\ p(x(i))=∣W∣j=1∏nps(wjTx(i))=∇∣W∣j=1∏ng′(wjTx(i))  
求n个麦克风在各个频段收集到声音信号的概率密度：  
 ∏ i = 1 m ∇ ∣ W ∣ ∏ j = 1 n g ′ ( w j T x ( i ) ) \\prod\\limits\_\{i=1\}^\{m\} \\nabla\_\{|W|\}\\prod\\limits\_\{j=1\}^ng&\#x27;(w\_j^Tx^\{(i)\}) i=1∏m∇∣W∣j=1∏ng′(wjTx(i))  
线性形式的行列式的求导公式：  
 ∂ d e t ( X ) ∂ X = ( X ∗ ) T = d e t ( X ) ( X − 1 ) T \\frac\{\\partial\{det(X)\}\}\{\\partial\{X\}\} = (X^\*)^T = det(X)(X^\{-1\})^T ∂X∂det(X)=(X∗)T=det(X)(X−1)T  
所以  
 ∇ ∣ W ∣ = d e t ( W ) ( W − 1 ) T = ∣ W ∣ ( W − 1 ) T ⇒ l n ′ ( ∣ W ∣ ( W − 1 ) T ) = ( W − 1 ) T \\nabla\_\{|W|\} = det(W)(W^\{-1\})^T = |W|(W^\{-1\})^T \\\\ \\Rightarrow ln&\#x27;(|W|(W^\{-1\})^T) =(W^\{-1\})^T ∇∣W∣=det(W)(W−1)T=∣W∣(W−1)T⇒ln′(∣W∣(W−1)T)=(W−1)T  
构造样本对数似然函数：  
 ℓ ( W ) = l n ( ∏ i = 1 m ( ∇ ∣ W ∣ ∏ j = 1 n g ′ ( w j T x ( i ) ) ) ) = ∑ i = 1 m l n ( ∇ ∣ W ∣ ∑ j = 1 n g ′ ( w j T x ( i ) ) ) = ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n l n g ′ ( w j T x ( i ) ) + l n ∣ W ∣ ) ) \\ell (W) = ln(\\prod\\limits\_\{i=1\}^\{m\}( \\nabla\_\{|W|\}\\prod\\limits\_\{j=1\}^ng&\#x27;(w\_j^Tx^\{(i)\}) ) )\\\\ = \\sum\\limits\_\{i=1\}^m ln(\\nabla\_\{|W|\}\\sum\\limits\_\{j=1\}^ng&\#x27;(w\_j^Tx^\{(i)\})) \\\\ = \\sum\\limits\_\{i=1\}^m (\\sum\\limits\_\{j=1\}^nln g&\#x27;(w\_j^Tx^\{(i)\}) + ln|W| )) \\\\ ℓ(W)=ln(i=1∏m(∇∣W∣j=1∏ng′(wjTx(i))))=i=1∑mln(∇∣W∣j=1∑ng′(wjTx(i)))=i=1∑m(j=1∑nlng′(wjTx(i))\+ln∣W∣))  
然后再用梯度上升法求W：  
 W : = W + α ( \[ 1 − 2 g ( w 1 T x ( i ) ) 1 − 2 g ( w 2 T x ( i ) ) ⋮ 1 − 2 g ( w n T x ( i ) ) \] x ( i ) T + ( W − 1 ) T ) W := W + \\alpha \\left( \\begin\{array\}\{ccc\} \\begin\{bmatrix\} 1 - 2g(w\_1^Tx^\{(i)\}) \\\\ 1 - 2g(w\_2^Tx^\{(i)\}) \\\\ \\vdots \\\\ 1 - 2g(w\_n^Tx^\{(i)\}) \\end\{bmatrix\} \\end\{array\}x^\{(i)T \} + (W^\{-1\})^T \\right) W:=W\+α⎝⎜⎜⎜⎛⎣⎢⎢⎢⎡1−2g(w1Tx(i))1−2g(w2Tx(i))⋮1−2g(wnTx(i))⎦⎥⎥⎥⎤x(i)T\+(W−1)T⎠⎟⎟⎟⎞  
其中  α \\alpha α是梯度上升速率。当迭代求出W后，便可得到  s ( i ) = W x ( i ) s^\{(i)\} = W x^\{(i)\} s(i)=Wx(i)来还原出原始信号。

**注意** : 我们计算最大似然估计时，假设了  x ( i ) x^\{(i)\} x(i)与  x ( j ) x^\{(j)\} x(j) 之间是独立的，然而对于语音信号或者其他具有时间连续依赖特性（比如温度）上，这个假设不能成立。但是在数据足够多时，假设独立对效果影响不大，同时如果事先打乱样例，并运行随机梯度上升算法，那么能够加快收敛速度。

回顾一下鸡尾酒宴会问题，s是人发出的信号，是连续值，不同时间点的s不同，每个人发出的信号之间独立  s i s\_i si 和 s j s\_j sj之间独立）。s的累计概率分布函数是sigmoid函数，但是所有人发出声音信号都符合这个分布。A（W的逆阵）代表了s相对于x的位置变化，x是s和A变化后的结果。

Reference:

[【机器学习-斯坦福】学习笔记16 独立成分分析（Independent Component Analysis）][-_16 _Independent Component Analysis]

[吴恩达机器学习课程之ICA][ICA]

[独立成分分析 ( ICA ) 与主成分分析 ( PCA ) 的区别在哪里？（知乎）][_ ICA _ _ _ PCA _]

[Link 1]: https://www.baidu.com/s?wd=%E9%BA%A6%E5%85%8B%E9%A3%8E&tn=24004469_oem_dg&rsv_dl=gh_pl_sl_csd
[clip_image033]: /images/20220303/22f321e311854399be9157a845c6abb5.png
[-_16 _Independent Component Analysis]: https://blog.csdn.net/u012409883/article/details/17091299
[ICA]: http://cs229.stanford.edu/notes/cs229-notes11.pdf
[_ ICA _ _ _ PCA _]: https://www.zhihu.com/question/28845451/answer/42292804