主成分分析（PCA）原理总结

Dear 丶 2021-11-23 23:48 321阅读 0赞

主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。一般我们提到降维最容易想到的算法就是PCA，下面我们就对PCA的原理做一个总结。

# 一、PCA的思想 #

PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据\$(x^\{(1)\},x^\{(2)\},...,x^\{(m)\})\$。我们希望将这m个数据的维度从n维降到n'维，希望这m个n'维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n'维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n'维的数据尽可能表示原来的数据呢？

我们先看看最简单的情况，也就是n=2，n'=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，\$u\_1\$和\$u\_2\$，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出，\$u\_1\$比\$u\_2\$好。

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为什么\$u\_1\$比\$u\_2\$好呢？可以有两种解释，第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近，第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。

假如我们把n'从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。

基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。

# 二、PCA的推导:基于最小投影距离 #

我们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。

假设m个n维数据\$(x^\{(1)\}, x^\{(2)\},...,x^\{(m)\})\$都已经进行了中心化，即\$\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}x^\{(i)\}=0\$。经过投影变换后得到的新坐标系为\$\\\{w\_1,w\_2,...,w\_n\\\}\$,其中\$w\$是标准正交基，即\$||w||\_2=1, w\_i^Tw\_j=0\$。

如果我们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为\$\\\{w\_1,w\_2,...,w\_\{n'\}\\\}\$,样本点\$x^\{(i)\}\$在n'维坐标系中的投影为：\$z^\{(i)\} = (z\_1^\{(i)\}, z\_2^\{(i)\},...,z\_\{n'\}^\{(i)\})^T\$.其中，\$z\_j^\{(i)\} = w\_j^Tx^\{(i)\}\$是\$x^\{(i)\}\$在低维坐标系里第j维的坐标。

如果我们用\$z^\{(i)\}\$来恢复原始数据\$x^\{(i)\}\$,则得到的恢复数据\$\\overline\{x\}^\{(i)\} = \\sum\\limits\_\{j=1\}^\{n'\}z\_j^\{(i)\}w\_j = Wz^\{(i)\}\$,其中，W为标准正交基组成的矩阵。

现在我们考虑整个样本集，我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：  
\\\[ \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}||\\overline\{x\}^\{(i)\} - x^\{(i)\}||\_2^2 \\\]

将这个式子进行整理，可以得到:

\\\[ \\begin\{align\} \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}||\\overline\{x\}^\{(i)\} - x^\{(i)\}||\_2^2 & = \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}|| Wz^\{(i)\} - x^\{(i)\}||\_2^2 \\\\& = \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}(Wz^\{(i)\})^T(Wz^\{(i)\}) - 2\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}(Wz^\{(i)\})^Tx^\{(i)\} + \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\} x^\{(i)T\}x^\{(i)\} \\\\& = \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}z^\{(i)T\}z^\{(i)\} - 2\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}z^\{(i)T\}W^Tx^\{(i)\} +\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\} x^\{(i)T\}x^\{(i)\} \\\\& = \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}z^\{(i)T\}z^\{(i)\} - 2\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}z^\{(i)T\}z^\{(i)\}+\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\} x^\{(i)T\}x^\{(i)\}  \\\\& = - \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}z^\{(i)T\}z^\{(i)\} + \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\} x^\{(i)T\}x^\{(i)\}  \\\\& =   -tr( W^T（\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}x^\{(i)\}x^\{(i)T\})W)  + \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\} x^\{(i)T\}x^\{(i)\} \\\\& =  -tr( W^TXX^TW)  + \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\} x^\{(i)T\}x^\{(i)\}  \\end\{align\} \\\]

其中第（1）步用到了\$\\overline\{x\}^\{(i)\}=Wz^\{(i)\} \$,第二步用到了平方和展开，第（3）步用到了矩阵转置公式\$(AB)^T =B^TA^T\$和\$W^TW=I\$,第（4）步用到了\$z^\{(i)\}=W^Tx^\{(i)\}\$，第（5）步合并同类项，第（6）步用到了\$z^\{(i)\}=W^Tx^\{(i)\}\$和矩阵的迹,第7步将代数和表达为矩阵形式。

注意到\$\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}x^\{(i)\}x^\{(i)T\}\$是数据集的协方差矩阵，W的每一个向量\$w\_j\$是标准正交基。而\$\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\} x^\{(i)T\}x^\{(i)\}\$是一个常量。最小化上式等价于：  
\\\[ \\underbrace\{arg\\;min\}\_\{W\}\\;-tr( W^TXX^TW) \\;\\;s.t. W^TW=I \\\]

这个最小化不难，直接观察也可以发现最小值对应的W由协方差矩阵\$XX^T\$最大的n'个特征值对应的特征向量组成。当然用数学推导也很容易。利用拉格朗日函数可以得到  
\\\[ J(W) = -tr( W^TXX^TW + \\lambda(W^TW-I)) \\\]

对W求导有\$-XX^TW+\\lambda W=0\$, 整理下即为：  
\\\[ XX^TW=\\lambda W \\\]

这样可以更清楚的看出，W为\$XX^T\$的n'个特征向量组成的矩阵，而\$\\lambda\$为\$XX^T\$的若干特征值组成的矩阵，特征值在主对角线上，其余位置为0。当我们将数据集从n维降到n'维时，需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用\$z^\{(i)\}=W^Tx^\{(i)\}\$,就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。

如果你熟悉谱聚类的优化过程，就会发现和PCA的非常类似，只不过谱聚类是求前k个最小的特征值对应的特征向量，而PCA是求前k个最大的特征值对应的特征向量。

# 三、PCA的推导:基于最大投影方差 #

现在我们再来看看基于最大投影方差的推导。

对于任意一个样本\$x^\{(i)\}\$，在新的坐标系中的投影为\$W^Tx^\{(i)\}\$,在新坐标系中的投影方差为\$W^Tx^\{(i)\}x^\{(i)T\}W\$，要使所有的样本的投影方差和最大，也就是最大化$ \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}W^Tx^\{(i)\}x^\{(i)T\}W$的迹,即：  
\\\[ \\underbrace\{arg\\;max\}\_\{W\}\\;tr( W^TXX^TW) \\;\\;s.t. W^TW=I \\\]

观察第二节的基于最小投影距离的优化目标，可以发现完全一样，只是一个是加负号的最小化，一个是最大化。

利用拉格朗日函数可以得到  
\\\[ J(W) = tr( W^TXX^TW + \\lambda(W^TW-I)) \\\]

对W求导有\$XX^TW+\\lambda W=0\$, 整理下即为：  
\\\[ XX^TW=（-\\lambda）W \\\]

和上面一样可以看出，W为\$XX^T\$的n'个特征向量组成的矩阵，而\$-\\lambda\$为\$XX^T\$的若干特征值组成的矩阵，特征值在主对角线上，其余位置为0。当我们将数据集从n维降到n'维时，需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用\$z^\{(i)\}=W^Tx^\{(i)\}\$,就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。

# 四、PCA算法流程 #

从上面两节我们可以看出，求样本\$x^\{(i)\}\$的n'维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵\$XX^T\$的前n'个特征值对应特征向量矩阵W，然后对于每个样本\$x^\{(i)\}\$,做如下变换\$z^\{(i)\}=W^Tx^\{(i)\}\$，即达到降维的PCA目的。

下面我们看看具体的算法流程。

输入：n维样本集\$D=(x^\{(1)\}, x^\{(2)\},...,x^\{(m)\})\$，要降维到的维数n'.

输出：降维后的样本集\$D'\$

1) 对所有的样本进行中心化： \$x^\{(i)\} = x^\{(i)\} - \\frac\{1\}\{m\}\\sum\\limits\_\{j=1\}^\{m\} x^\{(j)\}\$

2) 计算样本的协方差矩阵\$XX^T\$

3) 对矩阵\$XX^T\$进行特征值分解

4）取出最大的n'个特征值对应的特征向量\$(w\_1,w\_2,...,w\_\{n'\})\$, 将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。

5）对样本集中的每一个样本\$x^\{(i)\}\$,转化为新的样本\$z^\{(i)\}=W^Tx^\{(i)\}\$

6) 得到输出样本集\$D' =(z^\{(1)\}, z^\{(2)\},...,z^\{(m)\})\$

有时候，我们不指定降维后的n'的值，而是换种方式，指定一个降维到的主成分比重阈值t。这个阈值t在（0,1\]之间。假如我们的n个特征值为\$\\lambda\_1 \\geq \\lambda\_2 \\geq ... \\geq \\lambda\_n\$,则n'可以通过下式得到:  
\\\[ \\frac\{\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{n'\}\\lambda\_i\}\{\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{n\}\\lambda\_i\} \\geq t \\\]

# 五、PCA实例 #

下面举一个简单的例子，说明PCA的过程。

假设我们的数据集有10个二维数据(2.5,2.4), (0.5,0.7), (2.2,2.9), (1.9,2.2), (3.1,3.0), (2.3, 2.7), (2, 1.6), (1, 1.1), (1.5, 1.6), (1.1, 0.9)，需要用PCA降到1维特征。

首先我们对样本中心化，这里样本的均值为(1.81, 1.91),所有的样本减去这个均值后，即中心化后的数据集为(0.69, 0.49), (-1.31, -1.21), (0.39, 0.99), (0.09, 0.29), (1.29, 1.09), (0.49, 0.79), (0.19, -0.31), (-0.81, -0.81), (-0.31, -0.31), (-0.71, -1.01)。

现在我们开始求样本的协方差矩阵，由于我们是二维的，则协方差矩阵为：

\\\[ \\mathbf\{XX^T\} = \\left( \\begin\{array\}\{ccc\} cov(x\_1,x\_1) & cov(x\_1,x\_2)\\\\   cov(x\_2,x\_1) & cov(x\_2,x\_2) \\end\{array\} \\right) \\\]

对于我们的数据，求出协方差矩阵为：

\\\[ \\mathbf\{XX^T\} = \\left( \\begin\{array\}\{ccc\} 0.616555556 & 0.615444444\\\\   0.615444444 & 0.716555556 \\end\{array\} \\right) \\\]

求出特征值为（0.0490833989， 1.28402771），对应的特征向量分别为：\$(0.735178656, 0.677873399)^T\\;\\; (-0.677873399, -0.735178656)^T\$,由于最大的k=1个特征值为1.28402771，对于的k=1个特征向量为\$(-0.677873399, -0.735178656)^T\$. 则我们的W=\$(-0.677873399, -0.735178656)^T\$

我们对所有的数据集进行投影\$z^\{(i)\}=W^Tx^\{(i)\}\$，得到PCA降维后的10个一维数据集为：(-0.827970186， 1.77758033， -0.992197494， -0.274210416， -1.67580142， -0.912949103， 0.0991094375， 1.14457216, 0.438046137， 1.22382056)

# 六、核主成分分析KPCA介绍 #

在上面的PCA算法中，我们假设存在一个线性的超平面，可以让我们对数据进行投影。但是有些时候，数据不是线性的，不能直接进行PCA降维。这里就需要用到和支持向量机一样的核函数的思想，先把数据集从n维映射到线性可分的高维N>;n,然后再从N维降维到一个低维度n', 这里的维度之间满足n'<;n<;N。

使用了核函数的主成分分析一般称之为核主成分分析(Kernelized PCA, 以下简称KPCA。假设高维空间的数据是由n维空间的数据通过映射\$\\phi\$产生。

则对于n维空间的特征分解：  
\\\[  \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}x^\{(i)\}x^\{(i)T\}W=\\lambda W \\\]

映射为：  
\\\[  \\sum\\limits\_\{i=1\}^\{m\}\\phi(x^\{(i)\})\\phi(x^\{(i)\})^TW=\\lambda W \\\]

通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，然后用和PCA一样的方法进行降维。一般来说，映射\$\\phi\$不用显式的计算，而是在需要计算的时候通过核函数完成。由于KPCA需要核函数的运算，因此它的计算量要比PCA大很多。

# 七、PCA算法总结 #

这里对PCA算法做一个总结。作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如第六节的为解决非线性降维的KPCA，还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA，以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。

PCA算法的主要优点有：

1）仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。

2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。

3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

PCA算法的主要缺点有：

1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。

2）方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。

祝大家新年快乐！

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