深度解析RANSAC算法（精华修正版）

深碍√TFBOYSˉ_ 2022-01-23 09:25 347阅读 0赞

RANSAC算法看似简单，实际上还是有很多坑的，网上有一些关于RANSAC算法的介绍不准确，或者说不全面。

之前我写过一个rnsac算法简介的博客，那么这篇博客将带你再次填这个大坑！

**目录**

1. RANSAC算法论述

2. RANSAC算法示例（线性回归）

3. 反思与总结

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算法流程如下：

### ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzc5NTM5NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70][] ###

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> ### 1. RANSAC算法论述 ###

首先让我们看一份高质量RANSAC算法论述@\_@

**RANSAC**是“RANdom SAmple Consensus（随机抽样一致）”的缩写。它可以从一组包含“局外点”的观测数据集中，通过迭代方式估计数学模型的参数。它是一种不确定的算法——它有一定的概率得出一个合理的结果；为了提高概率必须提高迭代次数。该算法最早由Fischler和Bolles于1981年提出。**核心思想就是随机性和假设性**，随机性用于减少计算，循环次数是利用正确数据出现的概率。所谓的假设性，就是说随机抽出来的数据都认为是正确的，并以此去计算其他点，获得其他满足变换关系的点，然后利用投票机制，选出获票最多的那一个变换。

**RANSAC的基本假设**是：  
（1）数据由“局内点”组成，例如：数据的分布可以用一些模型参数来解释；  
（2）“局外点”是不能适应该模型的数据；  
（3）除此之外的数据属于噪声。  
局外点产生的原因有：噪声的极值；错误的测量方法；对数据的错误假设。

**RANSAC与最小二乘区别：**最小二乘法尽量去适应包括局外点在内的所有点。相反，RANSAC能得出一个仅仅用局内点计算出模型，并且概率还足够高。但是，RANSAC并不能保证结果一定正确，为了保证算法有足够高的合理概率，必须小心的选择算法的参数（参数配置）。经实验验证，对于包含80%误差的数据集，RANSAC的效果远优于直接的最小二乘法。

**验证思路：**RANSAC算法的输入是一组观测数据，一个可以解释或者适应于观测数据的参数化模型，一些可信的参数。  
RANSAC通过**反复选择数据中的一组随机子集**来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：  
1.有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。  
2.用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。  
3.如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。  
4.然后，用所有假设的局内点去重新估计模型，因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。  
5.最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。  
这个过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。

**参数选择：**  
根据特定的问题和数据集通过实验来确定**参数 t 和 d**。然而**参数 k**（迭代次数）可以从理论结果推断。当估计模型参数时，用 **p**表示一些迭代过程中从数据集内随机选取出的点均为局内点的概率；此时，结果模型很可能有用，因此 **p**也表征了算法产生有用结果的概率。用 **w**表示每次从数据集中选取一个局内点的概率，如下式所示：  
 **w = 局内点的数目 / 数据集的数目**  
通常情况下，我们事先并不知道w的值，但是可以给出一些鲁棒的值。假设估计模型需要选定n个点，***w^**n***是所有n个点均为局内点的概率；**1 − *w^**n***是n个点中至少有一个点为局外点的概率，此时表明我们从数据集中估计出了一个不好的模型。 (1 − *w**n*)*k*表示算法永远都不会选择到n个点均为局内点的概率，它和1-p相同。因此，  
 **1 − *p* = (1 − *w^**n*)^*k***  
我们对上式的两边取对数，得出  
![2011030818233619.png][]  
值得注意的是，这个结果假设n个点都是**独立选择**的；也就是说，某个点被选定之后，它可能会被后续的迭代过程重复选定到。这种方法通常都不合理，由此推导出的k值被看作是选取不重复点的上限。例如，要从数据集寻找适合的直线，RANSAC算法通常在每次迭代时选取2个点，计算通过这两点的直线**maybe\_model**，要求这两点必须唯一。  
为了得到更可信的参数，标准偏差或它的乘积可以被加到k上。k的标准偏差定义为：  
![2011030818234870.png][]

**注：请注意上面紫色字体的内容！**

**优点与缺点——**  
RANSAC的优点是它能鲁棒的估计模型参数。例如，它能从包含大量局外点的数据集中估计出高精度的参数。RANSAC的缺点是它计算参数的迭代次数没有上限；如果设置迭代次数的上限，得到的结果可能不是最优的结果，甚至可能得到错误的结果。RANSAC只有一定的概率得到可信的模型，概率与迭代次数成正比。RANSAC的另一个缺点是它要求设置跟问题相关的阀值。  
RANSAC只能从特定的数据集中估计出一个模型，如果存在两个（或多个）模型，RANSAC不能找到别的模型。

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> ### 2. RANSAC算法示例（线性回归） ###

下面结合一份线性回归的代码来看：

> 拟合二维平面中的带噪音直线，其中有不超过10%的样本点远离了直线，另外90%的样本点可能有高斯噪声的偏移
> 
> 要求输出为
> 
> ax+by+c＝0的形式  
> 其中a > 0 且 a^2 + b^2 = 1  
> 输入描述:
> 
> 第一个数n表示有多少个样本点 之后n\*2个数 每次是每个点的x 和y
> 
> 输出描述:
> 
> 输出a,b,c三个数，至多可以到6位有效数字
> 
> 示例1
> 
> 输入
> 
> 5  
> 3 4  
> 6 8  
> 9 12  
> 15 20  
> 10 -10
> 
> 输出
> 
> \-0.800000 0.600000 0.000000
> 
> 说明
> 
> 本题共有10个测试点，每个点会根据选手输出的参数计算非噪音数据点的拟合误差E，并根据E来对每个数据点进行评分0-10分  
> 输入数据的范围在-10000

#include <cmath>
    #include <cstdlib>
    #include <ctime>
    #include <iostream>
    #include <limits>
    #include <tuple>
    #include <vector>
       
    using real = float;
    using namespace std;
       
    class Point2D {
    public:
        real x, y;
           
    public:
        Point2D(real x_ = 0, real y_ = 0) :
            x(x_), y(y_) {}
           
        bool operator == (const Point2D& p) {
            return fabs(x - p.x) < 1e-3 && fabs(y - p.y) < 1e-3;
        }
    };
       
    class Solution {
    public:
        vector<real> ransaclr(vector<Point2D>& pts, real outlier_prob = 0.1, real accept_prob = 1e-3, real threshold = 10.0) {
            int n = pts.size();
            real sample_fail_prob = 1 - (1 - outlier_prob) * (1 - outlier_prob);
            int K = log(accept_prob) / log(sample_fail_prob);
               
            real a_res, b_res, c_res;
            real min_error = numeric_limits<real>::max();
               
            //cout << "K = " << K << endl;
            for (int k = 0; k < K; ++k) {
                Point2D p1, p2;
                while (p1 == p2) {
                    p1 = pts[rand() % n];    // n maybe greater than 65535
                    p2 = pts[rand() % n];
                }
                   
                //cout << "p1 = " << p1.x << " " << p1.y << endl;
                //cout << "p2 = " << p2.x << " " << p2.y << endl;
                   
                real a, b, c;
                a = p1.y - p2.y;
                b = p2.x - p1.x;
                c = p1.x * p2.y - p1.y * p2.x;
                real t = sqrt(a * a + b * b);
                a /= t;
                b /= t;
                c /= t;
                   
                //cout << a << " " << b << " " << c << endl;
                   
                real error = 0.0;
                int inliers = 0;
                for (int i = 0; i < n; ++i) {
                    real dis = fabs(a * pts[i].x + b * pts[i].y + c);
                    if (dis < threshold) {
                        ++inliers;
                        error += dis;
                    }
                }
                   
                //cout << "inliers = " << inliers << endl;
                //cout << "error = " << error << endl;
                   
                if (static_cast<real>(inliers) / static_cast<real>(n) > 0.7) {
                    if (error < min_error) {
                        min_error = error;
                        a_res = a;
                        b_res = b;
                        c_res = c;
                    }
                }
            }
               
            return vector<real>{ a_res, b_res, c_res };
        }
    };
       
    int main() {
        int n;
        cin >> n;
        vector<Point2D> pts(n);
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            cin >> pts[i].x >> pts[i].y;
           
        srand((unsigned)time(nullptr));
        auto params = Solution().ransaclr(pts, 0.1, 1e-4, 10.0);
        cout << params[0] << " " << params[1] << " " << params[2] << endl;
           
        return 0;
    }

> ### 3. 反思与总结 ###

上述代码是商汤科技2018年的笔试题，答案来自牛客网上的标准答案，但是！！！

**1------------------**

用 **w**表示每次从数据集中选取一个局内点的概率，如下式所示：**w = 局内点的数目 / 数据集的数目**  
通常情况下，我们事先并不知道w的值，但是可以给出一些鲁棒的值。假设估计模型需要选定n个点，***w**^n***是所有n个点均为局内点的概率；**1 − *w**n***是n个点中至少有一个点为局外点的概率，此时表明我们从数据集中估计出了一个不好的模型。 (1 − *w**n*)*k*表示算法永远都不会选择到n个点均为局内点的概率，它和1-p相同。  **1 − *p* = (1 − *w**^n*)*^k***

![2011030818233619.png][]

**这道题中，用来计算参数模型的点为两个，n = 2，点是内点的概率为0.9，两个点都为内点的概率为0.9\*0.9， 两个点中至少有一个为外点的概率为 1 - w^n = 1 - 0.9\*0.9 ，这是k的计算表达中的分母。p为算法K次迭代后接受的概率，1 - p就是不接受的概率（k次迭代中每次随机选择都有外点），这是分子，此处可以看出代码中的函数名有误。**

**或一种说法： 其中，p为置信度，一般取0.995；w为"内点"的比例 ; n为计算模型所需要的最少样本数。**

**2---------------------**

如果你真的结合RANSAC思想和代码来比对，会发现有BUG。 请注意第一部分中的那两句紫色的话

> RANSAC通过**反复选择数据中的一组随机子集**来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：  
> 1.有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。  
> 2.用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。  
> 3.如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。  
> 4.然后，用所有假设的局内点去重新估计模型，因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。  
> 5.最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。

代码中首先判断

static_cast<real>(inliers) / static_cast<real>(n) > 0.7

**也就是说内点足够多，比例大于0.7，说明模型合理。**

**然后我们需要用所有的内点重新估计模型，比如说我们可以用最小二乘法，根据这些内点线性拟合更新abc参数的值。 接下来评估模型好坏。**

**然而，我们在衡量模型的好坏（评估模型）的时候，不是用内点数量（有时候情况会用内点数量来衡量）来看，也不是用所有点来评估模型，而是用此时所有的内点来评估。也就是说，这道题中min\_error应该使用所有的内点来计算，而不是代码中所有的点。**

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzc5NTM5NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220123/0039db0edc57472bab52c09c48710233.png
[2011030818233619.png]: /images/20220123/cec79bc91eea4eb3ad1706f7393f08d6.png
[2011030818234870.png]: /images/20220123/4d79d6c640fd4f08b60343200faa45b0.png