BZOJ1485:[HNOI2009]有趣的数列(卡特兰数)

深碍√TFBOYSˉ_ 2022-01-10 03:49 155阅读 0赞

## Description ##

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列\{ai\}；

(2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1，所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n；

(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1<a2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

## Input ##

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

## Output ##

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

## Sample Input ##

3 10

## Sample Output ##

5  
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

## Solution ##

卡特兰数。每次找最前面的奇数/偶数位置放，显然若偶数位不多于奇数位就是合法的，然后就成了卡特兰数。

我才不会说我一开始是先直接猜了个卡特兰数交上去的

## Code ##

1 #include<iostream>
     2 #include<cstdio>
     3 #define N (2000009)
     4 #define LL long long
     5 using namespace std;
     6 
     7 LL n,MOD,cnt,ans=1,prime[N],Keg[N],d[N];
     8 
     9 void Euler()
    10 {
    11     for (int i=2; i<=2*n; ++i)
    12     {
    13         if (!d[i]){d[i]=i; prime[++cnt]=i;}
    14         for (int j=1; j<=cnt && i*prime[j]<=2*n; ++j)
    15         {
    16             d[i*prime[j]]=prime[j];
    17             if (i%prime[j]==0) break;
    18         }
    19     }
    20 }
    21 
    22 void Divide(LL x,int opt)
    23 {
    24     while (x!=1) Keg[d[x]]+=opt,x/=d[x];
    25 }
    26 
    27 int main()
    28 {
    29     scanf("%lld%lld",&n,&MOD);
    30     Euler();
    31     for (int i=n+1; i<=2*n; ++i) Divide(i,1);
    32     for (int i=1; i<=n; ++i) Divide(i,-1);
    33     Divide(n+1,-1);
    34     for (int i=2; i<=2*n; ++i)
    35         for (int j=1; j<=Keg[i]; ++j)
    36             ans=ans*i%MOD;
    37     printf("%lld\n",ans);
    38 }

转载于:https://www.cnblogs.com/refun/p/9711266.html